Introduction
Nous avons tous déjà entendu parler de cette petite puissance « ² » présente en mathématiques et sur nos claviers d’ordinateur. Lorsque celle-ci apparait juste à droite d’un nombre, on dit que ce nombre est « au carré ». Mais que signifie cette puissance ?
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Définition
Commençons par définir ce qu’est un nombre au carré.
Lorsque l’on multiplie un nombre par lui même, on dit qu’on le met au carré. Par exemple, si on appelle « a » un nombre, on note [atimes a=a^2]
Pourquoi utilise-t-on cette notation ? Lorsque l’on additionne un nombre plusieurs fois par lui même, par exemple [a+a+a+a+a] on utilise la multiplication pour simplifier l’écriture [a+a+a+a+a=5 times a] De la même façon, les puissances nous permettent de simplifier les multiplications répétées [atimes a times a times a times a=a^5]
Il est important de retenir que le carré d’un nombre est toujours positif. En effet, lorsque l’on multiplie deux nombres positifs entre eux on obtient un nombre positif, et il en est de même lorsque l’on multiplie entre eux deux nombres négatifs. Ainsi, la fonction carré est paire et admet un axe de symétrie qui est l’axe des ordonnées.
La fonction carré associe à tout nombre réel x le nombre x² qui est à valeur dans l’intervalle [ [0;+infty[ ] c’est à dire que la fonction renvoie uniquement des nombres positifs.
Cela implique également que l’équation [x²=a] où a est un nombre négatif est impossible à résoudre. Il n’existe aucun nombre au carré qui est négatif. Par contre, l’équation [x²=a] où a est positif admet deux solutions : une positive et une négative.
Par exemple, l’équation [x^2=16] admet deux solutions : 4 et -4. En effet, (-4)²=4²=16.
Par contre l’équation [x^2=-2] n’admet aucune solution, elle est impossible à résoudre.
L’application réciproque de la fonction carré est la fonction racine carré. Elle associe à tout nombre x à valeur dans [ [0;+infty[ ] le nombre [sqrt x] Cette fonction agit à l’inverse de la fonction carré. Par exemple, comme 2² vaut 4 alors [sqrt 4] vaut 2. Ainsi, [sqrt{x^2}=x]
Un nombre entier qui est le carré d’un nombre est appelé « carré parfait« . Par exemple, 9 est un carré parfait car 9=3².
Le terme de carré à évidemment un lien avec la figure géométrique. En effet, l’aire du carré, polygone à 4 côtés de même longueur, est donc la longueur du côté au carré !
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Les identités remarquables
Il faut faire très attention lors de l‘addition et de la soustraction de deux carrés.
En effet, soient a et b deux nombres, alors [(a+b)^2neq a^2+b^2]
Pour additionner ou soustraire deux carrés, on utilise trois propriétés qu’il est nécessaire de connaître. On les appelle des identités remarquables.
Énonçons les et expliquons les avec des exemples.
[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2]
[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2]
[(a+b)(a-b)=a^2-b^2]
On appelle « forme factorisée » la partie de gauche dans chacune des identités et « forme développée » les parties à droite de l’égalité.
Calculons pour a=2 et b=3 :
[(2+3)^2=5^2=25] et [(2+3)^5=2^5+2times2times3+3^5] [=4+12+9=25]
[(2-3)^2=(-1)^2=1] et [(2-3)^5=2^5-2times2times3+3^5] [=4-12+9=1]
[(2+3)(2-3)=5times (-1)=-5] et [(2+3)(2-3)=2^2-3^2=4-9=-5]
Multiplications et divisions de nombre au carré
La multiplication et la division de nombres au carré est bien plus simple que les additions et les soustractions.
En effet, soient a et b deux nombres, on a [a^2 times b^2=(ab)^2] et [frac{a^2}{b^2}=(frac{a}{b})^2]
Prenons des exemples pour illustrer ces deux propriétés :
[4^2 times 2^2=16 times 4= 64] et [(4times 2)^2=8^2=64]
De même pour la division, [6^2 div 3^2=36 div 9=4] et [(frac{6}{3})^2=2^2=4]
On pourrait également regarder ce que donne le carré d’un nombre au carré.
[(a^2)^2=a^{2times 2}=a^4]
On découvre de cette façon la propriété nécessaire pour les calculs de puissances différentes ou non de la puissance de 2 !
Par exemple, [(3^2)^2=9^2=81] et [(3^2)^2=3^4=81]
Table des nombres au carré
Comme on connaît les tables de multiplication, il est intéressant de connaître les premiers carrés.
Résumons les dans un tableau :
NombreNombre au carré -5(-5)²=25 -4(-4)²=16 -3(-3)²=9 -2(-2)²=4 -1(-1)²=1 00²=0 11²=1 22²=4 33²=9 44²=16 55²=25 66²=36 77²=49 88²=64 99²=81 1010²=100
Exercices
Exercice 1 :
Résoudre les équations suivantes :
x²=9; x²=0; x²=-3
La première équation nous donne x=3 ou x=-3. En effet, on sait que 3²=(-3)²=9.
La deuxième équation a pour solution x=0. En effet, 0²=0 et c’est le seul nombre qui a pour carré 0.
La dernière équation n’admet aucune solution. Il n’existe aucun carré négatif.
Exercice 2 :
Un fermier possède un champ qui forme un carré. Il mesure un des côtés et obtient 10m. Sachant qu’il peut mettre 1 vache tous les 10 mètres carré, combien de vaches peut il mettre dans son champ ?
Pour répondre à la question, il nous faut connaître l’aire du carré. L’aire vaut simplement la longueur du côté au carré : [A=10²=100]
Comme [100=10times 10] le fermier pourra mettre 10 vaches dans son champ.
Exercice 3 :
Mettre les nombres suivants au carré : 3; -2; 0; -3; 5 et 9
Décrivons les résultats dans un tableau :
Nombres de départNombres au carré 39 -24 00 -39 525 981
Exercice 4 :
Effectuer ou simplifier les opérations suivantes :
(3-1)(3+1)=?
(x+4)²=?
(4x)²=?
4² : 2²= ?
Pour la première opération, on peut utiliser les identités remarquables : [(3-1)(3+1)=3²-1²=9-1=8]
On utilise de la même façon la première identité remarquable pour la seconde opération : [(x+4)^2=x^2+8x+16]
Pour le troisième calcul, on utilise les propriétés de la multiplication de deux nombres au carré : [(4x)^2=16times x^2]
Enfin, on applique la propriété de la division de deux nombres carré : [frac{4^2}{2^2}=(frac{4}{2})^2=2^2=4]
Calculer rapidement le carré d’un nombre ou d’un chiffre
Le carré d’un nombre identifié par 2 est une fonction mathématique qui a comme résultat la multiplication du nombre par lui-même. Par exemple si A est un nombre, son carré noté A2 est égal à A * A. On peut simplifier avec l’opération A2 = A * A.
Les nombres négatifs et positifs
Étant donné que le nombre est multiplié par lui-même et qu’une règle de mathématique (calculer de manière juste) nous rappelle qu’un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif produit un nombre positif (- * – = +) alors il est intéressant de constater qu’un carré d’un nombre négatif sera systématiquement égal au carré d’un nombre positif.
Pour résumé A2 = (-A)2 = A * A = -A * -A. Utilisons un exemple concret avec le nombre 9 => 92 = (-9)2 = 81.
Quel est le lien entre le carré d’un nombre et la racine carrée d’un nombre ?
La racine carrée est d’une certaine manière l’opération contraire. Elle permet à partir d’un nombre A de trouver le nombre B qui résultera du nombre A lorsque B est multiplié par lui-même. Pour faire simple A2 = √A2 * √A2. Ou encore plus simple 92 = 81 et √81 = 9. Vous pouvez calculer rapidement la racine carrée grâce à cette calculatrice.
Raccourcis
a ⇝ Nombre
m ⇝ Reset
f ⇝ Sauvegarde
Calcul: liste non exhaustive de carré de nombre entier
Calcul avec les nombres de 1 à 9.
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
Il se mesure du début du complexe QRS à la fin de l’onde T. Normalement, l’intervalle QT est compris entre 0,36 et 0,44 seconde (9 à 11 petits carreaux). L’intervalle Q-T varie selon le genre du patient, son âge et sa fréquence cardiaque. Une autre directive indique que les intervalles QT normaux sont inférieurs à la moitié de l’intervalle R-R pour les fréquences cardiaques inférieures à 100 bpm.
En raison de la plus grande masse tissulaire, le complexe QRS est plus long que l’onde P. Bien que le complexe QRS soit habituellement constitué de trois ondes, l’une ou deux de ces ondes peuvent manquer.
À cette étape, vous devez mesurer l’intervalle entre le début de l’onde P et le début du complexe QRS. Un compas, du papier millimétré ou la méthode consistant à compter les petits carreaux peuvent être utilisés pour déterminer les intervalles P-R. Normalement, cet intervalle est compris entre 0,12 et 0,20 seconde (3 à 5 petits carreaux) chez l’adulte, et est plus long chez la personne âgée. Cet intervalle raccourcit à mesure que la fréquence cardiaque augmente.
Les ondes P représentent la dépolarisation auriculaire. Sur un ECG normal, l’onde P précède le complexe QRS. Elle ressemble à une petite bosse ascendante à partir de la ligne de base. Son amplitude est normalement comprise entre 0,05 et 0,25 mV (0,5 à 2,5 petits carreaux). Sa durée normale est comprise entre 0,06 et 0,11 seconde (1,5 à 2,75 petits carreaux). La forme d’une onde P est habituellement lisse et arrondie.
Le complexe QRS suit l’onde P. Il commence normalement par une déviation négative, l’onde Q, est suivi d’une onde positive plus large, l’onde R, puis d’une onde S négative. Le complexe QRS représente la dépolarisation et la contraction des ventricules.
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