Aire d un parallélépipède rectangle

Publié dans : Surfaces

Soit un parallélépipède rectangle de hauteur h, de longueur L et de largeur l.

L’aire A correspondant à la surface extérieure de ce parallélépipède rectangle est calculée à partir de la formule suivante :

A = 2hL + 2hl + 2Ll

Remarque :
Les hauteur, largeur et longueur du parallélépipède rectangle doivent être exprimées dans la même unité de longueur. L’aire du parallélépipède rectangle est alors exprimée dans cette même unité au carré.

Principe de calcul de l’aire d’un parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle possède 6 faces. Chacune de ces faces est un rectangle, et deux faces opposées ont la même dimension.

Pour calculer l’aire correspondant à la surface d’un parallélépipède rectangle il suffit d’additionner les aires correspondant à chacune de ces faces (formule de calcul de l’aire d’un rectangle), soit :

• 2 faces dont l’aire est égale à h x L (les faces avant et arrière du parallélépipède dans le dessin ci-dessus).
• 2 faces dont l’aire est égale à h x l (les côtés gauche et droit du parallélépipède dans le dessin ci-dessus).
• 2 faces dont l’aire est égale à L x l (le dessus et le dessous du parallélépipède dans le dessin ci-dessus).

D’où la formule du calcul de l’aire A d’un parallélépipède rectangle :

A = 2hL + 2hl + 2Ll

Exemple

Soit un parallélépipède rectangle dont la hauteur h est de 2 cm, la longueur L de 5 cm et la largeur l de 3 cm.

L’aire A correspondant à la surface extérieure de ce parallélépipède rectangle est égale à :

A = 2hL + 2hl + 2Ll = 2x2x5 + 2x2x3 + 2x5x3 = 62 cm²

Aire

Donner l’aire d’une surface, c’est indiquer sa grandeur, son étendue.
Une aire s’exprime par un nombre suivi d’une unité d’aire.

Exemple

Prenons pour unité d’aire le triangle rouge ci-dessous.
Pour recouvrir la surface A, on a besoin de 8 triangles unités.
Pour recouvrir la surface B, on a besoin également de 8 triangles unités.
Dans l’unité choisie, l’aire des deux figures A et B est donc 8.

Remarque

Les unités d’aire du système métrique sont le mètre carré (m2), ses multiples et ses sous-multiples.
Pour passer de l’une à l’autre, il faut multiplier par 100 pour obtenir l’unité immédiatement supérieure et diviser par 100 pour obtenir l’unité immédiatement inférieure.

Aire d’un cylindre

L’aire d’un cylindre de révolution est égale à la somme des aires de ses deux disques de base et de sa surface latérale.

Exemple

Soit un cylindre de hauteur h et de rayon de base r.

Son aire latérale est celle d’un rectangle ayant pour dimensions le périmètre du disque de base 2 ×  π  ×  r et la hauteur h du cylindre, soit 2π r  ×  h. L’aire d’un disque de base est égale à π r 2. L’aire A du cylindre de révolution est donc égale à : 2π r  ×  h  + 2 ×  π r 2.

Aire d’un disque

Soit r le rayon d’un disque, l’aire   A de ce disque est donnée par la formule   A  =  π  ×  r  ×  r  =  π r 2 (une valeur approchée du nombre  π est 3,14).

Exemple

Un disque dont le rayon mesure 4 cm a une aire égale, en cm2, à π  × 4 × 4, soit environ 50,24.

Aire d’un parallélépipède rectangle

Soit L, l et h les trois dimensions d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit), l’aire totale  A de ce solide (celle de ses six faces) est donnée par la formule :
A  = 2 × (L  ×  l  +  L  ×  h  +  l  ×  h) ou A  = 2Ll  + 2Lh  + 2lh.

Exemple

L’aire du pavé droit représenté ci-dessus est égale à 34 cm2.
En effet : 2 × (4 × 1,5 + 4 × 2 + 1,5 × 2) = 34.

Aire d’un parallélogramme

Soit c la longueur d’un côté d’un parallélogramme et h celle de la hauteur associée à ce côté, l’aire   A de ce parallélogramme est donnée par la formule   A  =  c  ×  h (c et h doivent être exprimées dans la même unité).

Exemple

L’aire du parallélogramme représenté ci-dessus est égale à 6 cm2 (car 3 × 2 = 6).

Aire d’un triangle

c la longueur d’un côté d’un triangle et h celle de la hauteur associée à ce côté, l’aire   A de ce triangle est donnée par la formule   (c et h doivent être exprimées dans la même unité).

Soitla longueur d’und’un triangle etcelle de laassociée à ce côté, l’airede ce triangle est donnée par la formuleetdoivent être exprimées dans la même unité).

Exemple

2, à  .

Le triangle représenté ci-dessus a une aire égale, en cm, à

Aire d’une sphère

L’aire A d’une sphère de rayon r est donnée par la formule A  = 4π r 2 (une valeur approchée du nombre π est 3,14).

Exemple

Cherchons l’aire d’une balle de tennis de table, sachant qu’elle a la forme d’une sphère de 38 mm de rayon.
Comme 4π  × 382 = 5 776  π, on trouve que l’aire de la balle est égale à 5 776  π  mm2, soit environ à 181 cm2.

Bonjour/bonsoir

Sujet :

Une entreprise doit rénover un local
Ce local a la forme d’un parallélépipède rectangle . La longueur est de 6,40 m la largueur est 5,20 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m . Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large est trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large .

Les murs et le plafond doivent être peints . L’étiquette suivante est collée sur les pots de peinture choisie :

Peinture pour murs et plafond
contenance : 5 litres
utilisations recommandée : 1 litre pour 4 m2

1) a)Calculé l’aire du plafond .
b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond

2 a) Prouve que la surface de mur à peindre est d’environ 54 m2
  b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?

3) De combien de pots de peinture l’entreprise doit-elle disposer pour ce chantier ?

Dans l’ensemble j’ai compris ce qu’il attende comme calcule . Mais qu’elle est la formule pour calculer l’aire d’un parallélépipède rectangle ?

En cherchant sur internet j’ai trouvé :

A = 2(Longueur + largueur + hauteur)

A = longueur largueur

A = 2(L+lL+hl+h)

Mais laquelles des trois est juste ?

Calcul du volume d’un parallélépipède rectangle L = grande langueur de la base
l = petite longueur de la base
h = hauteur

Le volume V d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de la longueur de sa base L par la largeur de sa base l par sa hauteur h, soit :

Volume V = L x l x h

Grande longueur de la base (en unité : cm, m…) : Petite longueur de la base (en unité : cm, m…) : Hauteur du parallélépipède rectangle (en unité : cm, m…) : Volume du parallélépipède rectangle (en unité 3) :

Exemple de calcul d’un volume de parallélépipède rectangle:

Calcul du volume d’un parallélépipède rectangle dont la longueur de la base est de 5 cm, la largeur de la base 4 cm et dont la hauteur mesure 3 cm :
Volume V = 5 x 4 x 3 = 60 cm3

Définition d’un parallélépipède rectangle :

Le parallélépipède rectangle est un solide dont les 6 faces sont des rectangles.

Exemple de parallélépipède rectangle : une brique

Propriété d’un parallélépipède rectangle :

• – Un parallélépipède rectangle a 6 faces,
• – Les faces opposées sont parallèles deux à deux,
• – Il a 12 arêtes,
• – Il a 8 sommets,
• – Une arête est un segment dont les extrémités sont deux sommets consécutifs,
• – Les angles mesurent 90°.

Pour aller plus loin :