L’aire d’un triangle est la région qu’il englobe, dans un plan bidimensionnel. Comme nous le savons, un triangle est une forme fermée qui a trois côtés et trois sommets. Ainsi, l’aire d’un triangle est l’espace total occupé par les trois côtés du triangle. Comment calculer l’aire d’un triangle ?
La formule générale pour trouver l’aire du triangle est donnée par la moitié du produit de sa base et de sa hauteur.
En général, le terme « surface » se définit comme la région occupée à l’intérieur des limites d’un objet plat ou d’une figure. En plus, la mesure se fait en unités carrées, l’unité standard étant le mètre carré (m2).
Par ailleurs, pour le calcul de l’aire, il existe des formules prédéfinies pour les carrés, rectangles, cercles, triangles, etc. Dans cet article, nous allons apprendre les formules de calcul de l’aire d’un triangle pour différents types de triangles, ainsi que quelques exemples de problèmes.
Quelle est l’aire d’un triangle ?
L’aire d’un triangle est définie comme la région totale délimitée par les trois côtés d’un triangle donné. Fondamentalement, elle est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire A = ( B × H ) : 2.
Par conséquent, pour trouver l’aire d’un polygone à trois côtés, nous devons connaître sa base (b) et sa hauteur (h).
De surcroît, cette méthode s’applique à tous les types de triangles, qu’ils soient scalènes, isocèles ou équilatéraux. A noter aussi que la base et la hauteur du triangle sont perpendiculaires l’une à l’autre. L’unité d’aire se mesure en unités carrées (m2, cm2)
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où B et H sont respectivement la Base et la Hauteur du triangle.
Voyons maintenant comment calculer l’aire d’un triangle à l’aide de la formule donnée. Les formules de calcul de l’aire de tous les différents types de triangles, comme l’aire d’un triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle, ainsi que la façon de trouver l’aire d’un triangle à 3 côtés à l’aide de la formule de Héron, avec des exemples, sont données ci-dessous.
Aire = (Base × Hauteur) : 2
Exemple
Quelle est l’aire d’un triangle dont la base est B = 3 cm et la hauteur H= 4 cm ?
En utilisant la formule,
Aire d’un triangle, A = (B × H) : 2
= (4 cm × 3 cm) : 2
= 12 cm2 : 2
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= 6 cm2
Calculer l’aire d’un triangle rectangle
Un triangle rectangle, également appelé triangle droit, a un angle quelconque égal à 90°. Par conséquent, la hauteur du triangle sera la longueur du côté perpendiculaire.
Aire d’un triangle rectangle = A = (Base × Hauteur) : 2
Calculer l’aire d’un triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. En plus, la perpendiculaire tracée du sommet du triangle à la base divise la base en deux parties égales. Donc, pour calculer l’aire du triangle équilatéral, il faut connaître la mesure de ses côtés.
Les trois côtés sont égaux ; dans ABC, côtés AB = BC = CA
Aire d’un triangle équilatéral :
A = √3/4 (a)²
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Exemple :
A = 4 cm
Donc, A = √3/4 × (4 × 4) cm 2
= 4√3 cm 2
Un triangle équilatéral ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle équilatéral, son aire A est égale à :
A = (B x H) : 2
Calculer l’aire d’un triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux de ses côtés égaux et les angles opposés aux côtés égaux sont également égaux.
L’aire d’un triangle isocèle :
Un triangle isocèle ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle isocèle, son aire A est égale à :
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A = (B × H) : 2
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Calcul d’aire (et formules des aires) de :
triangle quelconque – triangle équilatéral
Calculer l’aire (de la surface) d’un triangle quelconque
Un triangle est une figure plane qui possède 3 côtés. Soit un triangle de base B et de hauteur h.
Son aire est égale à la moitié du produit la longueur de sa base par la hauteur issue du sommet opposé à cette base, soit :
Valeur de base: Valeur de la hauteur :
L’aire s’exprimera dans l’unité au « carré » des valeurs du triangle. Par exemple si vous choisissez d’exprimer ces valeurs en cm, la valeur de l’aire obtenue s’exprimera en cm2
Calcul de l’aire d’un triangle
Un triangle, dont la base a pour longueur 7 cm et dont la hauteur a pour hauteur 3 cm, possède une aire égale à :
7 × 3 ÷ 2 = 10.5 cm2.
Calculer l’aire (de la surface) d’un triangle équilatéral
Le triangle équilatéral possède trois côtés égaux. On peut facilement calculer une hauteur grâce au théorème de Pythagore. En effet, si on désigne par c la mesure d’un côté, alors on a :
c2 = h2 + c2/4
c2 − c2/4 = h2
3c2/4 = h2
et de là h = √3 × c/2
Nous obtenons la hauteur en fonction de la mesure des côtés, en remplaçant la hauteur par √3.c/2 et la base par c dans la formule générale de l’aire du triangle.
On obtient la formule de l’aire d’un triangle équilatéral seulement en fonction de la mesure c d’un de ses côtés :
c × √3 × c ÷ 2 ÷ 2 = √3 × c2 ÷ 4.
Aire d’un triangle équilatéral de côté c :
Calculons l’aire d’un triangle équilatéral dont la mesure des côtés est égale à 2 :
√3 × 22 ÷ 4 = √3 × 4 ÷ 4 = √3.
Mesure d’un des côtés du triangle équilatéral :
Cours maths CM2
Aire du triangle
Dans ce chapitre, nous allons apprendre à calculer l’aire d’un triangle.
L’ aire du triangle découverte
Ces deux triangles rectangles, ont exactement la même aire, quand on les accole, ils forment un rectangle.
L’aire du rectangle composé par ces 2 triangles rectangles est de:
4 X 10 = 40 cm²
On peut donc déduire que l’aire de chaque triangle rectangle, représente la moitié du rectangle.
Aire d’un triangle: 40 : 2 = 20
L’aire du triangle calcul
Pour calculer l’aire d’un triangle quelconque, on multiplie la base par la hauteur puis on divise par 2.
Aire 
L’aire de ce triangle est égale à: 
Soit un triangle quelconque dont la hauteur est égale à h et la longueur de la base est L. L’aire A de ce triangle est égale à :
A = L x h / 2
Principe de calcul de l’aire d’un triangle quelconque
En traçant une hauteur d’un triangle quelconque (droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet) , on décompose ce triangle en deux triangles rectangles.
L’aire de la surface du triangle quelconque est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles, soit en reprenant le principe du calcul de l’aire d’un triangle rectangle :
A = h x L1 / 2 + h x L2 / 2
Soit en factorisant par h / 2 :
A = (L1 + L2) x h / 2
Et comme L1 + L2 = L :
A = L x h / 2
Remarque : la hauteur du triangle peut être calculée à partir du théorème de Pythagore si l’on connaît L1 ou L2 ainsi que les longueurs des côtés du triangle quelconque.
Exemple 1
Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 7 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :
A = L x h / 2 = 7 x 4 / 2 = 14 cm²
Exemple 2
Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 5 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :
A = L x h / 2 = 5 x 4 / 2 = 10 cm²
Remarque : dans le cas d’un triangle obtus, obtusangle ou ambligone (un des angles du triangle est supérieur à 90°), la formule s’applique également. Simplement dans le principe expliqué ci-dessus, L1 aurait une valeur négative et L2 une valeur supérieure à L. Dans le principe on soustrait les deux aires des triangles rectangles au lieu de les additionner.
L’aire représente une surface.
C’est un nombre qui permet d’exprimer « la taille » de cette surface.
Pour calculer l’aire de figures géométriques, il faut utiliser des formules.
Voici la formule permettant de calculer l’aire d’un triangle :
Aire d’un triangle = (Base × hauteur) : 2 soit : A = (B × h) : 2
Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut donc connaître :
• La mesure de la base : la base représente un des côtés du triangle.
• La mesure de la hauteur : la hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé (c’est-à-dire la base) à ce sommet.
Généralement, l’aire d’un triangle s’exprime en cm2.
Exemple
Si le côté BC est choisi comme base du triangle ABC, alors, la droite perpendiculaire à BC et passant par A sera la hauteur de la base BC.
La droite rouge est donc une des hauteurs du triangle ABC ; on dit que cette hauteur est « issue » de A.
Remarque
Dans un triangle, il y a 3 hauteurs :
Les droites orange, roses et vertes sont les hauteurs du triangle ABC.
Les droites orange, roses et vertes sont les hauteurs du triangle ABC.
Voici la formule permettant de calculer l’aire d’un triangle :Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut donc connaître :la base représente un des côtés du triangle.la hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé (c’est-à-dire la base) à ce sommet.Généralement, l’aire d’un triangle s’exprime enSi le côté BC est choisi comme base du triangle ABC, alors, la droite perpendiculaire à BC et passant par A sera la hauteur de la base BC.La droite rouge est donc une des hauteurs du triangle ABC ; on dit que cette hauteur est « issue » de A.
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