Aire d'un triangle quelconque

Publié dans : Surfaces

Table des matières

Soit un triangle quelconque dont la hauteur est égale à h et la longueur de la base est L. L’aire A de ce triangle est égale à :

A = L x h / 2

Principe de calcul de l’aire d’un triangle quelconque

En traçant une hauteur d’un triangle quelconque (droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet) , on décompose ce triangle en deux triangles rectangles.

L’aire de la surface du triangle quelconque est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles, soit en reprenant le principe du calcul de l’aire d’un triangle rectangle :

A = h x L1 / 2 + h x L2 / 2

Soit en factorisant par h / 2 :

A = (L1 + L2) x h / 2

Et comme L1 + L2 = L :

A = L x h / 2

Remarque : la hauteur du triangle peut être calculée à partir du théorème de Pythagore si l’on connaît L1 ou L2 ainsi que les longueurs des côtés du triangle quelconque.

Exemple 1

Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 7 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :

A = L x h / 2 = 7 x 4 / 2 = 14 cm²

Exemple 2

Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 5 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :

A = L x h / 2 = 5 x 4 / 2 = 10 cm²

Remarque : dans le cas d’un triangle obtus, obtusangle ou ambligone (un des angles du triangle est supérieur à 90°), la formule s’applique également. Simplement dans le principe expliqué ci-dessus, L1 aurait une valeur négative et L2 une valeur supérieure à L. Dans le principe on soustrait les deux aires des triangles rectangles au lieu de les additionner.

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Aire du triangle

Dans ce chapitre, nous allons apprendre à calculer l’aire d’un triangle.

L’ aire du triangle découverte

Ces deux triangles rectangles, ont exactement la même aire, quand on les accole, ils forment un rectangle.

L’aire du rectangle composé par ces 2 triangles rectangles est de:

4 X 10 = 40 cm²

On peut donc déduire que l’aire de chaque triangle rectangle, représente la moitié du rectangle.

Aire d’un triangle: 40 : 2 = 20

L’aire du triangle calcul

Pour calculer l’aire d’un triangle quelconque, on multiplie la base par la hauteur puis on divise par 2.
Aire

L’aire de ce triangle est égale à:

L’aire d’un triangle est la région qu’il englobe, dans un plan bidimensionnel. Comme nous le savons, un triangle est une forme fermée qui a trois côtés et trois sommets. Ainsi, l’aire d’un triangle est l’espace total occupé par les trois côtés du triangle. Comment calculer l’aire d’un triangle ?

La formule générale pour trouver l’aire du triangle est donnée par la moitié du produit de sa base et de sa hauteur.

En général, le terme « surface » se définit comme la région occupée à l’intérieur des limites d’un objet plat ou d’une figure. En plus, la mesure se fait en unités carrées, l’unité standard étant le mètre carré (m2).

Par ailleurs, pour le calcul de l’aire, il existe des formules prédéfinies pour les carrés, rectangles, cercles, triangles, etc. Dans cet article, nous allons apprendre les formules de calcul de l’aire d’un triangle pour différents types de triangles, ainsi que quelques exemples de problèmes.

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Quelle est l’aire d’un triangle ?

L’aire d’un triangle est définie comme la région totale délimitée par les trois côtés d’un triangle donné. Fondamentalement, elle est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire A = ( B × H ) : 2.

Par conséquent, pour trouver l’aire d’un polygone à trois côtés, nous devons connaître sa base (b) et sa hauteur (h).

De surcroît, cette méthode s’applique à tous les types de triangles, qu’ils soient scalènes, isocèles ou équilatéraux. A noter aussi que la base et la hauteur du triangle sont perpendiculaires l’une à l’autre. L’unité d’aire se mesure en unités carrées (m2, cm2)

où B et H sont respectivement la Base et la Hauteur du triangle.

Voyons maintenant comment calculer l’aire d’un triangle à l’aide de la formule donnée. Les formules de calcul de l’aire de tous les différents types de triangles, comme l’aire d’un triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle, ainsi que la façon de trouver l’aire d’un triangle à 3 côtés à l’aide de la formule de Héron, avec des exemples, sont données ci-dessous.

Aire = (Base × Hauteur) : 2

Exemple

Quelle est l’aire d’un triangle dont la base est B = 3 cm et la hauteur H= 4 cm ?

En utilisant la formule,

Aire d’un triangle, A = (B × H) : 2

= (4 cm × 3 cm) : 2

= 12 cm2 : 2

= 6 cm2

Calculer l’aire d’un triangle rectangle

Un triangle rectangle, également appelé triangle droit, a un angle quelconque égal à 90°. Par conséquent, la hauteur du triangle sera la longueur du côté perpendiculaire.

Aire d’un triangle rectangle = A = (Base × Hauteur) : 2

Calculer l’aire d’un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. En plus, la perpendiculaire tracée du sommet du triangle à la base divise la base en deux parties égales. Donc, pour calculer l’aire du triangle équilatéral, il faut connaître la mesure de ses côtés.

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Les trois côtés sont égaux ; dans ABC, côtés AB = BC = CA

Aire d’un triangle équilatéral :

A = √3/4 (a)²

Exemple :

A = 4 cm
Donc, A = √3/4 × (4 × 4) cm 2
= 4√3 cm 2

Un triangle équilatéral ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle équilatéral, son aire A est égale à :

A = (B x H) : 2

Calculer l’aire d’un triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux de ses côtés égaux et les angles opposés aux côtés égaux sont également égaux.

L’aire d’un triangle isocèle :

Un triangle isocèle ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle isocèle, son aire A est égale à :

A = (B × H) : 2

Le calcul de l’aire d’un triangle dépend du type de triangle en question. Voyons cela plus en détail.

Aire d’un triangle quelconque

L’aire d’un triangle quelconque peut être calculée à l’aide de la formule :

Base et hauteur d’un triangle

Le triangle A est représenté ci-dessous (toutes les longueurs sont en cm) :

Calcul de l’aire d’un triangle quelconque

L’aire du triangle =

Aire d’un triangle isocèle

L’aire d’un triangle isocèle peut être calculée à l’aide de la même formule :

Si nous avons un triangle avec une base de 6 et une hauteur de 4, l’aire sera la suivante :

cm2

Aire d’un triangle : formule trigonométrique

Pour tous les triangles dont nous connaissons la longueur de deux côtés et l’angle entre ces deux derniers, il faut utiliser la formule trigonométrique :