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C est quoi une fraction décimale

Introduction :

Ce cours est un rappel sur la notion de fraction décimale, élément qui permet de définir un nombre décimal.

Nous commencerons par en redonner la définition, le vocabulaire puis ferons quelques remarques. Nous parlerons ensuite de la décomposition d’une fraction décimale avant de faire le lien avec les nombres décimaux.

Fraction décimale

bannière rappel

Rappel

Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est 101010, 100100100, 1 0001 0001 000, 10 00010 00010 000…

bannière exemple

Exemple

18310frac{183}{10}10183​, 15100frac{15}{100}10015​ et 11 000frac{1}{1 000}1 0001​ sont des fractions décimales.

97frac 9779​ et 42,5100frac{42,5}{100}10042,5​ ne sont pas des fractions décimales.

  • 110frac{blue 1}{red {10}}

    1

    1

    se lit « un dixième » : cela représente

    1blue 1

    1

    part de l’unité partagée en

    10red {10}

    1

    parts égales.

  • 1100frac{blue 1}{red {100}}

    1

    1

    se lit « un centième : cela représente

    1blue 1

    1

    part de l’unité partagée en

    100red {100}

    1

    parts égales.

  • 11 000frac{blue 1}{red {1 000}}

    1

     

    1

    se lit « un millième » : cela représente

    1blue 1

    1

    part de l’unité partagée en

    1 000red {1 000}

    1

     

    parts égales.

bannière à retenir

À retenir

Un entier peut toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

bannière exemple

Exemple

17=17010=1 700100=17 0001 000=…17=frac{170}{10}=frac{1 700}{100}=frac{17 000}{1 000}=…17=10170​=1001 700​=1 00017 000​=…

bannière à retenir

À retenir

Une fraction ne peut pas toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale

bannière exemple

Exemple

14frac 1441​ peut s’écrire 25100frac{25}{100}10025​

12frac 1221​ peut s’écrire 510frac{5}{10}105​ ou 50100frac{50}{100}10050​

34frac 3443​ peut s’écrire 75100frac{75}{100}10075​

En revanche, 13frac 1331​ n’admet pas de forme décimale.

Les équivalences de 14frac 1441​, 12frac 1221​ et 34frac 3443​ sont à retenir.

Décomposition d’une fraction décimale

bannière à retenir

À retenir

Décomposer une fraction décimale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme d’un nombre entier (le plus grand possible) et de fractions décimales inférieures à 111 (une en dixièmes + une en centièmes + une en millièmes…).

MÉTHODOLOGIE

Pour décomposer une fraction décimale :

  • on écrit d’abord son numérateur sous la forme d’une décomposition additive en commençant par le rang indiqué par le dénominateur :

  • si le dénominateur est

    1010

    1

    , la décomposition additive commencera au rang des dizaines ;

  • si le dénominateur est

    100100

    1

    , la décomposition additive commencera au rang des centaines ;

  • si le dénominateur est

    1 0001 000

    1

     

    , la décomposition additive commencera au rang des milliers ;

  • etc.

  • grâce à cette décomposition additive, on peut décomposer la fraction initiale en une somme de fractions décimales ;

  • on simplifie ces fractions décimales de manière à obtenir la décomposition attendue.

bannière exemple

Exemple

Décomposition de la fraction décimale 84 3271 000frac{84 327}{1 000}1 00084 327​

  • Le dénominateur de la fraction est

    10001000

    1

    . La décomposition additive du numérateur commencera au rang des milliers. Ainsi :

    84 327=84 000+300+20+784 327 = 84 000 + 300 + 20 + 7

    8

    4

     

    3

    2

    7

    =

    8

    4

     

    +

    3

    +

    2

    +

    7

  • On peut alors écrire

    84 3271000=84 000+300+20+71 000=84 0001 000+3001 000+201 000+71 000frac{84 327}{1000}=frac{84 000+300+20+7}{1 000}=frac{84 000}{1 000}+frac{300}{1 000}+frac{20}{1 000}+frac{7}{1 000}

    1

    8

    4

     

    3

    2

    7

    =

    1

     

    8

    4

     

    +

    3

    +

    2

    +

    7

    =

    1

     

    8

    4

     

    +

    1

     

    3

    +

    1

     

    2

    +

    1

     

    7

  • En simplifiant, on obtient

    84 3271 000=84+310+2100+71 000frac{84 327}{1 000}=84+frac{3}{10}+frac{2}{100}+frac{7}{1 000}

    1

     

    8

    4

     

    3

    2

    7

    =

    8

    4

    +

    1

    3

    +

    1

    2

    +

    1

     

    7

  • 84 3271 000frac{84 327}{1 000}

    1

     

    8

    4

     

    3

    2

    7

    est donc :

    84+310+2100+71 00084+frac{3}{10}+frac{2}{100}+frac{7}{1 000}

    8

    4

    +

    1

    3

    +

    1

    2

    +

    1

     

    7

    La décomposition de la fraction décimaleest donc :

À travers ce type de décomposition, on entrevoit déjà le lien avec les nombres décimaux. C’est ce que nous allons établir maintenant.

Fraction décimale et nombre décimal

La fraction décimale est l’élément qui définit un nombre décimal puisqu’un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

La fraction décimale est une forme d’écriture d’un nombre décimal parmi d’autres puisque tout nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes : écriture fractionnaire, décimale, en lettres ou encore en décomposition.

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Propriété

Toute fraction décimale peut s’écrire en écriture décimale.

Cette propriété se démontre facilement à l’aide de la méthode de décomposition d’une fraction décimale.

Reprenons l’exemple de la fraction décimale 84 3271 000frac{84 327}{1 000}1 00084 327​

Sa décomposition a donné le résultat suivant :84 3271 000=84⏟Partie entieˋre+310+2100+71 000⏟Partie deˊcimalefrac{84 327}{1 000}=blue{underbrace{84}text{Partie entière}}+red{underbrace{frac {3}{10} + frac {2}{100} + frac {7}{1 000}}text{Partie décimale}}1 00084 327​=Partie entieˋre84​​+Partie deˊcimale103​+1002​+1 0007​​​

On reconnait ici la décomposition d’un nombre décimal dont la partie entière est 848484 et la partie décimale est 333 dixièmes 222 centièmes et 777 millièmes. Son écriture décimale est 84,32784,32784,327.

Ainsi, la fraction décimale 84 3271 000frac{84 327}{1 000}1 00084 327​ peut s’écrire sous l’écriture décimale 84,32784,32784,327.

  • On peut écrire

    84 3271 000=84,327frac{84 327}{1 000}= 84,327

    1

     

    8

    4

     

    3

    2

    7

    =

    8

    4

    ,

    3

    2

    7

    .

Ce résultat établit également la méthodologie pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal à son écriture décimale.

bannière rappel

Rappel

Pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre à son écriture décimale :

  • le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché :

  • si le dénominateur est

    1010

    1

    , le rang du dernier chiffre sera celui des dixièmes (1er chiffre après la virgule) ;

  • si le dénominateur est

    100100

    1

    , le rang du dernier chiffre sera celui des centièmes (2e chiffre après la virgule) ;

  • si le dénominateur est

    1 0001 000

    1

     

    , le rang du dernier chiffre sera celui des millièmes (3e chiffre après la virgule) ;

  • etc.

  • Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l’étape 1.

bannière astuce

Astuce

Autrement dit, on positionne une virgule à la fin du numérateur et on la décale vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros au dénominateur.

bannière exemple

Exemple

Reprenons l’exemple de la fraction décimale et déterminons son écriture décimale.

  • Le dénominateur de la fraction décimale est

    1 0001 000

    1

     

    . Le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché sera celui des millièmes.

  • Le numérateur de la fraction décimale est

    84 32784 327

    8

    4

     

    3

    2

    7

    . Le nombre à virgule recherché est donc le nombre

    84 32784 327

    8

    4

     

    3

    2

    7

    auquel on rajoute une virgule de telle sorte que le chiffre

    77

    7

    soit le 3e chiffre après la virgule.

  • On obtient bien le même résultat que précédemment : l’écriture décimale de

    84 3271 000frac{84 327}{1 000}

    1

     

    8

    4

     

    3

    2

    7

    est

    84,32784,327

    8

    4

    ,

    3

    2

    7

    .

Conclusion :

Ce qu’il faut retenir de ce cours, c’est que la fraction décimale est l’élément de définition d’un nombre décimal : si un nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, alors ce nombre est un nombre décimal. La méthode de décomposition d’une fraction décimale est également à retenir. Enfin, comprendre la relation de la fraction décimale au nombre décimal permet d’appréhender correctement les nombres décimaux et de savoir les manipuler avec aisance.

Cours maths 6ème

Nombres décimaux et fractions décimales

Après avoir rappelé la définition des fractions décimales, ce crous établit le lien entre les différentes façons d’écrire un nombre décimal sous forme d’écriture à virgule ou sous forme de fractions décimales.

 

Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000,…

 

Le dénominateur d’une fraction est le nombre qui se trouve sous la barre de fraction.

Exemples :

 

Ecriture fractionnaire d’un nombre décimal

Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme de fractions décimales.

 

Exemples :

 

 

Parmi toutes les écritures d’un nombre décimal sous la forme de fraction décimale, on choisit le plus souvent celle qui permet juste d’éliminer la virgule et d’avoir le numérateur entier le plus petit.

 

Exemples :

 

Ecriture décimale d’une fraction décimale

Pour écrire une fraction décimale sous la forme d’un nombre décimal, il suffit de compter le nombre de 0 au dénominateur et de déplacer la virgule vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de 0.

Exemples :

 

La fraction est l’écriture fractionnaire de 1 dixième.

 

D’autres exemples :

 

La fraction est l’écriture fractionnaire de 94 dixièmes.

 

 

La fraction est l’écriture fractionnaire de 7 millièmes.

 

 

 

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