Calcul aire d un disque

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Calcul d’aire (et formules des aires) de :

L’unité de l’aire du disque s’exprimera en unité au « carré » du rayon. Si le rayon est en cm, alors l’aire sera en cm 2 .

Soit un disque de centre O et de rayon R. Son aire est égale à : π × R 2 .

Valeur de R :

L’aire s’exprimera dans l’unité au « carré » du rayon du disque. Par exemple, si vous choisissez d’exprimer ces valeurs en cm, la valeur de l’aire obtenue s’exprimera en cm2.

Calculer de l’aire du disque central d’un terrain de foot

Le rayon du disque central d’un terrain de foot est égal à 9,15 m.

L’aire de la surface du disque est égale à :

3.14 × 9.152 = 263.02 m2 .

L’aire d’un disque correspond à la surface d’un cercle. Pour trouver sa valeur, voici sa formule très simple à appliquer et utile si tu souhaites peindre un disque avec un pot de peinture.

Aire d’un disque : définition et formule

C’est le savant et mathématicien grec du IIIe siècle avant J.-C., Archimède, qui trouvé la formule pour calculer l’aire d’un disque. La voici : Pi (π) fois rayon au carré. Elle s’écrit aussi :

Aire d’un disque = π × R2

Rappel : la valeur de Pi est le rapport constant entre la circonférence du cercle et son diamètre.

Calculer de l’aire d’un disque : exemple avec un terrain de basket

Sarah est chargée de repeindre le terrain de basket d’un gymnase. Il ne lui reste plus qu’à finir la zone d’engagement située au centre. Mais Sarah a déjà utilité la moitié d’un pot de peinture qui permet de peindre 25 m2. Sachant que la zone d’engagement est un disque de rayon 1,80 m, est-ce que Sarah aura assez de peinture pour la recouvrir entièrement ? Pour répondre à la question, elle doit trouver l’aire du disque de la zone d’engagement.

Comme Sarah a la moitié d’un pot prévu pour 25 m2, la zone d’engagement devra avoir une aire inférieure à 12,5 m2. Le rayon du disque est d’1,80 m, donc son aire est de :

Pi x 1,82 ≈ 10 m2. Sarah aura assez de peinture pour recouvrir la zone d’engagement.

 

Pour aller plus loin, découvre le cours sur l’aire et le périmètre.

Réalisateur : Guillaume Marsaud ; Raphael Monégier du Sorbier ; Laurent Lévêque

Producteur : Studio 77, Média TV, France Télévisions

Année de copyright : 2021

Publié le 30/11/21

Modifié le 26/09/22

L’unité d’aire est le cm² car la longueur du rayon est exprimée en centimètre.

L’aire du disque est de 50,24 cm² (valeur approchée au centième près).

Pour utiliser correctement la formule, remplace:

Utilise la formule π x Rayon x Rayon pour calculer l’aire d’un disque dont tu connais le rayon.

2

Calculer l’aire avec le diamètre

Il est également possible de calculer l’aire d’un disque à partir de son diamètre.

Commence par diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon (le diamètre est le double du rayon).

Utilise ensuite la formule π x Rayon x Rayon pour trouver l’aire du disque.

L’aire du disque est de 452,16 dm² (valeur approchée au centième près).

L’unité d’aire est le dm² car la longueur du rayon est exprimée en décimètre.

La surface d’un cercle, ou l’aire d’un disque, est exprimée en cm2 ou en m2. Il permet de mesurer l’espace à l’intérieur du cercle. Son calcul fait partie des bases de la géométrie et est à distinguer du calcul de la circonférence qui s’exprime lui en cm et désigne la longueur du contour du cercle. On vous dit tout !

Qu’est-ce que la surface d’un cercle ?

La surface d’un cercle, ou son aire, est la mesure de l’espace à l’intérieur du cercle. Elle s’exprime en cm2 ou m2. Elle est à distinguer de la circonférence du cercle, qui est la mesure de son contour, et s’exprime en cm ou m.

La circonférence ou le contour du cercle

La circonférence d’un cercle correspond à la mesure de la longueur du contour du cercle, c’est la ligne de démarcation du cercle. Pour d’autres formes géométriques, cela équivaut au périmètre, soit l’addition de la longueur de chaque côté. Comme il n’y a pas de côté sur un cercle, le calcul de périmètre n’est pas le même. En revanche, le périmètre d’un rectangle et la circonférence d’un cercle désignent la même chose : la longueur du pourtour.

Le disque ou l’aire du cercle

L’espace à l’intérieur du cercle constitue un disque. Sa mesure s’intitule la surface ou l’aire du cercle. C’est pour cela que la surface d’un cercle ne peut pas s’exprimer en cm ou en mètres, contrairement à sa circonférence. Ce n’est pas simplement une longueur que l’on cherche à exprimer, mais une aire.

Comment exprimer l’aire d’un disque ?

L’aire d’un disque s’exprime donc en cm2 ou m2. Concrètement, le mètre carré, de symbole m2, est l’unité pour exprimer une aire. C’est l’aire d’un carré d’un mètre de côté.

Le nombre Pi (π) et la constante d’Archimède

Le nombre π (pi), aussi appelé la constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque π. Il désigne le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre dans la géométrie euclidienne. Il désigne également le rapport de l’aire d’un disque (sa surface) au carré de son rayon.

Or, ce rapport est constant. C’est pour cela que l’on appelle cette règle, la constante d’Archimède. Sa valeur est toujours environ 3,141592653589793 : c’est le nombre π.

Comment évaluer la surface d’un cercle avec le rayon ?

Grâce à la découverte d’Archimède, il est donc possible de calculer la surface d’un cercle avec le rayon et l’aide du nombre π (pi). Pour cela, il faut procéder par étapes :
Calculer le rayon ;
Mettre le rayon au carré ;
Multiplier le rayon au carré par le nombre π ou, par son approximation, 3,14.

Vous obtiendrez ainsi la surface du cercle, exprimée en cm2 ou m2. Voyons maintenant comment réaliser chacune de ces étapes.

Comment trouver le rayon du cercle ?

Le rayon d’un cercle est la longueur du segment partant de son centre et se terminant à un point quelconque sur ce cercle. Vous pouvez mesurer directement la longueur du demi-segment qui part du centre et se termine à un point du cercle.

Comment calculer le rayon au carré ?

Pour calculer l’aire d’un disque, vous devrez ensuite passer la longueur du rayon (exprimée en cm ou en m) en unité de mesure de l’aire, soit cm2 ou m2.
Pour cela, multipliez la valeur du rayon par elle-même.

Rayon2= rayon x rayon

Quelle formule pour calculer l’aire d’un disque ?

La formule pour calculer l’aire du disque est égale au rayon au carré multiplié par le nombre π (pi).

C’est-à-dire :
Surface du cercle= (rayon x rayon) x π

Exemple de calcul

Je mesure d’abord le rayon de mon cercle. Imaginons que celui-ci mesure 4 cm.

Je transpose donc le rayon au carré, soit le rayon multiplié par le rayon.
Soit rayon2 = 4 × 4 = 16

Enfin, je multiplie mon rayon au carré par la constante d’Archimède. Si vous avez bien suivi, c’est le nombre π (pi) et son approximation est de 3,14.

Soit aire du cercle = 16 × 3,14 = 50,24

La surface de mon cercle est de 50,24 cm2

Comment mesurer l’aire d’un cercle avec le diamètre ?

Pour mesurer l’aire d’un cercle à partir de son diamètre, il faut d’abord calculer le rayon à partir du diamètre. Pour calculer le rayon du cercle, il faut simplement diviser son diamètre par deux.

Comment évaluer le diamètre du cercle ?

Mesurez le diamètre du cercle, c’est-à-dire le segment qui coupe le cercle en deux, et le traverse en son centre. Ensuite, divisez la longueur obtenue par deux. C’est le rayon.

Quelle formule appliquer ?

La formule pour calculer l’aire d’un cercle à partir de son diamètre est donc la suivante :

Surface du cercle = (diamètre ÷2) x (diamètre ÷2) x π

Exemple de calcul

Imaginons que je veuille calculer la surface d’un cercle de 6 cm de diamètre.

Je cherche d’abord le rayon, soit le diamètre divisé par deux.
Soit rayon = 6 ÷ 2 = 3

Je transpose le rayon au carré, soit le rayon multiplié par le rayon.
Soit rayon2 = 3 × 3 = 9

Enfin, je multiplie mon rayon au carré par la constante d’Archimède. Si vous avez bien suivi, c’est le nombre π (pi) et son approximation est de 3,14.
Soit aire du cercle = 9 × 3,14 = 28,26

La surface de mon cercle est de 28,26 cm2

Comment calculer l’aire d’une cercle (disque) à partir de la circonférence ?

Là aussi, il vous suffit d’utiliser le nombre magique, c’est-à-dire le nombre π (pi). Celui-ci vous permettra d’obtenir le rayon du cercle à partir de sa circonférence, c’est-à-dire son pourtour.

Comment calculer le rayon avec la circonférence d’un cercle ?

Vous ne connaissez pas le diamètre, mais seulement la circonférence du cercle ? Divisez la circonférence par π pour obtenir son diamètre. Ensuite, il vous suffit de diviser le diamètre par deux pour obtenir le rayon.

Quelle formule appliquer ?

Pour calculer la surface du disque à partir de la circonférence, il vous faudra
Calculer le diamètre en divisant la circonférence par π ;
Calculer le rayon en divisant le diamètre par deux ;
Multiplier le rayon par sa propre valeur ;
Multiplier le chiffre obtenu par π.

Surface du cercle = {(circonférence ÷ π) ÷ 2} x {(circonférence ÷ π) ÷ 2} x π

Exemple de calcul

Imaginons : je veux calculer la surface de mon moule à gâteau pour savoir combien de pâte à appareil, je vais devoir utiliser pour le remplir. Sa circonférence est de 44 cm.

Je calcule d’abord le diamètre du moule, soit, 44 ÷ 3,14 = 14
Je calcule ensuite le rayon du moule soit 14÷2 = 7

Je transpose le rayon au carré, soit le rayon multiplié par le rayon.
Soit rayon2 = 7×7 = 21

Enfin, je multiplie mon rayon au carré par le nombre π (pi) ou son approximation de 3,14.
Soit aire du cercle = 21 × 3,14 = 65,94

La surface de mon cercle est de 65,94 cm2

Comment estimer l’aire d’un demi-cercle ?

L’aire d’un demi-cercle est simplement la moitié de l’aire du cercle. Il vous suffit de calculer la surface du disque, puis de diviser la valeur obtenue par deux.

Vous l’aurez compris, calculer la surface d’un cercle, ou l’aire du disque, est bien plus simple que la quadrature du cercle, cette opération de géométrie insoluble depuis l’antiquité. Pourtant, ce calcul utilise Pi, un nombre mystérieux qui, lui aussi, a fasciné bien des savants à travers les âges.