Calcul corde arc de cercle

Circular segment

Le segment circulaire – est la surface d’un cercle qui est « séparée » du reste du cercle par une sécante (corde).

Sur l’image :
L – longueur de l’arc
h- hauteur
c- corde
R- rayon
a- angle

Si vous connaissez le rayon et l’angle, vous pouvez utiliser les formules suivantes pour calculer les autres paramètres du segment :

Formules du segment circulaire

Surface :
[1]
Longueur de l’arc :
Longueur de la corde :

Hauteur du segment :

Segment circulaire

RayonAngle

Angle en degrés

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Longueur de la corde

 

Hauteur

 

Périmètre

 

Longueur de l’arc

 

Surface

 

Néanmoins, si vous ne connaissez pas le rayon et l’angle, vous pouvez toujours calculer les paramètres su segment suivant la longueur de la corde et la hauteur du segment :

Segment défini par la corde et la hauteur

Longueur de la cordeHauteurPrécision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Rayon

 

Surface

 

Longueur de l’arc

 

Angle (degrés)

 

Périmètre

 

Formule pour le rayon du segment suivant la corde et la hauteur :

Ensuite, vous pouvez calculer l’angle du segment en utilisant la formule suivante :

Vous pouvez également utiliser le calculateur suivant pour obtenir la surface su segment suivant son rayon et sa hauteur :

Surface d’un segment circulaire avec un rayon et une hauteur

RayonHauteur (h)Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Surface

 

Longueur de la corde

 

Périmètre

 

Longueur de l’arc

 

Angle (degrés)

 

Ce calculateur évalue l’angle grâce à la formule suivante :

ensuite, il utilise la formule [1] pour calculer la surface du segment.

La corde est la distance la plus courte entre deux points placés sur un cercle.

Quelle est la longueur de la corde pour un rayon et un angle donnés, en trigonométrie ?

3. Valeur de l’angle à partir de la corde et du rayon

Longueur de la corde :

Rayon :

Nombre de chiffres après la virgule :

Angle :

112,89 °

Soit :

1,97 rd

Calcul de la corde

Le calcul de la corde a de nombreuses applications pratiques. On le retrouve en astronomie, mais aussi dans des domaines très variés faisant généralement appel à la géométrie, tels que dans le bâtiment et le dessin industriel (arche en plein cintre, etc…).

Corde et arc

Il ne faut pas confondre la corde et l’arc. À l’image des arcs pour tirer des flèches, la corde est la ligne droite qui relie les deux extrémités de l’arc.

Pour calculer l’arc, rendez vous sur la page de la longueur d’un arc.

La corde en astronomie

C’est en voulant calculer des distances en astronomie que la notion des cordes a pris tout son sens. Cette notion était d’usage dans l’antiquité en lieu et place des sinus et cosinus.

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Bien maîtriser les calculs dans le cercle peut s’avérer très utile pour les tuyauteurs industriels. En effet, les formules que nous allons voir ici sont à la base de nombreuses opérations auxquelles nous sommes confrontés dans la réalisation de ligne de tuyauterie. Avoir de bonnes bases de calculs dans le cercle est tout aussi important que de maîtriser les calculs dans le triangle, d’ailleurs nous verrons que ces deux figures sont intimement liées.

Le premier document vous permettra de vous familiariser avec les termes utilisés pour désigner les composantes d’un cercle. Un code couleur vous sera utile afin de repérer facilement chacune des composantes.

Le calcul de l’arc de cercle

Le calcul de l’arc de cercle doit être connu par le tuyauteur, celui-ci permet par exemple de tracer un coude pour en découper une portion ou bien encore d’orienter un coude dans une ligne de tuyauterie. Ici nous traiterons seulement de la formule de base.

Pour calculer l’arc de cercle, nous avons besoin de connaître le rayon du cercle ainsi que l’angle qui détermine sa portion. On applique ensuite la formule suivante:

π *R*A/180=Arc

Le résultat correspond à la longueur de l’arc de cercle en mm

Le calcul de la corde

Le calcul de la corde peut paraître inutile pour un tuyauteur, cependant il permet de tracer des angles quelconques avec une grande précision. Il permet également de réaliser des opérations de contrôle, notamment sur des grands cintrages.

Pour calculer la corde, nous avons besoin du rayon et de l’angle. On applique la formule suivante:

2*R*sin(A/2=C

Calcul de la flèche

Calcul du diamètre

Le calcul du diamètre se fait à l’aide de la corde et de la flèche, cette méthode est intéressante pour déterminer le diamètre d’une cuve.

La formule est ici un peu plus complexe, car il faut veiller à bien placer vos parenthèses sous peine d’avoir un résultat erroné. Pour éviter de se tromper avec les parenthèses, il est possible de faire le calcul en trois étapes.

C²/(8*F)=A

F/2=B

A+B*2=D

Calcul de la circonférence et de la surface

La formule qui permet de calculer la circonférence d’un cercle est sûrement la plus facile à retenir, elle consiste simplement à multiplier le diamètre par le nombre pi. Cette formule très simple n’en reste pas moins très utile, elle permet notamment de diviser un cylindre en parties égales.

Dans ce document figure également la formule qui permet de calculer la surface d’un cercle, ces deux formules sont assez proches, c’est pour cela que nous les avons réunies. Nous pouvons simplifier cette formule en utilisant le rayon au lieu du diamètre.

π*D²/4 = π*R²

Cette formule permet également de calculer le volume d’un cylindre, pour cela on multiplie le résultat par la longueur du cylindre. Attention toutefois à utiliser le diamètre intérieur de votre cylindre pour calculer son volume.

Le cercle trigonométrique

Formules trigonométriques dans le triangle quelconque

Les formules trigonométriques dans le triangle rectangle ne sont pas toujours suffisantes pour tout calculer en tuyauterie. Certains trévires demandent d’utiliser des formules trigonométriques dans un triangle quelconque. Tuyaute vous met à disposition ce document sur les formules trigonométriques dans le triangle quelconque que vous pourrez imprimer en format A4.

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la

longueur

d’un

arc de cercle

AVERTISSEMENT

Note: cette page a été développée essentiellement pour présenter, pas à pas, la méthode (assez complexe) qui permet de calculer la longueur d’un arc connaissant seulement les longueurs de sa corde et de sa flèche (troisième cas, ci-dessous).

Cette page est consacrée aux arcs de cercle. Un arc de cercle est une partie de la circonférence d’un cercle. Lui sont donc associés, un rayon (le rayon de son cercle) et un angle (au centre de son cercle). On peut aisément calculer la longueur d’un arc en connaissant la longueur du rayon de son cercle et la valeur de l’angle de l’arc au centre de ce cercle. Mais on peut aussi déduire la taille du rayon et la valeur de l’angle à partir d’autres données comme, par exemple, les longueurs de la corde et de la hauteur (flèche) de l’arc.

CONTENU

Premier cas: calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de son angle (en degrés) et du rayon de son cercle. Deuxième cas: calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et du rayon de son cercle. Troisième cas: calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et de sa flèche. Synthèse: présenté sur une seule image, l’ensemble des formules définies dans les trois cas étudiés dans cette page.

• • •
• •
•

premier cas

Calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de son angle (en degrés) et du rayon de son cercle.

Soit un cercle …

De rayon 1 (mètre) …

Circonférence = 6,28 mètres …

Demi-circonférence = 3,14 mètres …

Conclusion 1:

la longueur d’un arc de 180° dans un cercle de rayon 1 est égale à Pi.

Conclusion 2:

la longueur d’un arc de 180° dans un cercle de rayon r est égale à Pi*r.

Conclusion 3:

la longueur d’un arc de a° dans un cercle de rayon r est égale à Pi*r/180*a.

Conclusion 4:

comme Pi/180 est égal à 0,01745, la longueur d’un arc de a° dans un cercle de rayon r est égale à 0,01745*r*a.

Formule retenue dans les livres:

• • •
• •
•

deuxième cas

Calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et du rayon de son cercle.

Peut-on calculer l’angle d’un arc (et en conséquence sa longueur) connaissant la longueur de sa corde et celle du rayon du cercle de l’arc?

Réponse: oui!

Sur le dessin ci-dessus apparaît un triangle isocèle (ABC) formé par deux rayons (AC et BC constituant les côtés égaux du triangle isocèle) et par la corde AB de l’arc (le troisième côté du triangle).

En portant dans le triangle isocèle une hauteur (CH) ayant comme base la corde (AB), on obtient deux triangles rectangles (HAC et HBC).

En considérant le triangle HBC (rectangle en H), on connaît la longueur de son hypoténuse (BC = rayon du cercle) ainsi que la longueur du côté HB (= la moitié de la corde AB).

Intervient alors un outil indispen-sable en mathématique: la trigo-nométrie.

Note: ce qui suit s’adresse à des personnes ayant des bases en trigo-nométrie.

On sait que le sinus de l’angle HCB est égal au rapport entre le côté opposé (HB) et l’hypoténuse (BC). HB étant au numérateur et BC au dénominateur.

On peut donc écrire:

sin(HCB) = HB/BC

Mais comme c’est la valeur de l’angle HCB que l’on cherche on peut donc écrire:

angle HCB = arcsin(HB/BC)

Exemple avec une corde de 6 cm d’un arc sur cercle de 5 cm de rayon:

• HB = AB/2 = 6/2 = 3

• BC = rayon = 5

• angle HCB = arcsin(HB/BC)

• angle HCB = arcsin(3/5) = 36,86°

• angle ACB = 36,86°*2 = 73,73°

Il ne reste plus qu’à appliquer la formule (voir plus haut dans cette page) pour calculer la longueur de l’arc ayant pour angle 73,73 degrés dans un cercle de rayon égal à 5 cm:

(Pi*r*a)/180

(Pi*5*73,73)/180 = 6,43 cm

Conclusion: un arc ayant une corde de 6 cm dans un cercle ayant un rayon de 5 cm fait une longueur de 6,43 cm.

Et voici donc la formule:

• • •
• •
•

troisième cas

Calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et de sa flèche.

Note: « hauteur » ou « flèche » de l’arc s’emploient tous les deux pour désigner la même chose.

Peut-on calculer l’angle d’un arc et le rayon de son cercle connaissant la longueur de sa corde AB et celle de sa flèche DE, et rien d’autre (voir image ci-dessus)?

Réponse: oui!

La procédure se fera en deux étapes:

1) calcul de l’angle
2) calcul du rayon

1) calcul de l’angle

Porter, sur le dessin, une droite dans le prolongement de la flèche DE (trait orange) …

Relier les points E à B (trait bleu) …

Il faut calculer EB. C’est simple car DEB est un triangle rectangle et que les valeurs DE et DB (AB/2) sont données dans l’hypothèse. EB étant l’hypoténuse du triangle rectangle on peut donc écrire en appliquant le théorème de Pythagore (note: « rac » signifie « racine carrée »):

• EB^2 = DE^2 + (AB/2)^2

• EB = rac(DE^2 + (AB/2)^2)

Tracer la médiatrice de DE (trait vert) qui ira couper le prolongement de la flèche (trait orange) à un point C …

Relier B à C (trait rouge). Constat: le triangle EBC est un triangle isocèle et le point C est le centre du cercle de l’arc AB.

Il faut donc calculer l’angle DCB (que l’on multipliera par 2 pour connaître l’angle au cercle de l’arc AB).

L’angle DCB est égal à 180° moins 2 fois l’angle CEB (rappel: EBC est un triangle isocèle).

Les angles CEB et DEB ne font qu’un.

Connaissant les valeurs DB et DE, il sera aisé de calculer l’angle DEB, par la trigonométrie et, à partir de cet angle, caluler l’angle ECB:

• CEB = arcsin(DB/EB)

• ECB = 180° – 2*CEB

Il suffira de multiplier ECB par 2 pour connaître la valeur de l’angle au cercle (ACB) de l’arc AB et ainsi de pouvoir calculer sa longueur:

• angle ACB =

2*(180-2*(arcsin((AB/2)/(rac(DE^2+(AB/2)^2)))))

Conclusion (angle):

Le calcul de l’angle (a) d’un arc à partir de sa corde (c) et de sa flèche (f) peut être formulé de la façon suivante:

Exemple:

Quel est l’angle (en degrés) d’un arc AB sachant que sa corde est égale à 11 cm et que sa flèche DE est égale à 2 cm (voir image ci-dessus)?

Il faut tout d’abord calculer EB (hypoténuse du triangle rectangle DEB):

• EB = rac(2^2+(11/2)^2) = 5,85 cm

Il faut ensuite calculer (en degrés) l’angle CEB:

• CEB = arcsin((11/2)/5,85) = 70°

Ce qui permet de calculer l’angle ECB:

• ECB = 180 – (2*70) = 40°

Et d’obtenir la valeur de l’angle du cercle de l’arc AB:

• ACB = 2*40 = 80°

2) calcul du rayon

Il faut considérer le triangle rectangle CDB (en gris sur l’image ci-dessus):

• l’hypoténuse BC est le rayon et sera désigné par la lettre r

• le côté DB, qui est la moitié de la corde AB (lettre c), sera désigné par c/2

• le côté DC, qui est le rayon r moins la flèche DE (lettre f), sera désigné par r-f

On peut alors appliquer le théorème de Pythagore, puis développer:

• r^2 = (c/2)^2 + (r-f)^2

• r^2 = c^2/4 + r^2 – 2rf + f^2

• r^2 – r^2 = c^2/4 – 2rf + f^2

• 0 = c^2/4 – 2rf + f^2

• 2rf = c^2/4 + f^2

• r = (c^2/4 + f^2) /2f

• r = (c^2/4 + (f*f)) /2f

• r = (c^2/4)/(2f) + f/2f

• r = c^2/(8f) + f/2

Conclusion (rayon):

Le calcul du rayon (r) d’un arc à partir de sa corde (c) et de sa flèche (f) peut être formulé de la façon suivante:

Exemple (suite):

Quel est le rayon d’un arc AB sachant que sa corde est égale à 11 cm et que sa flèche DE est égale à 2 cm (voir image ci-dessus)?

Il faut appliquer la formule:

• r = AB^2/(8*DE) + DE/2

• r = 11^2/(8*2) + 2/2

• r = 121/16 + 1

• r = 7,56 + 1

• r = 8,56 cm

Connaissant l’angle (a = 80°) et la rayon (r = 8,56 cm), il suffit d’appliquer la formule pour connaître la longueur de l’arc AB:

• arc AB = (Pi*r*a) / 180

• arc AB = (Pi*8,56*80) / 180

• arc AB = 11,95 cm

Résultat final: un arc de 11 cm de corde et 2 cm de flèche a une longueur de 11,95 cm.

Autres exemples (ci-dessous):

(avec le tableur Excel de Microsoft)

Notes (image ci-dessus):

– dans les formules qui appa-raissent, celle du calcul de l’angle contient une conversion de radians en degrés car les radians sont utlilisés par défaut dans le tableur Excel;

– l’exemple 8 est un cas particu-lier: une corde qui est égale au double de la flèche est le diamètre du cercle de l’arc et si la flèche vaut 1, alors l’arc vaut Pi (3,14);

– des toutes petites différences de calcul peuvent apparaître dues aux méthodes appliquées pour les arrondis.

Arcs avec des angles > 180°:

L’angle d’un arc est supérieur à 180° quand sa flèche est plus grande que le rayon du cercle (voir image ci-dessus).

Avec une corde AB de 16 cm et une flèche DE de 18 cm, et en appliquant les mêmes formules développées plus haut, on obtiendra:

• l’angle (obtu) ACB = 264,15°

• le rayon CB = 10,78 cm

• l’arc AB = 49,69 cm

Report de ces trois résultats dans l’image ci-dessous:

Autres exemples (ci-dessous):

(toujours avec le tableur Excel)

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•

synthèse

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Cette page est consacrée aux. Un arc de cercle est une partie de la circonférence d’un cercle. Lui sont donc associés, un rayon (le rayon de son cercle) et un angle (au centre de son cercle). On peut aisément calculer la longueur d’un arc en connaissant la longueur du rayon de son cercle et la valeur de l’angle de l’arc au centre de ce cercle. Mais on peut aussi déduire la taille du rayon et la valeur de l’angle à partir d’autres données comme, par exemple, les longueurs de la corde et de la hauteur (flèche) de l’arc.Calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de son angle (en degrés) et du rayon de son cercle.Soit un cercle …De rayon 1 (mètre) …Circonférence = 6,28 mètres …Demi-circonférence = 3,14 mètres …la longueur d’un arc de 180° dans un cercle de rayon 1 est égale àla longueur d’un arc de 180° dans un cercle de rayon r est égale àla longueur d’un arc de a° dans un cercle de rayon r est égale àcomme Pi/180 est égal à 0,01745, la longueur d’un arc de a° dans un cercle de rayon r est égale àCalculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et du rayon de son cercle.Peut-on calculer l’angle d’un arc (et en conséquence sa longueur) connaissant la longueur de sa corde et celle du rayon du cercle de l’arc?Réponse: oui!Sur le dessin ci-dessus apparaît un triangle isocèle (ABC) formé par deux rayons (AC et BC constituant les côtés égaux du triangle isocèle) et par la corde AB de l’arc (le troisième côté du triangle).En portant dans le triangle isocèle une hauteur (CH) ayant comme base la corde (AB), on obtient deux triangles rectangles (HAC et HBC).En considérant le triangle HBC (rectangle en H), on connaît la longueur de son hypoténuse (BC = rayon du cercle) ainsi que la longueur du côté HB (= la moitié de la corde AB).Intervient alors un outil indispen-sable en mathématique: la trigo-nométrie.On sait que le sinus de l’angle HCB est égal au rapport entre le côté opposé (HB) et l’hypoténuse (BC). HB étant au numérateur et BC au dénominateur.On peut donc écrire:Mais comme c’est la valeur de l’angle HCB que l’on cherche on peut donc écrire:Exemple avec une corde de 6 cm d’un arc sur cercle de 5 cm de rayon:• HB = AB/2 = 6/2 = 3• BC = rayon = 5• angle HCB = arcsin(HB/BC)• angle HCB = arcsin(3/5) = 36,86°• angle ACB = 36,86°*2 = 73,73°Il ne reste plus qu’à appliquer la formule (voir plus haut dans cette page) pour calculer la longueur de l’arc ayant pour angle 73,73 degrés dans un cercle de rayon égal à 5 cm:Conclusion: un arc ayant une corde de 6 cm dans un cercle ayant un rayon de 5 cm fait une longueur de 6,43 cm.Calculer la longueur d’un arc de cercle à partir de la longueur de sa corde et de sa flèche.Peut-on calculer l’angle d’un arc et le rayon de son cercle connaissant la longueur de sa corde AB et celle de sa, et rien d’autre (voir image ci-dessus)?Réponse: oui!La procédure se fera en deux étapes:1) calcul de l’2) calcul duPorter, sur le dessin, une droite dans le prolongement de la flèche DE (trait orange) …Relier les points E à B (trait bleu) …Il faut calculer EB. C’est simple car DEB est un triangle rectangle et que les valeurs DE et DB (AB/2) sont données dans l’hypothèse. EB étant l’hypoténuse du triangle rectangle on peut donc écrire en appliquant le théorème de Pythagore• EB^2 = DE^2 + (AB/2)^2• EB = rac(DE^2 + (AB/2)^2)Tracer la médiatrice de DE (trait vert) qui ira couper le prolongement de la flèche (trait orange) à un point C …Relier B à C (trait rouge). Constat: le triangle EBC est un triangle isocèle et le point C est le centre du cercle de l’arc AB.Il faut donc calculer l’angle DCB (que l’on multipliera par 2 pour connaître l’angle au cercle de l’arc AB).L’angle DCB est égal à 180° moins 2 fois l’angle CEB (rappel: EBC est un triangle isocèle).Les angles CEB et DEB ne font qu’un.Connaissant les valeurs DB et DE, il sera aisé de calculer l’angle DEB, par la trigonométrie et, à partir de cet angle, caluler l’angle ECB:• CEB = arcsin(DB/EB)• ECB = 180° – 2*CEBIl suffira de multiplier ECB par 2 pour connaître la valeur de l’angle au cercle (ACB) de l’arc AB et ainsi de pouvoir calculer sa longueur:Le calcul de l’angle (a) d’un arc à partir de sa corde (c) et de sa flèche (f) peut être formulé de la façon suivante:Quel est l’angle (en degrés) d’un arc AB sachant que sa corde est égale à 11 cm et que sa flèche DE est égale à 2 cm (voir image ci-dessus)?Il faut tout d’abord calculer EB (hypoténuse du triangle rectangle DEB):Il faut ensuite calculer (en degrés) l’angle CEB:Ce qui permet de calculer l’angle ECB:Et d’obtenir la valeur de l’angle du cercle de l’arc AB:Il faut considérer le triangle rectangle CDB (en gris sur l’image ci-dessus):• l’BC est le rayon et sera désigné par la lettre• le, qui est la moitié de la corde AB (lettre c), sera désigné par• le, qui est le rayon r moins la flèche DE (lettre f), sera désigné parOn peut alors appliquer le théorème de Pythagore, puis développer:• r^2 = (c/2)^2 + (r-f)^2• r^2 = c^2/4 + r^2 – 2rf + f^2• r^2 – r^2 = c^2/4 – 2rf + f^2• 0 = c^2/4 – 2rf + f^2• 2rf = c^2/4 + f^2• r = (c^2/4 + f^2) /2f• r = (c^2/4 + (f*f)) /2f• r = (c^2/4)/(2f) + f/2fLe calcul du rayon (r) d’un arc à partir de sa corde (c) et de sa flèche (f) peut être formulé de la façon suivante:Quel est le rayon d’un arc AB sachant que sa corde est égale à 11 cm et que sa flèche DE est égale à 2 cm (voir image ci-dessus)?Il faut appliquer la formule:• r = AB^2/(8*DE) + DE/2Connaissant l’angle (a = 80°) et la rayon (r = 8,56 cm), il suffit d’appliquer la formule pour connaître la longueur de l’arc AB:• arc AB = (Pi*r*a) / 180Autres exemples (ci-dessous):Notes (image ci-dessus):- dans les formules qui appa-raissent, celle du calcul de l’angle contient une conversion de radians en degrés car les radians sont utlilisés par défaut dans le tableur Excel;- l’exemple 8 est un cas particu-lier: une corde qui est égale au double de la flèche est le diamètre du cercle de l’arc et si la flèche vaut 1, alors l’arc vaut Pi (3,14);- des toutes petites différences de calcul peuvent apparaître dues aux méthodes appliquées pour les arrondis.L’angle d’un arc est supérieur à 180° quand sa flèche est plus grande que le rayon du cercle (voir image ci-dessus).Avec une corde AB de 16 cm et une flèche DE de 18 cm, et en appliquantdéveloppées plus haut, on obtiendra:• l’angleACB =• le rayon CB =• l’arc AB =Report de ces trois résultats dans l’image ci-dessous:Autres exemples (ci-dessous):