côté (a) , base (b) côté (a) , hauteur (h) base (b) , hauteur (h) côté (a) , angle (α) base (b) , angle (α) côté (a) , angle (β) base (b) , angle (β) base (b) , aire (A) hauteur (h) , aire (A) angle (α) , hauteur (h) angle (β) , hauteur (h)
Formules de calcul dans un triangle isocèle
Hauteur issue du sommet
La hauteur issue du sommet du triangle isocèle, dite aussi hauteur principale, coincide avec :
– la bissectrice issue du sommet
– la médiane issue du sommet
– la médiatrice issue du sommet
– l’axe de symétrie du triangle
La formule de calcul de la hauteur d’un triangle isocèle s’obtient à partir du théorème de Pythagore :
`h = 1/2*sqrt(4*a^2-b^2)`
Ainsi, connaissant deux longueurs parmi a, b et h, on peut déduire la troisième :
`a = sqrt(h^2 + (b/2)^2)`
`b = 2*sqrt(a^2 – h^2)`
Angles
La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. On en déduit :
Formules des angles dans un triangle isocèle :
(angles en degrés)
`2*alpha + beta = 180`
`beta = 180 – 2*alpha`
`alpha = 90 – beta/2`
`sin(alpha) = cos(beta/2) = h/a = sqrt(4*a^2-b^2)/(2*a)`
`cos(alpha) = sin(beta/2) = b/(2*a)`
Aire d’un triangle isocèle
Comme pour tout triangle, l’aire est égale au demi-produit de la base par la hauteur :
`A = 1/2*h * b`
On remplace h à l’aide de la formule ci-dessus. On obtient,
`A = b/4*sqrt(4*a^2-b^2)`
Une autre formule de calcul de l’aire à partir du côté et de l’angle au sommet est la suivante :
`A = 1/2 * a^2 * sin(beta)`
Périmètre d’un triangle isocèle
Le périmètre est égale à la somme des longueurs des trois côtés du triangle :
`P = a + a + b = 2*a + b`
Hauteurs non principales (k)
Ce sont les hauteurs (de longueur k dans le schéma) issues des deux extrémités de la base du triangle isocèle. On les calcule à l’aide du sinus de alpha dans les deux triangles dont les sommets sont matérialisés par des points bleus et rouges,
`sin(alpha) = k/b = h/a`
On remplace h à l’aide de la formule ci-dessus.
`k = b/(2a)*sqrt(4*a^2-b^2)`
Voir aussi
La hauteur issue du sommet du triangle isocèle, dite aussi hauteur principale, coincide avec :- la bissectrice issue du sommet- la médiane issue du sommet- la médiatrice issue du sommet- l’axe de symétrie du triangleAinsi, connaissant deux longueurs parmi a, b et h, on peut déduire la troisième :`a = sqrt(h^2 + (b/2)^2)« b = 2*sqrt(a^2 – h^2)`La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. On en déduit :Le périmètre est égale à la somme des longueurs des trois côtés du triangle :`P = a + a + b = 2*a + b`
Calculateurs de Géometrie Plane
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques
Durant ta scolarité, tu as appris chaque année une notion sur le triangle isocèle. Aujourd’hui, on te propose un récapitulatif de toutes ces informations en un seul et même endroit et ça commence maintenant ! 😋
Un triangle est une forme géométrique. Il est reconnaissable grâce à ses trois côtés. Il existe des dizaines de triangles aux caractéristiques différentes. Néanmoins, on appelle triangle isocèle un triangle qui possède deux côtés égaux (mais pas n’importe lesquels).
Un triangle ABC, dont le sommet est A, est isocèle si les côtés adjacents au point A sont égaux, soit AB=AC. Ainsi BC représente la base du triangle.
💡 Étymologie
Le mot isocèle vient du grec iso (mêmes) et skelos (jambes). Autrement dit, isocèle signifie quelque chose qui a les mêmes jambes. Or, le dessin d’un triangle isocèle fait penser aux deux jambes d’un dessin de bonhomme. Ainsi, le terme isocèle représente deux segments de même longueur.
À lire aussi
Comment être fort en maths ?
Les affirmations de base et leurs démonstrations
📍 Propriété générale
Un triangle isocèle possède deux côtés et deux angles égaux ; en ce sens, un axe de symétrie. Cet axe est la médiane de la base et la bissectrice de l’angle principal.
Démonstration :
Voici un triangle isocèle.
AB = AC. BC est la base du triangle.
La médiane (d) part de l’angle primordial et coupe la base BC perpendiculairement.
(d) est aussi la bissectrice qui sépare l’angle A en deux parts égales.
On justifie des segments de même longueur par // ou /.
📍 Propriété 1
Un triangle isocèle possède deux côtés identiques et deux angles de même mesure à la base. ⇾ Si un triangle possède deux angles identiques, alors il est isocèle !
Démonstration :
Si AB et AC sont égaux,
Alors l’angle B et l’angle C sont identiques.
Donc ABC est un triangle isocèle.
📍 Propriété 2
Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur et la bissectrice sont toutes issues de A ainsi que la médiatrice de la base BC. Elles sont donc confondues.
La médiane est un segment qui relie le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé.
La hauteur d’un côté est la droite qui est perpendiculaire au côté et qui passe par le sommet opposé.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
Dans un triangle isocèle, ces trois segments sont confondus, c’est-à-dire, qu’ils sont tous les mêmes, passant par le même sommet et la base.
Louise
Mines ParisTech
24€/h
Nicolas
CentraleSupélec
17€/h
Fabien
Télécom Paris
20€/h
Clémence
HEC Paris
21€/h/h
Bastien
Polytechnique
26€/h
Pierre
ESSEC
16€/h
Simon
4e année de médecine
26€/h
Jade
Sciences Po Paris
21€/h
Besoin d’un prof particulier de maths ? ✨
Nos Sherpas sont là pour t’aider à progresser et prendre confiance en toi.
PRENDRE UN COURS GRATUIT
Les formules de calcul 📏
Calculer la hauteur 🪜
Pour calculer la hauteur h, on utilise le théorème de Pythagore qui donne la formule :
Démonstration :
Calcul de la hauteur.
Exemple :
On a un triangle BAC dont h est perpendiculaire à BC en un point H. AC = 5 cm et HC = 2 cm.
h mesure environ 4,6 centimètres.
Calculer l’aire d’un triangle isocèle ▲
Pour calculer la surface, il suffit de prendre la formule du calcul de l’aire d’un triangle. Peu importe les attributs de la forme géométrique, la formule reste la même, à savoir :
A = base x h ÷ 2
Démonstration :
Le triangle BAC est isocèle en A. BC = 5 cm et AH
= 5,5 cm.
A = base x h ÷ 2
A = 5 × 5,5 ÷ 2
A = 13,75
La surface de A est de 13,75 cm².
À lire aussi
Comment calculer une aire ?
On dit souvent que le savoir, c’est le pouvoir. Plus tes connaissances seront nombreuses, plus il sera facile pour toi d’avancer dans ta scolarité. Si tu fais partie de ses élèves qui veulent toujours en savoir plus, n’hésite pas à te tourner vers un de nos professeurs particuliers de mathématiques ! 🧑🏫
Calculer le périmètre d’un triangle isocèle ꕔ
En ce qui concerne sa circonférence, c’est pareil. C’est la même formule pour tous les triangles.
P = c × c × c
ou
P = c × 3
Étant donné qu’il s’agit ici d’un triangle isocèle, deux côtés ont la même longueur x et la longueur de la base y. Tu peux donc aussi rencontrer la formule :
P = 2x + y
Démonstration :
Ici, on a un triangle BAC isocèle en A. Puisqu’il est isocèle, AC = AB = 5 cm.
Sa base BC est coupée en son centre par la médiane. Autrement dit, HC + HB = 2 + 2 = 4 cm. Donc BC = 4 cm.
On utilise la formule : P = 2x + y
P = 2 × 5 + 4
P = 10 + 4
P = 14
Donc le périmètre est de 14 centimètres.
À lire aussi
Comment calculer un périmètre ?
Les cas particuliers 🤓
Les triangles rectangles isocèles ◺
Le triangle rectangle isocèle est représenté avec les mêmes caractères que les triangles isocèles étudiés jusqu’à présent. La seule différence concerne l’angle primordial.
Prenons le cas de la figure MNO.
Par définition, un triangle est rectangle lorsqu’un de ces angles équivaut à 90°, soit un angle droit. Ici, MNO est rectangle en N.
Il est également isocèle, car deux de ses côtés ont des mesures identiques, MN = NO.
💡 Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle ?
Exactement de la même manière que pour tous les types de formes triangulaires : base x h ÷ 2
Exemple :
Un triangle MNO est rectangle en O et isocèle car MO = NO. MO = 6 cm ; MN = 8 cm et h = 4 cm.
Pour calculer l’aire :
A = base x h ÷ 2
A = 8 × 4 ÷ 2
A = 32 ÷ 2
A = 16
La surface est de 16 cm².
Les triangles équilatéraux △
Pour ce cas, les trois côtés de la forme géométrique ont les mêmes longueurs. En ce sens, le triangle est forcément isocèle en chacun de ses angles.
Peu importe la longueur des côtés, un triangle équilatéral aura toujours ces angles à 60°.
Prenons le cas de la figure MNO.
Par définition, un triangle équilatéral possède ses trois côtés et ses trois angles égaux.
Donc MN = NO = OM et tous les angles mesurent 60°.
Martin
HEC Paris
23€/h
Jade
Sciences Po Paris
21€/h
Bastien
Polytechnique
26€/h
Emilie
Sciences Po Lyon
19€/h
Hugo
Insa Lyon
16€/h
Alma
ENS Paris-Saclay
24€/h
David
EDHEC
25€/h
Jeanne
Aix-Marseille Université
17€/h
Gagne 4 points sur ta moyenne générale ! 📈
En étant accompagné par un Sherpa, nos élèves gagnent 4 points sur leur moyenne en un an.
PRENDRE UN COURS GRATUIT
Voici quelques exercices pour t’entraîner 🖩
- Voici XYZ, définit sa forme avec l’affirmation adaptée.
2. Calcule h toujours avec XYZ.
3. Trouve l’aire de XYZ avec les résultats obtenus.
Corrections des exercices !
- Dans ce cas, on peut identifier la propriété 1.
Un triangle isocèle possède deux côtés égaux et deux angles de même mesure à la base. ⇾ Si un triangle possède deux angles identiques, alors il est isocèle !
- On utilise le théorème de Pythagore.
Le résultat obtenu doit être d’environ 5,4 cm.
- On utilise la formule : A = base x h ÷ 2.
La surface est de 13,5 cm².
Nul en maths ? Essaye le retro-engineering !
Tu sais à présent tout au sujet du triangle isocèle ! Plus aucune excuse pour résoudre des problèmes en cours de géométrie et le contrôle, c’est les doigts dans le nez. Si cette fiche de cours t’a bien aidé, n’hésite pas à l’envoyer à tes amis pour comparer vos résultats et à nous dire en commentaire dans quelles autres matières tu as des difficultés. 😎
3.8/5 – (5 votes)
Soyez le premier a laisser un commentaire