Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Si b est la longueur de ces deux côtés et a la longueur du troisième côté, alors l’aire A correspondant à la surface de ce triangle isocèle est égale à :
Un triangle isocèle ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle isocèle, son aire A est égale à :
A = a x h / 2
Principe de calcul de l’aire d’un triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur. On appelle base du triangle isocèle le côté dont la longueur diffère des deux autres. Dans un triangle isocèle, la médiatrice forme un angle droit avec la base qu’elle coupe en son milieu.
Le triangle isocèle se décompose donc en deux triangles rectangles symétriques.
En appliquant le théorème de Pythagore à l’un de ces triangles, on obtient :
Le triangle isocèle est aussi un triangle quelconque et hérite de ses propriétés. On a donc :
A = a x h / 2
En remplaçant h dans cette équation, on obtient finalement :
Exemple
Soit un triangle isocèle dont la base mesure 4 cm et les deux côtés égaux mesurent chacun 7 cm. Son aire A est égale à :
L’aire représente une surface.
C’est un nombre qui permet d’exprimer « la taille » de cette surface.
Pour calculer l’aire de figures géométriques, il faut utiliser des formules.
Voici la formule permettant de calculer l’aire d’un triangle :
Aire d’un triangle = (Base × hauteur) : 2 soit : A = (B × h) : 2
Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut donc connaître :
• La mesure de la base : la base représente un des côtés du triangle.
• La mesure de la hauteur : la hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé (c’est-à-dire la base) à ce sommet.
Généralement, l’aire d’un triangle s’exprime en cm2.
Exemple
Si le côté BC est choisi comme base du triangle ABC, alors, la droite perpendiculaire à BC et passant par A sera la hauteur de la base BC.
La droite rouge est donc une des hauteurs du triangle ABC ; on dit que cette hauteur est « issue » de A.
Remarque
Dans un triangle, il y a 3 hauteurs :
Les droites orange, roses et vertes sont les hauteurs du triangle ABC.
Les droites orange, roses et vertes sont les hauteurs du triangle ABC.
Voici la formule permettant de calculer l’aire d’un triangle :Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut donc connaître :la base représente un des côtés du triangle.la hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé (c’est-à-dire la base) à ce sommet.Généralement, l’aire d’un triangle s’exprime enSi le côté BC est choisi comme base du triangle ABC, alors, la droite perpendiculaire à BC et passant par A sera la hauteur de la base BC.La droite rouge est donc une des hauteurs du triangle ABC ; on dit que cette hauteur est « issue » de A.
L’aire d’un triangle est la région qu’il englobe, dans un plan bidimensionnel. Comme nous le savons, un triangle est une forme fermée qui a trois côtés et trois sommets. Ainsi, l’aire d’un triangle est l’espace total occupé par les trois côtés du triangle. Comment calculer l’aire d’un triangle ?
La formule générale pour trouver l’aire du triangle est donnée par la moitié du produit de sa base et de sa hauteur.
En général, le terme « surface » se définit comme la région occupée à l’intérieur des limites d’un objet plat ou d’une figure. En plus, la mesure se fait en unités carrées, l’unité standard étant le mètre carré (m2).
Par ailleurs, pour le calcul de l’aire, il existe des formules prédéfinies pour les carrés, rectangles, cercles, triangles, etc. Dans cet article, nous allons apprendre les formules de calcul de l’aire d’un triangle pour différents types de triangles, ainsi que quelques exemples de problèmes.
Quelle est l’aire d’un triangle ?
L’aire d’un triangle est définie comme la région totale délimitée par les trois côtés d’un triangle donné. Fondamentalement, elle est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire A = ( B × H ) : 2.
Par conséquent, pour trouver l’aire d’un polygone à trois côtés, nous devons connaître sa base (b) et sa hauteur (h).
De surcroît, cette méthode s’applique à tous les types de triangles, qu’ils soient scalènes, isocèles ou équilatéraux. A noter aussi que la base et la hauteur du triangle sont perpendiculaires l’une à l’autre. L’unité d’aire se mesure en unités carrées (m2, cm2)
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où B et H sont respectivement la Base et la Hauteur du triangle.
Voyons maintenant comment calculer l’aire d’un triangle à l’aide de la formule donnée. Les formules de calcul de l’aire de tous les différents types de triangles, comme l’aire d’un triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle, ainsi que la façon de trouver l’aire d’un triangle à 3 côtés à l’aide de la formule de Héron, avec des exemples, sont données ci-dessous.
Aire = (Base × Hauteur) : 2
Exemple
Quelle est l’aire d’un triangle dont la base est B = 3 cm et la hauteur H= 4 cm ?
En utilisant la formule,
Aire d’un triangle, A = (B × H) : 2
= (4 cm × 3 cm) : 2
= 12 cm2 : 2
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= 6 cm2
Calculer l’aire d’un triangle rectangle
Un triangle rectangle, également appelé triangle droit, a un angle quelconque égal à 90°. Par conséquent, la hauteur du triangle sera la longueur du côté perpendiculaire.
Aire d’un triangle rectangle = A = (Base × Hauteur) : 2
Calculer l’aire d’un triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. En plus, la perpendiculaire tracée du sommet du triangle à la base divise la base en deux parties égales. Donc, pour calculer l’aire du triangle équilatéral, il faut connaître la mesure de ses côtés.
Les trois côtés sont égaux ; dans ABC, côtés AB = BC = CA
Aire d’un triangle équilatéral :
A = √3/4 (a)²
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Exemple :
A = 4 cm
Donc, A = √3/4 × (4 × 4) cm 2
= 4√3 cm 2
Un triangle équilatéral ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle équilatéral, son aire A est égale à :
A = (B x H) : 2
Calculer l’aire d’un triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux de ses côtés égaux et les angles opposés aux côtés égaux sont également égaux.
L’aire d’un triangle isocèle :
Un triangle isocèle ayant les propriétés d’un triangle quelconque, si h est la hauteur du triangle isocèle, son aire A est égale à :
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A = (B × H) : 2
Durant ta scolarité, tu as appris chaque année une notion sur le triangle isocèle. Aujourd’hui, on te propose un récapitulatif de toutes ces informations en un seul et même endroit et ça commence maintenant ! 😋
Un triangle est une forme géométrique. Il est reconnaissable grâce à ses trois côtés. Il existe des dizaines de triangles aux caractéristiques différentes. Néanmoins, on appelle triangle isocèle un triangle qui possède deux côtés égaux (mais pas n’importe lesquels).
Un triangle ABC, dont le sommet est A, est isocèle si les côtés adjacents au point A sont égaux, soit AB=AC. Ainsi BC représente la base du triangle.
💡 Étymologie
Le mot isocèle vient du grec iso (mêmes) et skelos (jambes). Autrement dit, isocèle signifie quelque chose qui a les mêmes jambes. Or, le dessin d’un triangle isocèle fait penser aux deux jambes d’un dessin de bonhomme. Ainsi, le terme isocèle représente deux segments de même longueur.
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📍 Propriété générale
Un triangle isocèle possède deux côtés et deux angles égaux ; en ce sens, un axe de symétrie. Cet axe est la médiane de la base et la bissectrice de l’angle principal.
Démonstration :
Voici un triangle isocèle.
AB = AC. BC est la base du triangle.
La médiane (d) part de l’angle primordial et coupe la base BC perpendiculairement.
(d) est aussi la bissectrice qui sépare l’angle A en deux parts égales.
On justifie des segments de même longueur par // ou /.
📍 Propriété 1
Un triangle isocèle possède deux côtés identiques et deux angles de même mesure à la base. ⇾ Si un triangle possède deux angles identiques, alors il est isocèle !
Démonstration :
Si AB et AC sont égaux,
Alors l’angle B et l’angle C sont identiques.
Donc ABC est un triangle isocèle.
📍 Propriété 2
Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur et la bissectrice sont toutes issues de A ainsi que la médiatrice de la base BC. Elles sont donc confondues.
La médiane est un segment qui relie le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé.
La hauteur d’un côté est la droite qui est perpendiculaire au côté et qui passe par le sommet opposé.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
Dans un triangle isocèle, ces trois segments sont confondus, c’est-à-dire, qu’ils sont tous les mêmes, passant par le même sommet et la base.
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Les formules de calcul 📏
Calculer la hauteur 🪜
Pour calculer la hauteur h, on utilise le théorème de Pythagore qui donne la formule :
Démonstration :
Calcul de la hauteur.
Exemple :
On a un triangle BAC dont h est perpendiculaire à BC en un point H. AC = 5 cm et HC = 2 cm.
h mesure environ 4,6 centimètres.
Calculer l’aire d’un triangle isocèle ▲
Pour calculer la surface, il suffit de prendre la formule du calcul de l’aire d’un triangle. Peu importe les attributs de la forme géométrique, la formule reste la même, à savoir :
A = base x h ÷ 2
Démonstration :
Le triangle BAC est isocèle en A. BC = 5 cm et AH
= 5,5 cm.
A = base x h ÷ 2
A = 5 × 5,5 ÷ 2
A = 13,75
La surface de A est de 13,75 cm².
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Calculer le périmètre d’un triangle isocèle ꕔ
En ce qui concerne sa circonférence, c’est pareil. C’est la même formule pour tous les triangles.
P = c × c × c
ou
P = c × 3
Étant donné qu’il s’agit ici d’un triangle isocèle, deux côtés ont la même longueur x et la longueur de la base y. Tu peux donc aussi rencontrer la formule :
P = 2x + y
Démonstration :
Ici, on a un triangle BAC isocèle en A. Puisqu’il est isocèle, AC = AB = 5 cm.
Sa base BC est coupée en son centre par la médiane. Autrement dit, HC + HB = 2 + 2 = 4 cm. Donc BC = 4 cm.
On utilise la formule : P = 2x + y
P = 2 × 5 + 4
P = 10 + 4
P = 14
Donc le périmètre est de 14 centimètres.
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Les cas particuliers 🤓
Les triangles rectangles isocèles ◺
Le triangle rectangle isocèle est représenté avec les mêmes caractères que les triangles isocèles étudiés jusqu’à présent. La seule différence concerne l’angle primordial.
Prenons le cas de la figure MNO.
Par définition, un triangle est rectangle lorsqu’un de ces angles équivaut à 90°, soit un angle droit. Ici, MNO est rectangle en N.
Il est également isocèle, car deux de ses côtés ont des mesures identiques, MN = NO.
💡 Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle ?
Exactement de la même manière que pour tous les types de formes triangulaires : base x h ÷ 2
Exemple :
Un triangle MNO est rectangle en O et isocèle car MO = NO. MO = 6 cm ; MN = 8 cm et h = 4 cm.
Pour calculer l’aire :
A = base x h ÷ 2
A = 8 × 4 ÷ 2
A = 32 ÷ 2
A = 16
La surface est de 16 cm².
Les triangles équilatéraux △
Pour ce cas, les trois côtés de la forme géométrique ont les mêmes longueurs. En ce sens, le triangle est forcément isocèle en chacun de ses angles.
Peu importe la longueur des côtés, un triangle équilatéral aura toujours ces angles à 60°.
Prenons le cas de la figure MNO.
Par définition, un triangle équilatéral possède ses trois côtés et ses trois angles égaux.
Donc MN = NO = OM et tous les angles mesurent 60°.
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- Voici XYZ, définit sa forme avec l’affirmation adaptée.
2. Calcule h toujours avec XYZ.
3. Trouve l’aire de XYZ avec les résultats obtenus.
Corrections des exercices !
- Dans ce cas, on peut identifier la propriété 1.
Un triangle isocèle possède deux côtés égaux et deux angles de même mesure à la base. ⇾ Si un triangle possède deux angles identiques, alors il est isocèle !
- On utilise le théorème de Pythagore.
Le résultat obtenu doit être d’environ 5,4 cm.
- On utilise la formule : A = base x h ÷ 2.
La surface est de 13,5 cm².
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