Dans un rectangle, la diagonale est la ligne droite qui relie les deux sommets opposés de la figure [1] . Ainsi, on peut dire qu’un rectangle a deux diagonales identiques de même longueur [2] . En connaissant la valeur des longueurs des côtés qui composent un rectangle, vous pouvez trouver facilement la valeur de la diagonale en utilisant le théorème de Pythagore, étant donné qu’une diagonale divise un rectangle en deux triangles. Si vous ne connaissez pas cette mesure, mais disposez d’autres informations, telles que la superficie et le périmètre ou la relation entre les côtés, vous pouvez utiliser quelques étapes supplémentaires pour trouver la longueur et la largeur de votre figure, et de là, il vous serait possible d’utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur la diagonale.
Calculer la Longueur de la Diagonale d’un Rectangle avec Pythagore
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm.
Question 1 / 1
Affirmation: Les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186 cm.
Faux car les diagonales mesurent environ 186 cmFaux car les diagonales mesurent environ 129 cmFaux car les diagonales mesurent exactement 255 cmVrai car les diagonales mesurent exactement 186 cm
Vidéo de correction
Vidéo de correction de l’exercice
1
Schématiser le rectangle
Commence par réaliser un schéma du rectangle ABCD en y indiquant les informations de l’énoncé. Trace une diagonale de ce rectangle afin de faire apparaître 2 triangles rectangles. La diagonale du rectangle correspond à l’hypoténuse de chacun de ces triangles rectangles. Puisque tu connais la longueur des 2 autres côtés de chaque triangle rectangle, tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse.
2
Utiliser le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés au carré. DB² est donc égal à AB² + AD². Écris cette relation d’égalité et remplace AB et AD par leur longueur respective. Tu te retrouves alors face à une équation à une inconnue, l’hypoténuse DB. Résous cette équation jusqu’à trouver que DB est environ égal à 186,08 cm. Ce n’est pas exactement 186 cm, donc l’affirmation de l’exercice est fausse !
Exercice en image
Calculer la longueur de la diagonale d’un rectangle avec Pythagore.
Cet exercice est extrait de l’épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges (DNB) Amérique du Nord (3 juin 2021).
La longueur d de la diagonale d’un rectangle de longueur L et de largeur l est égale à :
Principe de calcul de la longueur de la diagonale d’un rectangle
La diagonale d’un rectangle forme avec deux côtés adjacents un triangle rectangle.
Il suffit donc d’appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la diagonale du rectangle, qui constitue l’hypoténuse du triangle rectangle :
Remarque : dans un rectangle, les deux diagonales sont de même longueur.
Exemple
Soit un rectangle de longueur L = 4 cm et de largeur l = 2 cm. La longueur d de sa diagonale est égale à :
Descartes et les Mathématiques
Le rectangle au collège avec la géométrie dynamique
Comment tracer un rectangle à la règle et au compas,
1. Construire un rectangle
Comment faire un rectangle avec GéoPlan
Dessiner le segment [AB], tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A,
placer un point D sur cette perpendiculaire,
tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A,
C est le point d’intersection de ces deux parallèles.
Tracer les segments [BC], [CD] et [AD].
Il est possible de tracer les diagonales et le cercle circonscrit au rectangle.
Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ;
la figure GéoPlan rectangl.g2w
Comment calculer la longueur d’une diagonale d’un rectangle
Les deux diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
Pour la diagonale [AC], étudier un des triangles rectangles ABC ou ADC, et y calculer AC avec le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2 = L2 + l2 pour un rectangle de longueur AB = L et de largeur BC = l.
Aire d’un rectangle
L’aire du rectangle de longueur L et de largeur l est égale au produit Ll.
De tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a l’aire maximum est le carré.
Géoplan 5 × 5
Aire(ABCD) = 6.
Les diagonales sont de même longueur 2
.
Figure interactive dans GeoGebraTube : rectangle dans le géoplan 5 × 5
3. Construire un rectangle de longueur 5 et de largeur 3
Comment construire un rectangle avec règle et compas
Placer un point A, dessiner une demi-droite d’origine A et un cercle de centre A et de rayon la longueur 5 ;
le point B est à leur intersection, tracer le segment [AB].
Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A et un cercle de centre A et de rayon la larguer 3 ;
placer le point D sur cette perpendiculaire, à une des intersections avec le cercle, dessiner le segment [AD].
Tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A ;
Le quatrième sommet C est le point d’intersection de ces deux parallèles ;
tracer les segments [BC] et [CD].
Télécharger la figure GéoPlan dessiner_rectangle.g2w
4. Comparer deux longueurs
Définitions et propriétés
• Les définitions et les propriétés contribuent à développer la connaissance des objets et leur intérêt pour représenter les situations. Elles constituent d’autre part, dans le cadre de la géométrie, les références nécessaires sur lesquelles peut se faire l’apprentissage du raisonnement déductif.
Ainsi, l’exemple suivant, dans lequel les justifications sont simples et accessibles aux élèves, permet de réinvestir d’une façon non triviale le fait que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur (et que tous les rayons d’un même cercle sont de même longueur).
La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires.
OIAJ et OKBL sont deux rectangles.
Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL] ?
L’étude ne vise pas un simple traitement instrumenté, mais concerne une configuration sur laquelle fonctionnent des propriétés. Il ne s’agit plus de modélisation pour résoudre unproblème concret, mais d’une situation purement abstraite, représentative d’une autre famille de problèmes de géométrie, relative à l’utilisation directe (sans changement de cadre) d’un corpus de définitions et de propriétés pour établir une preuve.
Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e – Géométrie au collège
Projet de document d’accompagnement mathématique – Juillet 2007
Avec la géométrie dynamique
Classe de sixième
La figure représente un cercle de centre O, [MN] et [PQ] sont deux de ses diamètres perpendiculaires.
OHAI et OJBK sont deux rectangles.
Que peut-on dire des longueurs des deux segments [HI] et [JK] ?
Indications
Les justifications sont simples et accessibles aux élèves, et permettent de réinvestir, d’une façon non triviale, le fait que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et que tous les rayons d’un même cercle sont de même longueur.
Télécharger la figure GéoPlan comparer_longueur.g2w
Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d’un problème
5. Balade sur l’hypoténuse
Recherche de minimum : comment caractériser le point solution ?
Il s’agit d’étudier le problème suivant :
Dans un triangle ABC rectangle en C, M est un point de l’hypoténuse, H et K sont sur les côtés de l’angle droit, tels que HMKC soit un rectangle.
Pour quelle position du point M la longueur du segment [HK] est-elle la plus petite possible ?
Variante : rectangle dans un triangle rectangle
Pour quelle position du point M, le rectangle inscrit dans le triangle rectangle OAB a t’il une aire maximale ?
Fonction longueur du rectangle
Solution
La résolution s’appuie sur l’isométrie des diagonales d’un rectangle et sur la notion de distance d’un point à une droite.
Le point solution est le pied de la hauteur issue de l’angle droit.
Télécharger la figure GéoPlan balade_hypotenuse.g2w
6. Lieu de point : diagonale mobile
O est un point d’une droite (d1).
Une demi-droite (d2) est perpendiculaire en O à la droite (d1).
N est un point variable sur la droite (d1) et P est un point variable sur la demi-droite (d2) tels que PN = 5 cm.
On trace le point M tel que ONMP soit un rectangle.
Quel est le lieu géométrique du point M lorsque l’on déplace les points N ou P ?
Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d’un problème
un lieu mystérieux : revue.sesamath.net – le LGD mène l’enquête
Autre diagonale rayon d’un demi-cercle
La résolution s’appuie sur l’isométrie des diagonales d’un rectangle.
La construction d’un segment de longueur constante dont les extrémités sont mobiles sur des perpendiculaires nécessite la construction d’un cercle de rayon 5 cm, par exemple celui de centre N.
Le lieu solution est un demi-cercle de centre O et de rayon 5 cm.
Figure interactive dans GeoGebraTube : diagonale mobile d’un rectangle
7. Quadrilatère dans un rectangle : napperon
Petit x no 80
Sur une table rectangulaire ABCD, on veut placer un napperon ayant la forme d’un quadrilatère MNPQ. On souhaite que l’aire du napperon soit égale à la moitié de l’aire de la table.
Les sommets du napperon sont situés sur les côtés du rectangle avec M un point de [AB], N un point de [BC], P un point de [CD] et Q un point de [DA].
7.a. Réaliser une figure en utilisant un logiciel de géométrie (pour les sommets du rectangle, choisir la longueur L et la largeur l de telle façon que les coordonnées de A, B, C et D soient entières).
Quadrilatère
Parallélogramme
Variante : le napperon est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle.
Télécharger la figure GéoPlan Napperon.g2w,
la figure GéoPlan Napperon_parallelogramme.g2w
Remarque : ce parallélogramme minimise alors le périmètre des parallélogrammes inscrits dans le rectangle.
C’est le parallélogramme de lumière dont les côtés se réfléchissent sur les bords du rectangle à la façon de rayons lumineux.
7.b. Afficher les aires de rectangle ou de quadrilatère
Afficher l’aire du rectangle ABCD et l’aire du quadrilatère MNPQ.
Technique GéoPlan : on partage la surface des quadrilatères, avec une diagonale, en deux triangles et on additionne les aires :
« Créer > Affichage> Aire d’un triangle »
r1 aire du triangle ABCr = 2r1t1 aire du triangle MNPt2 aire du triangle MPQt = t1+t2
7.c. En faisant varier la position des points M ou P, émettre une conjecture concernant une condition suffisante pour que l’aire du quadrilatère MNPQ soit la moitié de celle du rectangle ABCD.
7.d. Démontrer le résultat conjecturé.
8. Taille d’une bille inscrite dans un rectangle
Calculer l’aire de la surface hachurée.
AB = 2, BC = 1.
Le cercle a pour rayon r = 
– 1.
L’aire de la surface hachurée est π(3 – 2) + 1.
Télécharger la figure GéoPlan bille.g2w
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Page no169, réalisée le 24/3/2011
mise à jour le 19/12/2012
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