Exemple 4: Déterminer le volume d’une pyramide connaissant sa hauteur latérale et la longueur de son arête latérale
Trouvez le volume de la pyramide régulière suivante en arrondissant la réponse au centième près.
Réponse
Sur cette figure, nous avons les longueurs de la hauteur latérale et de l’arête latérale. Dans une pyramide régulière, les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Par conséquent, la longueur de l’arête latérale sera la longueur de l’une des cotés égaux dans les triangles isocèles.
Afin de trouver le volume d’une pyramide, nous pouvons utiliser la formule 𝑉=13(𝐴×ℎ),pyramidebase où 𝐴base est l’aire de la base de la pyramide et ℎ est la hauteur.
Avant de pouvoir utiliser cette formule, nous devrons calculer l’aire de la base et la hauteur en utilisant les longueurs données.
On considère la section triangulaire suivante de la pyramide.
Dans une pyramide régulière, le sommet de la pyramide se situe au-dessus du centre géométrique de la base. La hauteur, ℎ, de ce triangle est aussi la hauteur de la pyramide. La longueur de base inconnue de ce triangle peut être définie comme 𝑥cm. Cependant, comme on ne nous a donné que la longueur d’un des côtés de cette section triangulaire, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de ℎ.
On peut cependant calculer la valeur de 𝑥 en considérant le triangle rectangle qui est la moitié d’un des triangles isocèles qui forment les faces latérales.
La longueur de la base de ce triangle serait identique à celle de la base du triangle précédent, 𝑥cm. La hauteur est la même que la hauteur latérale de la pyramide, 15 cm, et l’hypoténuse du triangle est 17 cm. Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, qui indique que, pour chaque triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ainsi, nous remplaçons les valeurs des longueurs, 15 cm et 17 cm, et on simplifie pour trouver 𝑥. Cela donne 17=15+𝑥289=225+𝑥289−225=𝑥64=𝑥√64=𝑥.
Comme 𝑥 est une longueur, il suffit de prendre la valeur positive de la racine carrée ; par conséquent, 𝑥=8.cm
On peut maintenant utiliser cette valeur de 𝑥 pour calculer la valeur de ℎ dans le premier triangle. En appliquant à nouveau le théorème de Pythagore, nous avons 15=𝑥+ℎ15=8+ℎ225=64+ℎ225−64=ℎ161=ℎ√161=ℎ.
Sachant que 161 n’est pas un carré parfait, on peut garder la valeur de ℎ=√161 sous cette forme de racine.
Jusqu’à présent, nous avons calculé la hauteur de la pyramide comme √161cm. Nous avons toujours besoin de l’aire de la base pour trouver le volume de la pyramide. En fait, nous sommes sur le point d’avoir la longueur d’un des côtés de la base. Comme il s’agit d’une pyramide régulière, sa base doit être un polygone régulier. Cela signifie qu’on doit avoir une base carrée. La valeur de 𝑥=8 que nous avons calculé est égal à la moitié de la longueur de l’un des côtés du carré. Par conséquent, la longueur du côté du carré à la base est 8×2=16cm.
Rappelons que, pour déterminer l’aire d’un carré, on élève au carre la longueur de son côté. Ainsi, l’aire du carré à la base de la pyramide est calculée par 𝐴=16=256.basecm
Enfin, on peut remplacer les valeurs, 𝐴=256basecm et ℎ=√161cm, dans la formule pour déterminer le volume d’une pyramide, 𝑉=13(𝐴×ℎ)pyramidebase. Cela nous donne 𝑉=13256×√161=1082,7586….pyramidecm
En arrondissant au centième près, on peut dire que le volume de la pyramide est égal à 1082,76cm.
Calcul du volume d’une pyramide
Retrouvez la formule ainsi qu’un cours complet pour faire le calcul du volume d’une pyramide par vous-même.
Et profitez d’un outil gratuit pour calculer automatiquement l’aire de la base de la pyramide ainsi que pour convertir le volume en litres.
En mathématiques, le calcul du volume et des aires des solides est abordé au même moment et peut parfois poser des difficultés aux élèves.
Propriétés d’une pyramide
Comment reconnaître une pyramide ?
Une pyramide est un polyèdre. La particularité de la pyramide est que l’une de ses faces, également appelée la base, est un polygone.
Les autres faces de la pyramide sont des triangles.
Selon la nature de la base, on parle de pyramide à base triangulaire ou carrée ou rectangulaire, pentagonale, …
-
Une pyramide possède autant de faces latérales que sa base a de côtés
Par conséquent, si la base de la pyramide est un carré (4 côtés), alors la pyramide aura 444 faces. Si la base de la pyramide est triangulaire, alors la pyramide aura 333 faces. -
La distance entre le sommet et le plan de base est appelée la hauteur de la pyramide.
Une pyramide est donc caractérisée par :
- sa base polygonale et la forme de cette dernière (triangle, carré, rectangle…)
- sa hauteur
hh
h
Formule générale de calcul du volume d’une pyramide avec l’aire de sa base
Pour calculer correctement le volume de l’aire d’une pyramide, il convient d’identifier la forme de sa base : est-elle carrée ? rectangulaire ? triangle ?
A partir de là vous trouverez ci-dessous les formules de calcul du volume d’une pyramide en fonction de la forme de sa base.
La formule générale de calcul du volume d’une pyramide met en lien l’aire de la base de la pyramide et la hauteur de cette dernière.
Vpyramide=Airebase×h3boxed{V_{pyramide} = dfrac{Aire_{base} times h}{3}}Vpyramide=3Airebase×h
avec :
-
VV
V
= volume de la pyramide
-
hh
h
= hauteur de la pyramide
-
AirebaseAire_{base}
A
i
r
e
b
a
s
e
= l’aire de la base de la pyramide
Calcul du volume d’une pyramide à base rectangulaire
Il existe deux méthodes pour calculer le volume d’une pyramide à base rectangulaire.
Pour ce calcul de volume, il est ainsi possible d’utiliser :
- L’aire de la base ici l’aire d’un rectangle
- La longueur et la largeur du rectangle à la base de la pyramide
Formule avec l’aire du rectangle
Vpyramidebaserectangle=Airerectangle×h3V_{pyramidebaserectangle} = dfrac{Aire_{rectangle} times h}{3}Vpyramidebaserectangle=3Airerectangle×h
avec :
-
AA
A
= aire de la base
=Airerectangle=L×l= Aire_{rectangle}= L times l
=
A
i
r
e
r
e
c
t
a
n
g
l
e
=
L
×
l
-
LL
L
= longueur du rectangle
-
ll
l
= largeur du rectangle
-
hh
h
= hauteur de la pyramide
Un exercice portant sur le calcul du volume d’une pyramide à base rectangulaire pourrait comporter un énoncé-type comme suit.
La pyramide suivante est une pyramide à base rectangulaire. L’aire AAA de sa base fait 20cm220cm^220cm2 et dont la hauteur hhh mesure 5cm5cm5cm.
Calculez le volume de la pyramide.
Vpyramide=Airerectangle×h3=20×53=1003≈33,3cm3V_{pyramide} = dfrac{Aire_{rectangle} times h}{3}= dfrac{20 times 5}{3} = dfrac{100}{3} boxed{approx 33{,}3 cm^3}Vpyramide=3Airerectangle×h=320×5=3100≈33,3cm3
Formule avec la longueur et la largeur du rectangle
Pour avoir la formule directement applicable avec les mesures de la longueur et de la largeur du rectangle qui sert de base à la pyramide, on remplace ArectangleA_{rectangle}Arectangle par l×Ll times Ll×L
Vpyramidebaserectangulaire=l×L×h3=Llh3V_{pyramide base rectangulaire} = dfrac{l times L times h}{3}= boxed{dfrac{Llh}{3}}Vpyramidebaserectangulaire=3l×L×h=3Llh
avec :
-
LL
L
= longueur du rectangle
-
ll
l
= largeur du rectangle
-
hh
h
= hauteur de la pyramide
Par exemple, calculez le volume de la pyramide à base rectangulaire de longueur LLL 5cm5cm5cm, de largeur lll 4cm4cm4cm et de hauteur hhh, 5cm5cm5cm.
Vpyramidebaserectangle=L×l×h3=5×4×53=1003≈33,3cm3V_{pyramidebaserectangle} = dfrac{L times l times h}{3} = dfrac{5 times 4 times 5}{3} = dfrac{100}{3} approx boxed{33{,}3cm^3}Vpyramidebaserectangle=3L×l×h=35×4×5=3100≈33,3cm3
Calcul du volume d’une pyramide à base carrée
Pour calculer le volume d’une pyramide à base carrée, il est également possible de se servir de l’aire de la base donc de l’aire du carré ou bien de la longueur d’un des côtés du carré.
Formule avec l’aire du carré
Vpyramidebasecarreˊe=Acarreˊ×h3V_{pyramide base carrée} = boxed{dfrac{A_{carré} times h}{3}}Vpyramidebasecarreˊe=3Acarreˊ×h
avec :
-
AA
A
= aire de la base
=Airecarreˊ=c×c=c2= Aire_{carré}= c times c = c^2
=
A
i
r
e
c
a
r
r
e
ˊ
=
c
×
c
=
c
2
-
cc
c
= longueur d’un côté du carré
-
hh
h
= hauteur de la pyramide
Par exemple, si l’énoncé est le suivant : calculez le volume de la pyramide à base carrée dont l’aire de la base est 25cm225cm^225cm2 et la hauteur est 6cm6cm6cm.
Il suffit d’appliquer directement la formule comme suit :
Vpyramidebasecarreˊe=Acarreˊ×h3=25×63=1503=50cm3V_{pyramidebasecarrée}= dfrac{A_{carré} times h}{3} = dfrac{25 times 6}{3} = dfrac{150}{3} = boxed{50cm^3}Vpyramidebasecarreˊe=3Acarreˊ×h=325×6=3150=50cm3
Formule avec la longueur d’un côté du carré
Pour avoir la formule directement applicable avec ccc s’il est donné dans l’énoncé, on remplace AcarreˊA_{carré}Acarreˊ par c2c^2c2 soit :
Vpyramidebasecarreˊe=c2×h3V_{pyramide base carrée} = boxed{dfrac{c^2 times h}{3}}Vpyramidebasecarreˊe=3c2×h
avec :
-
cc
c
= longueur d’un côté du carré
-
hh
h
= hauteur de la pyramide
Dans le cadre des énoncés d’exercices, il sera généralement demandé de calculer d’abord l’aire de la base de la pyramide et ensuite son volume total.
Cependant, si l’on vous demande directement le volume de la pyramide et que l’énoncé ne comprend que la longueur d’un côté de la base (ici carrée), alors vous pouvez vous servir de la formule ci-dessus.
Par exemple, calculez le volume de la pyramide de base carrée dont la longueur ccc du côté mesure 5cm5cm5cm et la hauteur 6cm6cm6cm.
Vpyramidebasecarreˊe=52×63=25×63=1503=50cm3V_{pyramidebasecarrée} = dfrac{5^2 times 6}{3} = dfrac{25 times 6}{3} = dfrac{150}{3} = boxed{50cm^3}Vpyramidebasecarreˊe=352×6=325×6=3150=50cm3
Calcul volume pyramide base triangulaire
Pour un triangle quelconque ou rectangle, il suffit d’appliquer la formule générale soit :
Vpyramidebasetriangulaire=Airebase×h3=Airetriangle×h3boxed{V_{pyramidebasetriangulaire} = dfrac{Aire_{base} times h}{3}= dfrac{Aire_{triangle} times h}{3}}Vpyramidebasetriangulaire=3Airebase×h=3Airetriangle×h
avec :
-
VV
V
le volume de la pyramide
-
AiretriangleAire_{triangle}
A
i
r
e
t
r
i
a
n
g
l
e
l’aire du triangle ainsi calculée
-
hh
h
la hauteur de la pyramide
Par exemple, si l’énoncé d’un exercice précise :
La pyramide ABCDABCDABCD est de base triangulaire ABCABCABC dont l’aire est de 4cm24cm^24cm2 et la hauteur de 6cm6cm6cm. Calculez le volume de la pyramide ABCDABCDABCD.
Il suffira alors d’appliquer directement la formule :
VABCD=AireABC×h3=4×63=243=8cm3V_{ABCD} = dfrac{Aire_{ABC} times h}{3} = dfrac {4 times 6}{3} = dfrac{24}{3} = boxed{8cm^3}VABCD=3AireABC×h=34×6=324=8cm3
La plupart du temps, il vous sera en premier lieu demandé de calculer l’aire du triangle de base puis ensuite le volume.
Pour ce faire, il suffit de se rappeler de la formule pour calculer l’aire d’un triangle.
Airetriangle=Basetriangle×hauteurtriangle2=B×htriangle2=Bhtriangle2Aire_{triangle}= dfrac{Base_{triangle} times hauteur_{triangle}}{2} = dfrac{ B times h_{triangle}}{2} = dfrac {Bh_{triangle}}{2}Airetriangle=2Basetriangle×hauteurtriangle=2B×htriangle=2Bhtriangle
avec :
-
BB
B
la base, (en bleu sur le dessin)
-
hh
h
la hauteur (en rouge)
Pour un triangle rectangle, il peut arriver que l’on demande d’appliquer Pythagore pour pouvoir calculer l’aire avant de passer à l’application de la formule du volume.
Calcul volume pyramide tronquée
Pour calculer le volume d’une pyramide tronquée, la formule à appliquer est la suivante :
Vpyramidetronqueˊe=(B1+B2+B1×B2)×h3V_{pyramidetronquée} = dfrac{(B_1 + B_2 + sqrt{B_1 times B_2}) times h}{3}Vpyramidetronqueˊe=3(B1+B2+B1×B2)×h
avec :
-
B1B_1
B
1
l’aire de la base 1 de la pyramide tronquée
-
B2B_2
B
2
l’aire de la base 2 de la pyramide tronquée
-
hh
h
la hauteur de la pyramide tronquée
Le cas particulier du cône de révolution : calcul du volume d’une pyramide à base ronde
Une pyramide est un solide avec un polygone pour base et des faces latérales triangulaires.
Par conséquent, une « pyramide à base ronde » n’existe pas.
On appelle ce cas particulier un cône de révolution.
Avec l’aire du disque
Cependant, la formule à appliquer est exactement la même que pour les pyramides soit :
Vco^nedereˊvolution=Airebase×h3=Airecercle×h3boxed{V_{cônede révolution} = dfrac{Aire_{base} times h}{3} = dfrac {Aire_{cercle} times h}{3}}Vco^nedereˊvolution=3Airebase×h=3Airecercle×h
Avec le rayon du disque
Si l’énoncé de l’exercice ne précise que le rayon rrr du disque de base du cône de révolution ainsi que sa hauteur hhh, alors il faudra appliquer la formule suivante :
Vco^nedereˊvolution=Airecercle×h3=πr2×h3boxed{V_{cônede révolution} = dfrac {Aire_{cercle} times h}{3} = dfrac{pi r^2 times h }{3}}Vco^nedereˊvolution=3Airecercle×h=3πr2×h
Ainsi, pour calculer le volume d’un cône de révolution dont le disque de base mesure 2cm2cm2cm de rayon et la hauteur 6cm6cm6cm, il convient de procéder comme suit :
Vco^nedereˊvolution=πr2×h3=π22×63=24π3=8πcm3≈25,12cm3V_{cônede révolution} = dfrac{pi r^2 times h }{3} = dfrac{pi 2^2 times 6 }{3} = dfrac{24 pi}{3} = 8 pi cm^3 approx 25{,}12 cm^3Vco^nedereˊvolution=3πr2×h=3π22×6=324π=8πcm3≈25,12cm3
Convertir le volume
VV
V
du cube en Litres
Une fois que vous avez calculé votre volume VVV en cm3cm^3cm3 ou en m3m^3m3, voici comment convertir VVV en litres si ceci vous est demandé.
1m3=1000L1m^3 = 1000 L1m3=1000L.
1cm3=0,001L1cm^3 = 0{,}001L1cm3=0,001L.
Ainsi, si l’on reprend le résultat Vcube=125cm3V_{cube} = 125cm^3Vcube=125cm3 et que on l’exprime en LLL, on a :
Vcube=125cm3V_{cube} = 125 cm^3Vcube=125cm3
1cm3=0,001L1cm^3 = 0{,}001L1cm3=0,001L
d’où :
Vcube=125cm3=125×0,001=V_{cube} = 125 cm^3 = 125 times 0{,}001 =Vcube=125cm3=125×0,001= 0,125Lboxed{ 0{,}125 L}0,125L.
Des exercices pour s’entraîner
Vous avez envie de vous entraîner à calculer le volume d’une pyramide ?
Voici quelques exercices pratiques pour vous.
Calculer le volume VVV de la pyramide exprimé en cm3cm^3cm3 :
- une pyramide de base rectangulaire (largeur
ll
l
=
7cm7cm
7
c
m
et longueur
LL
L
=
8,5cm8{,}5cm
8
,
5
c
m
) de hauteur
4cm4cm
4
c
m
- une pyramide de base carrée, dont l’un des côtés de la base fait
3cm3cm
3
c
m
et de hauteur
10cm10cm
1
c
m
.
- une pyramide de base triangulaire dont l’aire fait
13cm213cm^2
1
3
c
m
2
et la hauteur
9cm9cm
9
c
m
.
Exprimez ces volumes en LLL.
Outils de calcul de l’aire de la base de la pyramide
Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul du volume d’une pyramide.
Cependant, si vous n’avez pas envie de faire tous les calculs vous-même, voici deux outils qui vous serviront à calculer automatiquement (et gratuitement) l’aire de la base de la pyramide. Vous n’aurez plus qu’à multiplier par la hauteur de la pyramide pour obtenir le volume de cette dernière
Pour ce faire, il suffit de suivre les instructions indiquées en fonction de la forme de la base de la pyramide en question.
Outil de conversion du volume en Litres
Si vous souhaitez convertir votre volume de cm3cm^3cm3 en m3m^3m3 ou en litreslitreslitres voici un outil de conversion automatique de volume.
Exercices complémentaires
Voici notre sélection complémentaire d’exercices sur le volume d’un cube.
- un exercice portant sur le calcul du volume d’une pyramide
- un exercice sur la fonction de volume maximal
- un autre exercice portant sur les fonctions et le volume d’une pyramide
- un dernier exercice sur le calcul du volume d’une pyramide tronquée
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