Calculer les cotés d’un triangle rectangle avec l’hypoténuse

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CALCUL HYPOTÉNUSE

CALCUL HYPOTÉNUSE

Calculatrice hypoténuse

Calcul de l’hypoténuse d’un triangle rectangle ? Calculer l’hypoténuse est devenu simple grâce à cette calculatrice dédiée. Pour rappel, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit d’un triangle rectangle. Et oui, rappelez vous vos cours de mathématiques …

Remplissez les deux mesures ci-dessous, l’hypoténuse s’affichera automatiquement

Mesures :

(cm)

Hypoténuse :

(cm)

Hypoténuse

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. Il est le plus grand des trois côtés, les deux autres côtés sont les cathètes. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtes de l’angle droit.

L’hypoténuse, qui peut se définir par l’application du théorème de Pythagore, est une des données d’un triangle rectangle, dont les caractéristiques, sont : il possède un angle droit, est la moitié d’un rectangle, et son côté le plus long est opposé à l’angle droit.

L’hypoténuse est un élément indispensable dans l’élaboration de plans, les artisans, les constructeurs. Il sert à équilibrer les volumes, à calculer les quantités de matériaux, à vérifier la portabilité, les angles, les inclinaisons, et de résoudre bien des problèmes techniques.

Le calcul de l’hypoténuse dans un triangle rectangle est assez simple : si l’on considère les côtés ABC de la figure, l’hypoténuse est le côté BC. En appliquant Pythagore, il suffit de connaître la mesure des 2 côtés de l’angle droit pour pouvoir calculer la mesure de l’hypoténuse.

Pour aller plus vite et éviter de passer des heures inutiles à se creuser la tête, notre calculatrice en ligne vous donnera le résultat. Une opération de quelques secondes, à condition d’avoir deux informations, la mesure en cm de la droite A et celle de la droite B.

Voilà tout est calculé en un simple clic, qui laisse rêveur les esprits les plus réfractaires à la science mathématique. S’il est vrai que l’on ne vous demandera pas tous les jours de connaître l’hypoténuse d’un triangle, vous devez être prêt à toute éventualité.

Aider vos enfants pendant leurs devoirs, comprendre vous-même un problème, être capable de prévoir des petits travaux cohérents, en suivant des indications précises, qui savent jusqu’où l’hypoténuse peut se nicher, avec son nom à coucher dehors.

Formule : a2 + b2 = c2

Théorème de Pythagore: « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés ».

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, à condition de connaitre la longueur des 2 autres côtés.

1. 1

   Mettre en équation le théorème de Pythagore

   La 1ère étape est d’écrire le théorème de Pythagore sous la forme d’une équation.

   Pour cela, tu as besoin de la longueur de chaque côté:

   • Longueur de l’hypoténuse: 10 cm.
   • Longueur des 2 autres côtés: x (valeur inconnue) et 9 cm.

   

   Pythagore: Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés.

   Équation: 102 = x2 + 92.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour la mise en équation, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Mettre en équation le théorème de Pythagore

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   Isoler l’inconnue

   L’exercice consiste maintenant à résoudre l’équation de Pythagore.

   Commence par isoler l’inconnue (x2) en déplaçant le terme indépendant à ses côtés (92) de l’autre côté du signe égal.

   Lorsqu’un terme se déplace de l’autre côté du signe égal, son signe change (+92 devient -92).

   

   « +92 » se déplace de l’autre côté du signe égal et devient « -92 ».

   L’inconnue « x2 » est ainsi isolée à droite du signe égal.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour isoler l’inconnue, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Résoudre une équation du premier degré

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   Effectuer les calculs

   L’étape suivante est d’effectuer les calculs au sein de l’équation de Pythagore.

   Calcule d’abord le carré de chaque longueur (102 et 92).

   Effectue ensuite la soustraction des 2 résultats obtenus (100 – 81).

   Calcule les puissances, puis soustrais les résultats.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour calculer le carré d’un nombre, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Calculer la puissance d’un nombre

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   Trouver la solution de l’équation de Pythagore

   Pour résoudre l’équation de Pythagore, il ne reste plus qu’à transformer « x2 » en « x« .

   Cette transformation s’effectue en faisant apparaître une racine carrée.

   Tu obtiens ainsi la valeur de « x », et donc la longueur du côté du triangle rectangle.

   

   La solution de l’équation de Pythagore est √19.

   La longueur du côté BC du triangle rectangle est donc de √19 cm.

   En règle générale, une équation dont l’inconnue est au carré (x2) possède 2 solutions: l’une positive, l’autre négative.

   Toutefois, l’inconnue dans une équation de Pythagore est une longueur, elle ne peut donc pas être négative.

   La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

   La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

   Si tu as besoin de plus d’explication pour trouver la valeur d’une inconnue au carré, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Résoudre une équation dont l’inconnue est au carré

L’hypoténuse d’un triangle rectangle

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. L’hypoténuse est par conséquent le plus grand des côtés du triangle. Il n’y pas d’hypoténuse dans un triangle qui ne soit pas rectangle.

En appliquant la propriété de Pythagore dans un triangle rectangle, il suffit de connaître la mesure des 2 côtés de l’angle droit pour pouvoir calculer la mesure de l’hypoténuse.

En effet les mesures des côtés d’un triangle ABC, rectangle en A, sont liées par la relation suivante :

BC2 = AC2 + AB2

L’outil de calcul ci-dessous utilise la propriété de Pythagore pour déterminer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle.

Il est nécessaire que le triangle soit rectangle et de connaître les valeurs des 2 côtés de l’angle droit que l’on nomment ici les segments : [AC] et [AB].

Soit ABC un triangle rectangle en A. L’l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, soit le côté [BC].

côtés (a, b) côté (a) , hypoténuse (c) côté (b) , hypoténuse (c) angle (α) , côté adjacent (a) angle (α) , côté opposé (b) hypoténuse (c), angle (α) hypoténuse (c), angle (β)

(*) Nouveau ! on peut désormais saisir les angles dans différentes unités : degré, pourcentage, radian et multiple de pi radian. Pour saisir l’angle pi/6, saisir `alpha` = 1/6 et choisir dans la liste déroulante des unités « × pi radians ».

Formules de calcul dans un triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

`c^2 = a^2+b^2`

La réciproque est vraie aussi. Si dans un triangle, le carré de la longueur du grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, ce triangle est rectangle.

Formules de trigonométrie dans un triangle rectangle

`sin(alpha) = b / c` ;  `cos(alpha) = a / c`

`tan(alpha) = b / a` ;  `cot(alpha) = a / b`

Il existe des ratios moins utilisés qui sont la secante (sec) et la cosecante (csc).

`sec(alpha) = c / a = 1/cos(alpha)` ;  `csc(alpha) = c / b = 1/sin(alpha)`

En d’autres termes,

sinus = côté opposé / hypoténuse
cosinus = côté adjacent / hypoténuse
tangente = côté opposé / côté adjacent
cotangente = côté adjacent / côté opposé

Et pour les ratios moins utilisés,
secante = hypoténuse / côté adjacent
cosecante = hypotenuse / côté opposé

Angles complémentaires

Dans un triangle rectangle, les angles aigus `alpha` et `beta` sont complémentaires car la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés et le troisième angle mesure 90 degrés, on déduit,

`alpha + beta = 90°`

Périmètre et aire d’un triangle rectangle

Le périmètre du triangle rectangle est simplement égal à la somme des longueurs de ses côtés.

`P = a+b+c`

L’aire du triangle triangle est égal à,

`A = (a*b)/2`

Théorème de la hauteur

h : hauteur issue de l’angle droit
p : projection du côté a sur l’hypoténuse
q : projection du côté b sur l’hypoténuse

Le carré de la hauteur issue de l’angle droit est égal au produit des projections des deux côtés sur l’hypoténuse.

`h^2 = p*q`

Premier Théorème d’Euclide

Le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produit de l’hypoténuse et de sa projection sur l’hypoténuse.

`a^2 = p*c`
`b^2 = q*c`

Voir aussi

Calculateurs de Géometrie Plane
Calculateurs de Géometrie
Calculateurs mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

Rappelons qu’un rapport trigonométrique est un rapport des longueurs de deux côtés différents d’un triangle rectangle et que le groupe de tous les rapports trigonométriques représente la trigonométrie des triangles rectangles. Quand il s’agit de la trigonométrie des triangles rectangles, il est utile de se rappeler de l’acronyme « SOH CAH TOA ». Il nous aide à nous souvenir des définitions des rapports trigonométriques – sinus, cosinus et tangente – en fonction des côtés par rapport à un angle que nous appelons le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Indiquons ces rapports ici.

Définition : Rapports trigonométriques

L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle (directement opposé à l’angle droit), le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle en question, et le côté adjacent est le côté à côté de l’angle (qui n’est pas l’hypoténuse).

Quand on nous donne la longueur d’un côté du triangle rectangle et un angle 𝜃 dans le triangle rectangle, différent de l’angle droit, on peut utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer les longueurs des côtés restants. Nous avons trois choix différents pour les rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. En fonction des informations données d’un angle et d’un côté, nous devrons décider le rapport trigonométrique à utiliser. Par exemple, considérons une situation où nous devons déterminer la longueur de l’hypoténuse lorsqu’on nous donne un angle 𝜃 et la longueur du côté opposé du triangle rectangle ; dans ce cas, nous devrons utiliser le rapport trigonométrique qui relie l’hypoténuse et les côtés opposés du triangle rectangle, qui est le sinus.

Lorsque nous effectuons ces calculs, nous avons souvent besoin d’utiliser des calculatrices pour déterminer les valeurs des rapports trigonométriques. Mais, si l’unité de la calculatrice pour l’angle est définie en radians quand on utilise un angle donné en degrés , alors la calculatrice donnera une valeur incorrecte pour le rapport trigonométrique. La plupart des calculatrices scientifiques capables de calculer les rapports trigonométriques auront un paramètre par défaut pour les unités angulaires et aussi une option pour échanger entre radians et degrés. Nous devons toujours nous assurer que notre calculatrice est réglée sur la même unité que celle utilisée pour chaque problème.

Dans notre premier exemple, nous allons trouver la longueur du côté opposé étant donnés un angle et la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Exemple 1: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez 𝑥 au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs des triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas, l’angle mesurant 55∘.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté adjacent car notre but n’est ni de connaître sa longueur ni de chercher à la trouver. Les côtés dont on a besoin sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient ce qui suit : sin55=𝑥10.∘

Pour résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 10 pour obtenir ce qui suit : 𝑥=10×55.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=8,19(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle lorsqu’on nous a donné un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un autre côté du triangle rectangle. Notez que nous avons commencé par étiqueter chaque côté du triangle rectangle comme O (Opposé), A (Adjacent) et H (Hypoténuse), puis par rappeler le rapport trigonométrique approprié. Nous résumons ces étapes générales pour identifier une longueur manquante en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle.

Comment trouver une longueur de côté manquante en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles

Lorsqu’on nous donne un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’un autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes : 

1. Identifier les côtés du triangle comme côté opposé, côté adjacent et hypoténuse selon l’angle connu.
2. Choisir le rapport trigonométrique correct qui relie le côté connu au côté inconnu.
3. Réarranger la formule du rapport pour isoler le côté inconnu.
4. Substituer les valeurs du côté et de l’angle connus.

Étudions un deuxième exemple où nous pouvons appliquer cette méthode pour trouver une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle.

Exemple 2: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant la réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs dans des triangles rectangles consiste à identifier les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas ∠𝐵𝐴𝐶. À ce stade, il est également utile de se référer à la longueur 𝐵𝐶 comme 𝑥.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’identifier le côté adjacent car on ne connaît pas sa longueur et on ne la recherche pas. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin47=𝑥15.∘

Afin de résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 15 pour avoir 𝑥=15×47.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=10,97(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Maintenant, passons aux exemples de questions où l’inconnue est au dénominateur de la fraction. Avec les questions de ce type, nous avons une étape supplémentaire dans notre démarche, donc nos calculs doivent être effectués avec précision.

Exemple 3: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au dénominateur de la fraction

Déterminez 𝑥 au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs de triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas, l’angle de mesure 20∘.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté adjacent car nous ne connaissons ni sa longueur ni ne cherchons à le trouver. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin20=12𝑥.∘

On multiplie les deux côtés par 𝑥 pour obtenir 𝑥×20=12.sin∘ Ensuite, on divise chaque côté par sin20∘ pour obtenir 𝑥=1220.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=35,09(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Maintenant, regardons quelques questions qui sont des problèmes de la vie courante. Celles-ci contiennent l’étape supplémentaire consistant à dessiner un diagramme associé en prenant soin d’interpréter correctement les informations de la question.

Exemple 4: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au nominateur de la fraction

Une échelle de 23 ft est appuyée contre un bâtiment de sorte que l’angle entre le sol et l’échelle est 80∘. À quelle hauteur l’échelle atteint-elle le côté du bâtiment ? Donne ta réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer un diagramme, en marquant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse dans le processus.

Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin80=𝑥23.∘

Pour résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 23 pour écrire 𝑥=23×80.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=22,65(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Exemple 5: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au nominateur de la fraction

Un cerf-volant, qui est à une hauteur de 44 m , est attaché à une corde inclinée de 60∘ à l’horizontale. Déterminez la longueur de la corde au dixième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer une figure, en désignant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse dans le schéma.

Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin60=44𝑥.∘

Pour résoudre ce problème, nous commençons par multiplier les deux côtés par 𝑥 pour obtenir 44=𝑥×60,sin∘ puis en divisant chaque côté par sin60∘, on trouve que 𝑥=4460.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=50,8(1,).d.p.arrondiaudixièmeprès

Terminons en rappelant quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

• Lorsqu’il s’agit de triangles rectangles, nous utilisons les termes côté opposé, côté adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle.
• Rappelez-vous l’acronyme « SOH CAH TOA », où O signifie le côté opposé, A représente le côté adjacent, H représente l’hypoténuse et 𝜃 est l’angle. Les rapports trigonométriques sont sinOHcosAHettanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.
• Lorsqu’on nous donne un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’un autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes

   

  :

   

  • Identifier les côtés du triangle comme le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse selon l’angle connu.
  • Choisir le rapport trigonométrique qui relie le côté connu au côté inconnu.
  • Réarranger la formule du rapport pour isoler le côté inconnu.
  • Remplacer les valeurs du côté et de l’angle connus.

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