Calculer périmètre d’un cercle

On veut calculer le périmètre d’un cercle, connaissant son rayon : r = 2,8 cm.

• Le périmètre P d’un cercle de rayon r s’écrit : P = 2 × π × r.

• La touche π de la calculatrice nous donne : 3,141 592…
P = 2 × 3,141 592… × 2,8
P = 17,592 919…

• On donne du périmètre une valeur approchée, ici la valeur arrondie au centième : 17,59 cm.

Inversement, on peut calculer le diamètre d’un cercle (ou son rayon), connaissant son périmètre.

Calcul du diamètre d d’un cercle dont le périmètre P est 6,28 m :

• On utilise la formule : P = π × d d’où d = P ÷ π

• d = 6,28 ÷ 3,141 592…
d = 1,998 986…

• On donne du diamètre une valeur approchée, ici la valeur arrondie à l’unité : 2 m.

En géométrie, le périmètre d’un cercle correspond à la longueur de son contour. Mais comment le calcule-t-on ? Voici sa formule, utile par exemple pour ériger une clôture sphérique.

Calcul du périmètre d’un cercle : de quoi a-t-on besoin ?

Pour calculer le périmètre d’un cercle, il faut connaître le diamètre de ce cercle. Le diamètre correspond à la distance entre deux points du cercle en passant par le centre.

Puis, on a besoin de Pi (π). Ce nombre, qui contient une infinité de chiffres après la virgule, est le rapport entre la longueur du périmètre d’un cercle et son diamètre. Il est toujours le même. Et ce rapport est égal à : 3,1415926538979323846…

Périmètre d’un cercle : formule et exercice d’application

Sandra souhaite installer une clôture autour d’une fontaine sphérique. Le diamètre de la clôture est de 4,50 mètres. Pour calculer la longueur du grillage dont elle aura besoin, Sandra utilise la formule de calcul du périmètre du cercle :

Diamètre d’un cercle x Pi (π) = la longueur du contour du cercle.

Donc : 4,5 m x Pi (3,14) ≈ 14,13 m.

Sandra doit donc acheter un grillage d’une longueur de près de 14,13 m.

► A savoir : la formule du calcul du périmètre d’un cercle est applicable à toutes les unités de mesures (m, cm, km,…).

 

Pour aller plus loin, regarde ce cours intitulé « Périmètre et aire ».

Réalisateur : Guillaume Marsaud ; Raphael Monégier du Sorbier ; Laurent Lévêque

Producteur : Studio 77, Média TV, France Télévisions

Année de copyright : 2021

Publié le 27/09/21

Modifié le 26/09/22

La formule du périmètre d’un cercle est utilisée pour trouver le périmètre d’un cercle. Le périmètre d’un cercle est sa limite ou la longueur totale de l’arc de la périphérie d’un cercle. Le terme qui désigne le périmètre d’un cercle est appelé sa circonférence. Le périmètre d’un cercle nous renseigne donc sur la circonférence d’un cercle, c’est pourquoi on l’appelle aussi la formule de la circonférence d’un cercle. Apprenons-en plus comment calculer le périmètre d’un cercle avec des exemples résolus.

Comment calculer le périmètre d’un cercle ?

Le périmètre est la distance autour d’une figure fermée et se mesure généralement en millimètres (mm), centimètres (cm), mètres (m) et kilomètres (km).  

La formule du périmètre d’un cercle a trois composantes, deux constantes et une variable qui est le rayon du cercle. La formule pour calculer le périmètre d’un cercle ou la formule de la circonférence peut être donnée comme suit :

Formule du périmètre d’un cercle : 

Périmètre d’un cercle = 2 π r = π D unités

où,

r = rayon du cercle.

D = diamètre du cercle.

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Si on connaît le rayon

Étant donné le rayon d’un cercle, on peut calculer le périmètre à l’aide de la formule suivante :

Périmètre (P) = 2 × π × R

où :

R est le rayon du cercle.

π est Pi, approximativement 3.142 ou 22/7.

Si l’on connaît le diamètre

Si l’on connaît le diamètre d’un cercle, on peut trouver la circonférence à l’aide de la formule suivante

Périmètre (P) = π × D

où :

D est le diamètre du cercle.

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π est Pi, approximativement 3.142 ou 22/7.

Si nous connaissons l’aire 

Si on connaît l’aire d’un cercle, on peut trouver la circonférence à l’aide de la formule :

Périmètre (P) = √(4 × π × A)

où :

A est l’aire du cercle.

π est Pi, approximativement 3.142 ou 22/7.

Exemples de la formule du périmètre du cercle

Résolvons quelques problèmes intéressants en utilisant la formule du périmètre d’un cercle.

Exemple 1

En utilisant la formule du périmètre d’un cercle, calculez la circonférence du cercle dont le diamètre est de 7 pouces (utilisez la valeur de π comme 22/7) ?

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Solution :

Trouver : Le périmètre d’un cercle

Donnée : Diamètre du cercle = 7 cm

En utilisant la formule du périmètre d’un cercle,

Le périmètre d’un cercle = π D

Périmètre ou circonférence = 22/7 × 7

= 22 cm

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Réponse : Le périmètre du cercle ou la circonférence = 22 cm.

Exemple 2

À l’aide de la formule du périmètre d’un cercle, trouvez le rayon d’un cercle dont la circonférence est de 110 pouces.

Solution :

Trouver : Le rayon du cercle

Donnée : Circonférence = 110 cm

En utilisant la formule du périmètre d’un cercle,

Le périmètre du cercle ou la circonférence = 2 π r

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2 π r = 110

2 × 22/7 × r = 110

r = 110 × 7/44

r = 17,5

Réponse : Rayon du cercle = 17,5 cm.

Exemple 3

Le rayon d’un cercle est de 7 pouces. En utilisant la formule du périmètre d’un cercle, calculez la circonférence du cercle.

Solution

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A trouver : Le périmètre du cercle

Étant donné : r = 7 cm

La formule du périmètre du cercle = 2 π r

C = 2 × (22/7) × (7)

Réponse : La circonférence d’un cercle est de 44 cm.

Rechercher un outil (en entrant un mot clé):

Calcul de périmètre (et formules des périmètres) de :

Le rapport (la division) du périmètre d’un cercle par son diamètre est égal au fameux nombre pi : `pi`.

On peut donner la formule à partir de son diamètre `D` :

où `R` représente le rayon du cercle et `pi` le nombre pi égal à 3,14159265359…

Le calcul du périmètre (ou circonférence) d’un cercle est donné par la formule :

Périmètre d’un cercle

Le périmètre d’un cercle est égal au diamètre de son cercle multiplié par le nombre pi

C’est une des nombreuses apparitions du nombre pi, sans aucune doute la plus élémentaire. Mais ce nombre apparait dans de nombreux domaines des mathématiques et parfois lorsque l’on en si attend pas du tout.

Rien que sur le site calculis voici quelques pages où nous le rencontrons :

– https://calculis.net/volume/cone

– https://calculis.net/volume/cylindre

– https://calculis.net/aire/sphere

Mais pi apparait aussi dans des sommes, où on ne l’attends pas du tout, par exemple :

`1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … + 1/k^2 + …` = `pi^2/6`

Calculer le Périmètre d’un Cercle

Le périmètre (ou circonférence) d’un cercle correspond à la longueur de son contour.

Le calcul du périmètre s’effectue à l’aide de 2 valeurs:

• Le nombre π (pi) dont la valeur approchée au centième près est de 3,14.
• La longueur du diamètre du cercle.

Quel est le périmètre d’un cercle dont le diamètre est de 6 cm ?

Formule: π x diamètre.

Pour calculer le périmètre d’un cercle, multiplie le nombre π (3,14) par le diamètre.

Le périmètre s’exprime dans la même unité de mesure que le diamètre.

Le périmètre du cercle est de 18,84 cm.

Le diamètre s’exprime en centimètre, donc le périmètre également.

Bonjour Cris,Il suffit d’appliquer la relation suivante: P = 2 π R (ou encore P = π D). Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, D = 2 R. avec D: le diamètre et R son rayon et π=3,14.Prenons un exemple pour mieux comprendre:Soit le cercle (C) de rayon 2cm. Calculer son périmètre.P=2 π R=2*3,14*2=12.56cmJ’espère que l’explication a été claire. Si tu veux qu’on y aille plus loin ensemble, je te propose mes services en mathématiques. En effet, je dispose de 4 ans d’expérience d’enseignement pour collégiens, lycéens, taupins et étudiants universitaires jusqu’au M2.Je te mets mon annonce ci-dessous pour que tu puisses me contacter:https://www.voscours.fr/online/mathematiques/professeur-experimente-mathematiques-lyceens-2078366Bien à toi,Zakaria LOTFI.

Écrire une réponse

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la longueur d’un arc et le périmètre d’un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.

On peut commencer par rappeler le vocabulaire utilisé pour décrire des parties d’un cercle. On rappelle d’abord qu’un arc de cercle est une section du cercle entre deux rayons. Cependant, étant donnés deux rayons, il existe deux arcs entre les deux rayons. On voit un exemple de cela sur la figure suivante.

Les deux arcs sont une section du cercle entre deux rayons donnés ; pour éviter toute confusion, on désigne donc l’arc le plus grand comme l’arc majeur et le plus petit comme l’arc mineur.

Cela revient à dire que si la mesure de l’angle au centre est inférieure à 180∘ ou 𝜋radians, alors on sait qu’il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. On peut alors définir les arcs de cercle comme suit.

Définition : Arc d’un cercle

Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.

Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l’arc majeur et le plus petit des arcs comme l’arc mineur. Le plus grand arc est celui avec le plus grand angle au centre.

Si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle arcs semi-circulaires. Ils se produisent lorsque la mesure de l’angle au centre est égale à 180∘ ou 𝜋radians, ou de manière équivalente lorsque les rayons forment un diamètre.

On peut maintenant voir comment trouver la longueur d’un arc de cercle. On suppose que l’on a l’arc ci-dessous.

On peut déterminer la longueur de tout arc intercepté par un angle en rappelant d’abord comment déterminer la circonférence d’un cercle, la longueur du contour du cercle.

La circonférence 𝐶 d’un cercle de rayon 𝑟 est donnée par 𝐶=2𝜋𝑟.

La longueur de l’arc mineur ci-dessus peut être calculée en multipliant la circonférence 2𝜋𝑟 par 14. En général, un arc d’un cercle d’angle au centre 𝜃 représente une section de 𝜃360 de la circonférence et sa longueur est calculée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟×𝜃360=2𝜋𝑟𝜃360.

On peut faire de même pour un angle mesuré en radians. Si l’angle au centre est 𝜃radians, alors l’arc est une section de 𝜃2𝜋 de la circonférence. Par conséquent, la longueur de l’arc est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃2𝜋=𝑟𝜃.

Cela nous donne les formules suivantes pour déterminer la longueur d’un arc de cercle.

Définition : Longueur d’un arc

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en degrés dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃360.

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=𝑟𝜃.

Nous allons maintenant voir quelques exemples d’application de ces formules, en commençant par la méthode pour déterminer la longueur d’un arc à partir d’un angle en radians.

Exemple 1: Calculer la longueur d’un arc

Déterminez la longueur de l’arc bleu sachant que le rayon du cercle est 8 cm et que la mesure de l’angle illustré est en radians. Donnez votre réponse au dixième près.

Réponse

Dans ce problème, on connaît l’angle interceptant un arc dont la mesure est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=𝑟𝜃.

Il est indiqué que le rayon de ce cercle est 8 cm. Par conséquent, on peut substituer 𝑟=8 et 𝜃=4𝜋3 dans la formule pour obtenir longueurdel’arccm=8×4𝜋3=32𝜋3.

Comme on doit fournir une réponse au dixième près, on peut utiliser une calculatrice pour trouver cet arrondi, ce qui donne longueurdel’arccmcm=33,510…≈33,5.

Par conséquent, la longueur de l’arc bleu est 33,5 cm au dixième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la longueur d’un arc dans un contexte réel.

Exemple 2: Résoudre un problème d’application impliquant la longueur d’arc d’un pendule

Un pendule de longueur 26 cm se balance selon un angle de 58∘. Déterminez la longueur de la trajectoire circulaire du pendule en donnant la réponse en centimètres en fonction de 𝜋.

Réponse

Dans cette question, le pendule suit une trajectoire circulaire. Cela signifie que l’on peut modéliser la trajectoire du pendule comme un arc d’un cercle. Comme le pendule pivote autour d’un seul point, la longueur du pendule est donc le rayon du cercle. On sait que la mesure de l’angle au centre de l’arc est égale à 58∘.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃360.

Ainsi, en substituant les valeurs 𝑟=26 et 𝜃=58∘ et en simplifiant, on a longueurdel’arccm=2𝜋(26)(58)360=3016𝜋360=377𝜋45.

On peut laisser la réponse en fonction de 𝜋, la longueur de la trajectoire circulaire est donc 37745𝜋cm.

Comme méthode alternative, on peut convertir l’angle en degrés en radians puis utiliser la formule pour déterminer la longueur d’un arc intercepté par un angle en radians. On rappelle que pour convertir un angle en degrés en radians, on multiplie la mesure de l’angle par 𝜋180. Par conséquent, 58=58𝜋180.∘

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=𝑟𝜃.

Comme le pendule forme un cercle de rayon 𝑟=26cm, on peut le substituer dans la formule longueurdel’arccm=26×58𝜋180=1508𝜋180=37745𝜋.

Les deux méthodes permettent de calculer la longueur de la trajectoire circulaire qui est 37745𝜋cm.

On peut étendre le processus de recherche de la longueur d’un arc de cercle pour déterminer le périmètre d’un secteur circulaire. Un secteur circulaire est une partie du cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux. On peut rappeler que le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Le périmètre d’un secteur est la somme des deux rayons et de la longueur de l’arc. Nous pouvons le définir ci-dessous.

Définition: Périmètre d’un secteur

Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon 𝑟 défini par un angle 𝜃 mesuré en degrés est périmètre=2𝜋𝑟𝜃360+2𝑟.

Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon 𝑟 défini par un angle 𝜃 mesuré en radians est périmètre=𝑟𝜃+2𝑟.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer le périmètre d’un secteur circulaire en déterminant d’abord la longueur de l’arc.

Exemple 3: Déterminer le périmètre d’un secteur

Le rayon d’un cercle est 7 cm et la mesure de l’angle au centre d’un secteur est 40∘. Déterminez le périmètre du secteur au centimètre près.

Réponse

On peut tracer ce secteur circulaire comme suit.

Le périmètre du secteur, c’est-à-dire la longueur de son contour, est la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur : périmètrelongueurdel’arc=2𝑟+.

On sait que la longueur du rayon est 7 cm mais on doit calculer la longueur de l’arc.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃360.

On sait que 𝑟=7 et que l’angle au centre est 𝜃=40∘. Par conséquent, substituer ces valeurs dans la formule ci-dessus donne longueurdel’arccm=2𝜋(7)(40)360=560𝜋360=14𝜋9.

On peut conserver cette valeur en fonction de 𝜋 pour la partie suivante du calcul.

Pour trouver le périmètre, on substitue le rayon 𝑟=7 et la longueur de l’arc =14𝜋9 dans le calcul du périmètre : périmètrelongueurdel’arc=2𝑟+.

Par conséquent, on a périmètrecm=2(7)+14𝜋9=14+14𝜋9=18,886….

On peut alors arrondir cette valeur au centimètre près et trouver que le périmètre du secteur est de 19 cm.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser des informations sur le périmètre d’un secteur pour déterminer son rayon.

Exemple 4: Déterminer le rayon d’un secteur circulaire à partir de son angle au centre et de son périmètre

Le périmètre d’un secteur circulaire est de 67 cm et la mesure de son angle au centre est de 0,31 rad. Déterminez le rayon du secteur en donnant la réponse au centimètre près.

Réponse

Le périmètre d’un secteur est la longueur de son contour. Il est égal à la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur. On peut définir la longueur de l’arc comme 𝑙 et écrire périmètre=2𝑟+𝑙.

On sait que le périmètre est de 67 cm, on a donc l’équation 67=2𝑟+𝑙.

On peut utiliser les informations sur l’angle au centre du secteur pour calculer la longueur de l’arc 𝑙 en notant que la mesure de l’angle est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc, 𝑙 intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par 𝑙=𝑟𝜃.

On substitue maintenant l’angle donné, 𝜃=0,31 dans cette équation pour trouver 𝑙 comme suit : 𝑙=𝑟×0,31=0,31𝑟.

Ensuite, en remplaçant par 𝑙=0,31𝑟 dans l’équation 2𝑟+𝑙=67, on a 2𝑟+0,31𝑟=672,31𝑟=67𝑟=672,31=29,004….cm

Enfin, en arrondissant au centimètre près, le rayon du secteur est 29cm.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser des informations sur des tangentes sécantes pour déterminer la longueur d’un arc.

Exemple 5: Déterminer la longueur d’un arc sachant que deux tangentes sont sécantes et connaissant leur angle d’intersection

Si 𝑚∠𝐴=76∘ et si le rayon du cercle est égal à 3 cm, déterminez la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶.

Réponse

L’arc majeur 𝐵𝐶 est le plus grand des deux arcs, comme indiqué sur le schéma suivant.

Afin de déterminer la longueur de l’arc majeur ou mineur 𝐵𝐶, on doit déterminer la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc. On peut tracer les rayons munis de 𝐵 et 𝐶 au centre 𝑂 du cercle.

On rappelle qu’une tangente au cercle en un point 𝑃 coupe le rayon du cercle en 𝑃 selon un angle de mesure 90∘, donc 𝑚∠𝐵=90∘ et 𝑚∠𝐶=90∘. On peut ajouter ces informations au schéma ainsi que 𝑚∠𝐴=76∘.

On observe que l’on a maintenant un quadrilatère 𝐴𝐵𝑂𝐶 et trois des mesures de ses angles. La somme des mesures des angles internes d’un quadrilatère est égale à 360∘ donc, 𝑚∠𝐴+𝑚∠𝐵+𝑚∠𝑂+𝑚∠𝐶=360.∘

En substituant les mesures des angles et en simplifiant, on a 76+90+𝑚∠𝑂+90=360256+𝑚∠𝑂=360𝑚∠𝑂=360−256=104.∘∘∘∘∘∘∘∘∘

On peut maintenant utiliser l’information, 𝑚∠𝑂=104∘ pour déterminer la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃360.

Si on utilise ici 𝜃=104∘, cela donnera la longueur de l’arc mineur 𝐵𝐶. Il y a deux options pour déterminer la longueur de l’arc majeur. Dans la première méthode, on trouve la mesure de l’angle rentrant ∠𝑂 en calculant 360−104=256∘∘∘. Remplacer par 𝜃=256∘ et 𝑟=3 dans la formule donne longueurdel’arcmajeurcm=2𝜋(3)(256)360=1536𝜋360=64𝜋15.

On peut garder cette valeur en fonction de 𝜋 ou on peut déterminer son équivalent décimal comme 13,404…cm et arrondir au dixième pour obtenir que la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶 est 13,4cm.

Dans la deuxième méthode, comme on a calculé que 𝑚∠𝑂=104∘, on peut trouver la longueur de l’arc mineur 𝐵𝐶 en substituant 𝜃=104∘ et le rayon 𝑟=3 pour obtenir la longueur de l’arc mineur longueurdel’arcmineurcm=2𝜋(3)(104)360=26𝜋15.

Si on a la longueur de l’un des deux arcs et que l’on souhaite trouver l’autre, on peut rappeler que la somme des longueurs des deux arcs est égale à la circonférence du cercle. Pour un cercle de rayon 𝑟, sa circonférence 𝐶 est donnée par 𝐶=2𝜋𝑟.

Pour trouver la circonférence, on substitue le rayon 𝑟=3 dans la formule, ce qui donne 𝐶=2𝜋×3=6𝜋.cm

Pour déterminer maintenant la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶, on peut calculer longueurdel’arcmajeurcirconférencelongueurdel’arcmineurcm=−=6𝜋−26𝜋15=64𝜋15.

Les deux méthodes ont montré que la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶 est 13,4 cm arrondie au dixième près.

Nous résumons maintenant les points clés.

Points clés

• Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
• Le plus grand des deux arcs est l’arc majeur et le plus petit est l’arc mineur. Si la mesure de l’angle au centre entre les deux rayons est inférieure à 180∘ ou

  𝜋radians,

  alors il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. Si la mesure de l’angle est exactement égale à 180∘ ou

  𝜋radians,

  alors il y a deux arcs semi-circulaires.

• La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en

  degrés

  dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=2𝜋𝑟𝜃360.

• La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en

  radians

  dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdel’arc=𝑟𝜃.

• Le périmètre d’un secteur est égal à la somme des longueurs de deux rayons et de l’arc qui forme le secteur.

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