Calculer un vecteur avec ses coordonnées

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La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²).

Calculer la norme d’un vecteur du plan ou de l’espace, défini respectivement par les coordonnées (x,y) ou (x, y, z).

* Pour calculer la norme d’un vecteur du plan, laissez la case z vide.

Exemples :

Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12). Sa norme est égale à :

√( 52 + 122) = √(25+ 144) = √169 = 13.

Calculons la norme du vecteur de l’espace de coordonnées (5; 3; √2). Sa norme est égale à :

√( 52 + 32 + (√2)2 ) = √( 25 + 9 + 2 ) = √36 = 6 .

Géométrie

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Géométrie

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Coordonnées d’un vecteur

Définition

Les coordonnées d’un vecteur correspondent aux coordonnées Du point M tel que  = 

Si le point M a pour coordonnées M(x;y) alors les cordonnées du vecteur  sont  (x;y)

Remarque: les coordonnées d’un vecteur sont parfois notée  avec l’ordonnée en haut et l’abscisse en bas.
Exemple:

Le vecteur  est égal au vecteur  (ils ont même direction, même sens et même longeur)
Puisque le point M a comme coordonnées (9;4) le vecteur  à les coordonnées: (9;4)

Le vecteurest égal au vecteur(ils ont même direction, même sens et même longeur)Puisque le point M a comme coordonnées (9;4) le vecteurà les coordonnées:(9;4)

Calculer les coordonnées d’un vecteur à partir de celles de ses extrémités

Soit un vecteur  défini par les points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors:
– l’abscisse du vecteur correpond à la différence des abscisses des points A et B
– l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points A et B

On obtient donc 

( x

B

– x

A

; y

B

– y

A

)

Exemple

 (8 -2 ; 7 – 5  )  soit  ( 6 ; 2 )

Les coordonnées des points A et B sont A(2;5) et B (8;7) donc les coordonnées du vecteur sont(8 -2 ; 7 – 5 ) soit( 6 ; 2 )

Vecteur identiques

Si deux vecteurs sont identiques alors leur coordonnées sont les mêmes

Si les points A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) et D(xD;yD) permettent de définir les vecteur  (xB – xA : yB – yA) et  (xD – xC; yD – yC) alors:
xB – xA =  xD – xC et  yB – yA =  yD – yC

Exemple

Le vecteur  a pour coordonnées (8-2; 7-5) soit (6;2)
Le vecteur  a pour coordonnées (3-(-3); 3-1) soit (6;2)
Puisque leur coordonnées sont les mêmes ces deux vecteurs sont identiques:  =

Le vecteura pour coordonnées (8-2; 7-5) soit(6;2)Le vecteura pour coordonnées (3-(-3); 3-1) soit(6;2)Puisque leur coordonnées sont les mêmes ces deux vecteurs sont identiques:

Vecteurs opposés

Si deux vecteurs sont opposés alors leurs abscisses ainsi que leur ordonnées sont opposées
Si  (xu; yu) et  (xv; yvv) sont opposés ( = – ) alors:
xu = -xv
yu = -yv

Exemple

Le vecteur  a pour coordonnées (8-2; 7-5) soit (6;2)
Le vecteur  a pour coordonnées (-3-3); -6-(-4)) soit (-6;-2)
Le vecteur  est donc l’opposé du vecteur :   = –

Le vecteura pour coordonnées (8-2; 7-5) soit(6;2)Le vecteura pour coordonnées (-3-3); -6-(-4)) soit(-6;-2)Le vecteurest donc l’opposé du vecteur= –

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la norme d’un vecteur en deux dimensions.

La valeur absolue d’un nombre réel nous indique sa taille, ou, la distance qui le sépare de zéro sur la droite des réels. La norme d’un vecteur est l’analogue de la valeur absolue pour les vecteurs ; ainsi, la notation de la norme dérive de celle de la valeur absolue.

Définition : Norme d’un vecteur

La norme du vecteur ⃑𝑣, notée ‖‖⃑𝑣‖‖ , est la longueur du vecteur ou la distance entre ses extrémités.

En particulier, un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1. Nous rappelons les deux vecteurs unitaires de base en deux dimensions ⃑𝑖=(1,0),⃑𝑗=(0,1).

Ces vecteurs unitaires ont une norme de 1, car, si on mesure leurs longueurs dans le plan, elles sont égales à 1 unité.

Un autre cas particulier est un vecteur dont la norme est égale à zéro. Il y a seulement un vecteur dont la longueur est égale à zéro, et nous appelons ce vecteur le vecteur nul : ⃑0=(0,0).

Commençons par étudier un exemple simple de norme de vecteur.

Exemple 1: La norme d’un vecteur vertical

Le vecteur ⃑𝑣 est représenté sur la grille ci-dessous. Déterminez la valeur de ‖‖⃑𝑣‖‖.

Réponse

Rappelons que la notation ‖‖⃑𝑣‖‖ représente la norme du vecteur, qui représente sa longueur. Sur la figure, nous pouvons voir que le vecteur donné ⃑𝑣 couvre deux longueurs de grille verticales. Comme la grille est constituée de carrés unitaires, un côté de carré a une longueur de 1 unité. Cela nous indique que la longueur de ⃑𝑣 est égale à 2.

Dans la mesure où le vecteur ⃑𝑣 pointe vers le bas, il peut être tentant de se dire que le signe de la norme est négatif. Cependant, il faut se rappeler qu’une longueur, donc la norme, ne peut pas être négative. Ainsi, ‖‖⃑𝑣‖‖=2.

Dans le premier exemple, nous avons trouvé la norme d’un vecteur vertical à partir de sa représentation. La norme d’un vecteur vertical ou horizontal est simple à déterminer à partir de sa représentation graphique. Si un vecteur n’est ni vertical ni horizontal, nous pouvons déterminer sa norme en appliquant le théorème de Pythagore, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Exemple 2: La norme d’un vecteur

Le vecteur ⃑𝑣 est représenté sur la grille ci-dessous. Déterminez la valeur de ‖‖⃑𝑣‖‖.

Réponse

Rappelons que la notation ‖‖⃑𝑣‖‖ représente la norme du vecteur, qui est la longueur du vecteur. On peut voir que le vecteur ⃑𝑣 représente la diagonale d’un rectangle constitué de plusieurs carrés. On peut donc former un triangle rectangle tel que le vecteur en représente l’hypoténuse. Comme la grille est constituée de carrés unitaires, de cotés 1 unité de longueur, les longueurs des deux côtés du triangle rectangle ont les valeurs indiquées ci-dessous.

Appliquons le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse qui sera la norme du vecteur ⃑𝑣. Les longueurs des deux côtés du triangle rectangle, hors hypoténuse, sont 3 et 4, et la longueur de l’hypoténuse est égale à la norme ‖‖⃑𝑣‖‖. Par conséquent, 3+4=‖‖⃑𝑣‖‖.

Cela signifie que ‖‖⃑𝑣‖‖=25.

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation on obtient ‖‖⃑𝑣‖‖=±5. Comme la norme ‖‖⃑𝑣‖‖ représente une longueur, elle ne peut pas être négative, on peut donc ignorer la solution négative. Ainsi, ‖‖⃑𝑣‖‖=5.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la norme d’un vecteur en appliquant le théorème de Pythagore. Nous pouvons utiliser la même méthode pour déterminer la norme de tout vecteur en deux dimensions, à condition qu’il ne soit ni vertical ni horizontal.

Soit un vecteur ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) , avec 𝑎 et 𝑏 non nuls. Comme dans l’exemple précédent, nous pouvons tracer un triangle rectangle dans lequel la norme du vecteur représente la longueur de l’hypoténuse.

Ainsi, l’application du théorème de Pythagore nous dit que 𝑎+𝑏=‖‖⃑𝑣‖‖.

En prenant la racine des deux côtés de l’équation et en ignorant la solution négative on obtient la formule suivante.

Définition : Norme d’un vecteur en deux dimensions

Soit ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) un vecteur en deux dimensions. La norme de ce vecteur est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.

Même si nous n’avons montré cette formule que dans le cas de vecteurs situés dans le premier quadrant, la formule reste valable pour tout vecteur du plan. En effet, on peut voir que si le vecteur ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) se situe dans le troisième quadrant, comme sur la figure ci-dessous : 

Sur la figure, que les longueurs des deux côtés du triangle rectangle, hors hypoténuse, ont pour valeurs |𝑎| et |𝑏|. En appliquant le théorème de Pythagore et en prenant la racine carrée on obtient ‖‖⃑𝑣‖‖=|𝑎|+|𝑏|.

Or, nous savons que pour tout nombre réel 𝑎 , |𝑎|=𝑎. Cela signifie que la formule de la norme de ce vecteur reste conforme à celle donnée ci-dessus pour tous les vecteurs du plan.

On peut également vérifier cette formule pour les vecteurs verticaux et horizontaux qui ont pour coordonnées (𝑎,0) ou (0,𝑏). Dans ce cas, comme nous l’avons vu dans le premier exemple, c’est la valeur de la coordonnée en 𝑥, ou en 𝑦, qui détermine la norme du vecteur. Cela signifie que les normes de ces vecteurs sont |𝑎| ou |𝑏|. Étant donné que la coordonnée en 𝑦, ou en 𝑥, de ces vecteurs est zéro, ceci est à nouveau conforme à la formule de la norme donnée ci-dessus.

Dans l’exemple suivant, nous appliquerons cette formule pour déterminer la norme d’un vecteur à partir de ses coordonnées.

Exemple 3: La norme d’un vecteur

Quelle est la norme du vecteur (−4;5) ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la norme d’un vecteur dont on connait les coordonnées. Rappelons que la norme du vecteur ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.

Le vecteur est (−4;5) , ainsi il suffit de substituer 𝑎=−4 et 𝑏=5 dans la formule pour obtenir ‖(−4,5)‖=(−4)+5=√16+25=√41.

Par conséquent, la norme du vecteur est √41.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la norme d’un vecteur à partir de ses coordonnées et de la formule de la norme. Rappelons que tout vecteur du plan peut être exprimé en fonction des vecteurs unitaires de base ⃑𝑖 et ⃑𝑗 sous la forme (𝑎,𝑏)=𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗.

Cela signifie que nous pouvons appliquer la même formule pour calculer la norme du vecteur exprimée dans la base constituée des deux vecteurs unitaires : ‖‖𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗‖‖=√𝑎+𝑏.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons la norme d’un vecteur exprimé dans la base orthonormée constituée des deux vecteurs unitaires de référence.

Exemple 4: Déterminer la norme d’un vecteur donné

Soit ⃑𝐴=−5⃑𝑖−3⃑𝑗 , où ⃑𝑖 et ⃑𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux, déterminez ‖‖⃑𝐴‖‖.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la norme ‖‖⃑𝐴‖‖ du vecteur exprimé dans la base orthonormée. Rappelons que si ⃑𝑣=𝑎⃑𝑖+𝑏⃑𝑗 , sa norme est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.

Sachant que ⃑𝐴=−5⃑𝑖−3⃑𝑗 , en substituant 𝑎=−5 et 𝑏=−3 ci-dessus , on obtient ‖‖⃑𝐴‖‖=(−5)+(−3)=√25+9=√34.

Par conséquent, ‖‖⃑𝐴‖‖=√34.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment calculer la norme d’un vecteur qui est exprimé dans la base orthonormée ou dont on connait les coordonnées. Une autre façon de définir un vecteur est de donner ses deux extrémités. Rappelons qu’un vecteur commençant par le point 𝐴 et se terminant par le point 𝐵 est noté 𝐴𝐵. Si on a les coordonnées des points 𝐴=(𝑥;𝑦) et 𝐵=(𝑥;𝑦) , alors ce vecteur a pour coordonnées 𝐴𝐵=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦).

Si nous appliquons la formule de la norme à ce vecteur, nous obtenons ‖‖𝐴𝐵‖‖=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).

Dans le prochain exemple, nous allons calculer la norme d’un vecteur identifié par ses extrémités.

Exemple 5: La norme d’un vecteur

Quelle est la norme du vecteur 𝐴𝐵 , avec 𝐴=(5;−9) et 𝐵=(9;1) ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer la norme d’un vecteur identifié par ses extrémités. Rappelons que le vecteur allant du point 𝐴(𝑥;𝑦) au point 𝐵(𝑥;𝑦) est défini par 𝐴𝐵=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦).

On a les coordonnées de 𝐴 et 𝐵, soit 𝑥=5,𝑦=−9,𝑥=9,𝑦=1.

En substituant ces valeurs, dans les coordonnées du vecteur, on obtient 𝐴𝐵=(9−5,1−(−9))=(4,10).

Maintenant, nous devons calculer la norme de ce vecteur. Rappelons que la norme du vecteur ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.

Comme notre vecteur est (4;10) , on peut substituer 𝑎=4 et 𝑏=10 dans cette formule pour obtenir ‖(4,10)‖=√4+10=√16+100=√116=2√29.

Par conséquent, la norme de 𝐴𝐵 est 2√29.

Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer une constante inconnue en utilisant la norme.

Exemple 6: Déterminer une constante inconnue en utilisant la norme d’un vecteur

Si 𝐴=(3;4), 𝐵=(−2;𝑚), et ‖‖𝐴𝐵‖‖=5 unités de longueur, alors, 𝑚=

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer une inconnue connaissant la norme d’un vecteur. Commençons par déterminer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵, identifié par ses extrémités. Rappelons qu’un vecteur allant du point 𝐴(𝑥;𝑦) au point 𝐵(𝑥;𝑦) est défini par 𝐴𝐵=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦).

À partir des coordonnées de 𝐴 et 𝐵, on a 𝑥=3,𝑦=4,𝑥=−2,𝑦=𝑚.

En substituant ces valeurs, on obtient 𝐴𝐵=(−2−3,𝑚−4)=(−5,𝑚−4).

Maintenant, calculons la norme de ce vecteur. Rappelons que la norme du vecteur ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.

Comme notre vecteur a pour coordonnées (−5,𝑚−4), on peut substituer 𝑎=−5 et 𝑏=𝑚−4 dans la formule pour obtenir ‖‖𝐴𝐵‖‖=(−5)+(𝑚−4).

On sait que cette norme est égale à 5 unités de longueur. Par conséquent, (−5)+(𝑚−4)=5.

En élevant au carré des deux côtés de l’équation et en simplifiant, on obtient, (−5)+(𝑚−4)=525+(𝑚−4)=25(𝑚−4)=0𝑚−4=0𝑚=4.

Par conséquent, 𝑚=4.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

• La norme du vecteur ⃑𝑣 , notée ‖‖⃑𝑣‖‖ , est la longueur du vecteur ou la distance entre les deux extrémités du vecteur.
• Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1. Le vecteur nul est le vecteur dont la norme est égale à 0.
• Soit ⃑𝑣=(𝑎,𝑏) un vecteur du plan. La norme de ce vecteur est ‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑎+𝑏.
• Si 𝐴=(𝑥;𝑦) et 𝐵=(𝑥;𝑦) , ‖‖𝐴𝐵‖‖=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).