Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Un triangle a donc trois médianes et ces droites sont concourantes en un point appelé centre de gravité car c’est le point d’équilibre du triangle (isobarycentre).
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Vous pouvez déformer le triangle ABC endéplaçant les points A, B et COn se propose demontrer ici que dans un triangle ABC :
Si tu sèches après avoir bien cherché : »
♦ Le1er résultat se démontre facilement en classe de 4ème. Preuvepartiellement développée :
Soit G l’intersection de deux médianes, par exemple celles issues de A et de B, de pieds respectifs A’ et B’;
♦ Le2ème résultat se démontre facilement en classe de3ème.Preuve partiellement développée :
♦ Le3ème résultat est basé sur le produit scalaire (classe de 1ère) :
En développant ces carrés scalaires, on obtient :
Or selon le second résultat, la parenthèse est nulle. La somme MA2 + MB2 + MC2 sera donc minimale si et seulement si GM est nul, c’est à dire si et seulement si M est en G.
Centre de gravité (mathématiques élémentaires) – Définition
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires Algèbre Analyse Arithmétique Géométrie Logique
(La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),…)
Probabilité
(La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d’un…)
Statistique
(Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d’un échantillon….)
On appelle centre de gravité (Le centre de gravité est le point d’application de la résultante des forces de…) d’un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points…) le point (Graphie) d’intersection de ses 3 médianes.
Propriété : Il est situé aux 
d’une médiane en partant du sommet.
Autrement dit, soit un triangle ABC, A’ le milieu de [BC], B’ le milieu de [AC], et C’ le milieu de [AB] et G son centre de gravité.
Alors : 
, et 
.
Le centre de gravité est aussi l’ isobarycentre des sommets du triangle, c’est-à-dire que 
.
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Centroid of a Triangle: The centroid of a triangle is kind of the center of the triangle. If you try to balance the triangle on the tip of your finger, the centroid is where you’ll put your finger to keep it level.
A median of a triangle is a segment joining any vertex to the midpoint of the opposite side. The medians of a triangle are concurrent. The intersection of the medians is called the centroid.
The four medians of a tetrahedron concur in a point that divides each of them in the ratio 1:3, the longer segment being on the side of the vertex of the tetrahedron
Démonstration 4ème. Les trois médianes sont concourantes dans un triangle. Position du centre de gravité
Théorème 1 et définition.
Dans un triangle quelconque, les trois médianes sont concourantes et leur point de concours est le centre de gravité du triangle.
Démonstration 4ème
Soit $ABC$ un triangle.
Soient $B’$ et $C’$ les milieux des côtés $[AC]$ et $[AB]$ respectivement.
Les droites $(BB’)$ et $(CC’)$ sont les médianes issues des deux sommets $B$ et $C$.
Soit $G$ leur point d’intersection.
Montrons que la droite $(AG)$ est la troisième médiane ; c’est-à-dire que la droite $(AG)$ coupe le côté $[BC]$ en son milieu $A’$.
Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport au point $G$. Donc, $G$ est le milieu de $[AE]$.
Dans le triangle $ABE$, $C’$ est le milieu de $[AB]$ et $G$ est le milieu de $[AE]$.
D’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, « si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté ». Donc : $(C’G)//(BE)$.
Et par conséquent : $$(CG)//(BE)quadtext{(1)}$$
D’une manière analogue, en appliquant la réciproque du théorème de la droite des milieux dans le triangle $ACE$, on démontre que : $(B’G)//(CE)$.
Et par conséquent : $$(BG)//(CE)quadtext{(2)}$$
Finalement, d’après (1) et (2), on a : $(CG)//(BE)$ et $(BG)//(CE)$.
Donc, le quadrilatère $BGCE$ a ses côtés opposés parallèles respectivement. C’est un parallélogramme. Donc ses diagonales se coupent en leurs milieux.
On en déduit que $A’$ est à la fois le milieu de $[GE]$ et de $[BC]$.
Par conséquent, $(AA’)$ est la médiane issue du sommet $A$ et elle passe par $G$.
Conclusion. $(AG)=(AA’)$ est la troisième médiane du triangle $ABC$.
Donc les trois médianes sont concourantes dans le triangle $ABC$. $blacktriangle$
2. Position du centre de gravité dans un triangle
Théorème 2.
Dans un triangle quelconque, le centre de gravité est situé au deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet.
Autrement dit :
Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G$. Soient $A’$, $B’$ et $C’$ sont les milieux des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$ respectivement. Alors :
$$begin{array}{|c|}hline
AG=dfrac{2}{3} AA’\ hline
BG=dfrac{2}{3} BB’\ hline
CG=dfrac{2}{3} CC’\ hline
end{array}$$
Démonstration 4ème
D’après la démonstration précédente, nous avons vu que le quadrilatère $BGCE$ est un parallélogramme. Donc, en particulier $A’$ est le milieu de $[GE]$. Donc : $$GA’=dfrac{1}{2}GE quadtext{(3)}$$
D’autre part, on sait que $E$ est le symétrique de $A$ par rapport au point $G$. Donc, $G$ est le milieu de $[AE]$. Donc : $$AG=GE quadtext{(4)}$$
On a alors :
$$begin{array}{lrcl}
& GA’&=& dfrac{1}{2}GE\
text{et} & AG &=& GE \
text{donc} & AG &=& 2times GA’ \
text{donc} & GA’ &=& dfrac{1}{3} AA’ \
text{donc}& AG &=& AA’- dfrac{1}{3} AA’ \
text{donc}& AG &=& dfrac{2}{3} AA’ \
end{array}$$
Conclusion. On obtient la première formule : $$ boxed{; AG=dfrac{2}{3} AA’}$$
Les sommet jouent des rôles symétriques dans le triangle. On en déduit les deux autres :
$$begin{array}{|c|}hline
BG=dfrac{2}{3} BB’\ hline
CG=dfrac{2}{3} CC’\ hline
end{array}$$
$blacktriangle$
!- (c) AMLTI Decembre 1997/Septembre 1998. Conçu et réalisé par Jérôme ONILLON. Tous droits réservés.->
4°) Milieu, centre de gravité et vecteurs.
Le milieu et les vecteurs.
Il y a plusieurs façons de caractériser vectoriellement le milieu d’un segment.
Ayant un point M du plan, il existe une relation vectorielle permettant de dire de I est le milieu d’un segment [AB].
La preuve :
Nous allons procéder par équivalence.
Chacun sait (ou moins est sensé savoir) que dans un triangle (ABC) où I est le milieu de [AC], le centre de gravité de (ABC) se situe au 2/3 du segment [AI]. A partir de cette donnée, nous allons pouvoir établir une ralation vectorielle liant les sommets du triangle au centre de gravité. Soit vectoriellement dit :
La preuve :
Comme à l’occasion du précédent théorème, nous allons procéder par équivalence en partant de l’égalité vectorielle. Quelle originalité, là encore !
On commence par appeller I le milieu du segment [BC]. Ce qui nous permet d’écrire en vertu du théorème précédent que :
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