Combien de fois peut on plier une feuille

Combien de fois peut-on plier en deux une feuille de papier ?

Peut-être vous a-t-on déjà dit qu’il était impossible de plier une feuille de papier plus de 8 fois. C’est faux. Il est tout à fait possible de dépasser cette pseudo limite si votre papier de départ est très grand et que vous disposez d’assez d’énergie !

A ce jour le record du nombre de pliages est détenu par des étudiants en mathématiques de l’école Saint Marks de Southborough. Ils ont battu le précédent record du monde en réussissant à plier 13 fois du papier-toilette. Ils ont utilisé plusieurs rouleaux. Bout à bout le bandeau faisait 1,2 kilomètres de long. Une fois plié en 13 ils ont obtenu un bloc de papier de 1,5 mètres, épais de 76 centimètres et composé de 8.192 couches de papier toilette.

Mais si vous parvenez à poursuivre leur effort avec une feuille de 0,1 mm d’épaisseur les dimensions deviennent vite impressionnantes. Jugez plutôt. Si vous pliez le papier 103 fois, donc 90 fois plus que les étudiants, vous obtenez une épaisseur égale au diamètre de l’univers observable, soit 93 milliards d’années de lumière. En 23 plis vous serez déjà à un kilomètre d’épaisseur. A 30 plis ce sera 100 km ! A 42 vous atteindrez la Lune et 51 le Soleil. C’est ce que l’on appelle une croissance exponentielle…

Des étudiants en mathématiques de l’école Saint Marks de Southborough ont battu le record du monde de pliage de papier en réussissant à plier 13 fois un rouleau de papier-toilette, rapporte le site « New Scientist ».

Science relativement méconnue, le pliage de papier est pourtant un sujet d’étude très sérieux répondant à des principes physiques et mathématiques assez complexes. La feuille doublant d’épaisseur à chaque pliage, il faut établir une formule mathématique prenant en compte la nature du papier, son épaisseur, sa longueur…

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Le précédent record

Jusqu’il y a encore quelques années, il était ainsi encore admis qu’il était impossible de plier une feuille de papier plus de sept fois. Mais, en 2002, une lycéenne américaine avait réussi à dépasser cette barre en réussissant à plier 12 fois un rouleau de papier-toilette.

Cette fois, les étudiants de l’école Saint Marks ont eu recours à plusieurs rouleaux qui, mis bout à bout, formaient un bandeau de 1,2 kilomètres de long et qu’ils ont étendu dans un couloir du prestigieux MIT. Après plusieurs heures d’efforts, ils sont finalement parvenus à le plier 13 fois, formant un empilement long de 1,5 mètres, haut de 76 centimètres et composé de 8.192 couchent de papier.

Un exploit bien entendu filmé.

Vous avez peut-être déjà essayé de plier une feuille de papier le plus de fois possible, afin de voir jusqu’où vous pourriez aller. Il existe en fait un record du monde pour cela, reconnu par le Guinness world records. Ce record est toujours détenu par Britney Gallivan, qui avait plié une feuille de papier 12 fois en 2002, lorsqu’elle était au lycée. 

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Un record obtenu grâce à des calculs mathématiques, et à un très long papier

La jeune fille n’a pas obtenu le record par hasard. Le défi a été lancé par son professeur de mathématiques, et Britney Gallivan a dû réaliser divers calculs pour y arriver. Elle a tout d’abord mis en place des équations pour calculer combien de fois un papier pouvait être replié, en fonction de sa longueur et son épaisseur. Grâce à ces équations, elle a observé que le papier devait être très long pour être plié 12 fois. En effet, lorsqu’on plie un papier en deux de manière répété, son épaisseur augmente fortement, et si l’épaisseur devient plus importante que la longueur, il est impossible de le plier plus. Britney Gallivan a donc trouvé, en ligne, un papier correspondant à l’épaisseur et la longueur nécessaire, papier mesurant… 1219 mètres ! Elle s’est donc installée dans le couloir d’un centre commercial pour avoir la place de réaliser ses premiers pliages. En tout, réaliser les 12 pliages a demandé environ 8 heures. Il est donc peu probable que vous parveniez à réitérer cet exploit avec un bout de papier classique. Mais, d’après la jeune fille, il est probable que son record soit un jour battu…

Selon différentes publications sur le Web, plier une simple feuille de papier plusieurs dizaines de fois permettrait d’avoir une épaisseur approximativement égale à la distance Terre-Lune. Ceci est en théorie possible, mais dans les faits, nous serions évidemment incapables d’y parvenir.

Plier une feuille 42 fois d’affilée

Dans une publication, la plateforme Maths en Direct explique une théorie étonnante. Prenons une simple feuille de papier A4 classique, dont l’épaisseur est de 0,1 mm. En pliant cette dernière 42 fois d’affilée, il serait possible d’obtenir une épaisseur dépassant la distance Terre-Lune. Rappelons que la distance séparant notre planète de son satellite est de 384 400 kilomètres. Il s’agit évidemment d’une distance moyenne, car en réalité, cette dernière oscille en permanence entre 356 700 et 406 300 km.

Soulignons au passage qu’il s’agit bien de la distance lunaire, à ne pas confondre avec l’unité astronomique (UA). Cette dernière correspond approximativement à la distance entre la Terre et le Soleil, soit environ 150 millions de kilomètres.

Quel calcul ?

Rappelons tout d’abord qu’à chaque pliage, nous doublons le nombre d’épaisseur. Au bout du troisième pliage, l’épaisseur de la feuille est égale à 0,1 × 2 × 2 × 2 = 0,1 × 23 = 0,1 × 8 = 0,8 mm. En suivant cette logique, nous obtenons 0,1 × 242 = 439804651110,4‬ mm après 42 pliages. Dans une publication Quora, un ingénieur présente le calcul autrement : 2^42 (2 puissance 42) épaisseurs de papier, soit 4 398 046 511 104 épaisseurs, soit 4,4 billions (ou 4 398 milliards) d’épaisseurs. En multipliant par une épaisseur de 0,1 mm, nous obtenons 439804651,1104 m et donc plus de 439 804 km.

Si cette théorie est tout à fait valable, sa mise en pratique reste complètement impossible. En effet, la surface obtenue serait infiniment réduite. Par ailleurs, une autre raison bien plus simple vient expliquer cette impossibilité : il est habituellement très difficile de plier une feuille A4 plus de 8 fois. Malgré le côté infaisable de la chose, ce genre de raisonnement reste intéressant. Sur le forum de la plateforme Secouchermoinsbete, l’utilisateur·rice Touko écrivait :

« C’est vrai que ce type de raisonnement est infini : si j’écrase un Carambar, il va jusqu’à saturne et si je déplie les atomes d’une graine de couscous, je fais 1 million de fois le tour de la terre… on s’en sort plus ! »

Voici une vidéo explicative publiée par TED-Ed en 2021 :

Difficile de plier une feuille de papier plus de 6 ou 7 fois d’affilée : vous pouvez faire le test. Les meilleurs d’entre nous arriveront peut-être à le faire 8 fois. Au delà, cela semble physiquement impossible. Il s’agit ici plus d’une expérience mentale. Imaginez que vous possédez une feuille de papier A4 (classique). Pliez-la en deux, puis en deux, puis encore en deux, et cela 42 fois d’affilée. L’épaisseur du bout de papier est alors très environ égale à la distance Terre-Lune (en tout cas, elle la dépasse).

Quelles données ?

Nous considérerons ici que la feuille de papier a une épaisseur de 0,1 mm et que la distance Terre-Lune est d’environ 384 400 km.

L’explication

Au début de l’expérience, la feuille de papier a une épaisseur de 0,1 mm, et son épaisseur double à chaque pliage. Par exemple, au bout du troisième pliage, son épaisseur est égale à $0,1times 2times 2times 2 = 0,1times 2^3=0,1times 8=0,8$ mm. Après, 42 pliages, l’épaisse de la feuille s’obtient en calculant $0,1times 2^{42}=‭439 804 651 110,4‬$.

L’épaisseur de la feuille après 42 pliages est donc de ‭439 804 651 110,4 mm, soit environ 439 805 km après conversion. Cette distance est (très) approximativement égale à la distance Terre-Lune (384 000 km). Le résultat peut paraître surprenant ! Intuitivement (sans faire de calcul), difficile de croire qu’en pliant 42 fois une feuille de papier, on obtienne une distance si importante.

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Selon une idée reçue, une feuille de papier ne pourrait être repliée sur elle-même que sept fois. Pourtant en 2002, Britney Gallivan, lycéenne en Californie, a réussi à plier une feuille de papier 12 fois, c’est aujourd’hui le record du monde.

Pourquoi cette limite ? Parce que plus une feuille est pliée plus la pile devient épaisse et quand la pile est plus épaisse que longue, il devient impossible de la plier. Après 42 plis, une feuille de 0,1 millimètre d’épaisseur ferait plus de 439 800 kilomètres de haut, soit plus que la distance entre la Terre et la Lune ! La feuille utilisée doit donc être la plus fine et la plus longue possible.

Britney Gallivan, mise au défi par l’un de ses professeurs de plier une feuille plus de 7 fois, y est d’abord facilement parvenue avec une feuille d’or. En effet, l’épaisseur d’une feuille d’or ne dépasse pas 0,000125 millimètres.

Mais pour réaliser la même prouesse avec une feuille de papier, il a fallu passer par une équation mathématiques complexe L=πt/6(2ⁿ+4)(2ⁿ-1). L’équation établit la relation entre la longueur de papier requise (L), son épaisseur (t), sa largeur minimale (W) et le nombre de plis(n).

Le record a été établi avec une feuille de papier de soie mesurant 1219 mètre de long, soit plus d’un kilomètre.

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