Comment calculer la diagonale d'un rectangle

Dans un rectangle, la diagonale est la ligne droite qui relie les deux sommets opposés de la figure [1] . Ainsi, on peut dire qu’un rectangle a deux diagonales identiques de même longueur [2] . En connaissant la valeur des longueurs des côtés qui composent un rectangle, vous pouvez trouver facilement la valeur de la diagonale en utilisant le théorème de Pythagore, étant donné qu’une diagonale divise un rectangle en deux triangles. Si vous ne connaissez pas cette mesure, mais disposez d’autres informations, telles que la superficie et le périmètre ou la relation entre les côtés, vous pouvez utiliser quelques étapes supplémentaires pour trouver la longueur et la largeur de votre figure, et de là, il vous serait possible d’utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur la diagonale.

Vous recherchez la formule vous permettant de trouver la diagonale d’un carré ? C’est une opération facile à réaliser, mais qu’il faut bien comprendre afin de pouvoir l’appliquer en toute situation et obtenir ainsi un bon résultat.

Tout carré contient deux diagonales de même longueur, de manière que lorsqu’on obtient la valeur de l’une, on obtient en même temps la valeur de l’autre. Voici donc Comment calculer la diagonale d’un carré.

Comment calculer la diagonale d’un carré

Avant de commencer à calculer la longueur de la diagonale d’un carré, il est important de bien comprendre ce qu’est une diagonale. Il s’agit d’un segment qui relie deux sommets opposés d’un carré, c’est à dire qui ne sont pas consécutifs.

Un carré possède donc deux diagonales puisque qu’il a quatre sommets. Les deux diagonales ont strictement la même longueur, et il suffit de calculer la valeur d’une diagonale pour connaître les deux. On appellera d la diagonale et c le côté.

Pour calculer la diagonale d’un carré, il faut en réalité utiliser le dérivé du théorème de Pythagore. En effet, le théorème de Pythagore sert à trouver l’hypothénus d’un triangle rectangle, soit la diagonale d’un carré.

La formule de Pythagore est :

AB²= AC² + BC² , où AB² serait d, la diagonale du carré.

Ainsi, pour calculer la diagonale d’un carré, il faudra utiliser la formule suivante :

, soit d est égale à c fois la racine carré de 2.

Comment calculer la diagonale d’un carré – Une formule

Pour calculer la longueur de la diagonale d’un carré, nous devrons donc appliquer la formule suivante:

d² = √(c² + c²)

d = c√2

Explication

Selon cette formule, le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des deux cotés. Il faudra donc développer la formule pour obtenir la valeur de la diagonale, et non du carré de celle-ci.

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Il faut rappeler que l’opération opposée au carré est la racine carrée, donc la diagonale sera égale à la racine carrée de la somme des carrés des cotés, ce qui revient à la racine carré du coté au carré multiplié par deux.

Comme les éléments à l’intérieur d’une racine carrée se multiplie entre eux, nous pouvons séparer les deux racines de manière à ce que la diagonale du carré soit égale à la racine de 2 multiplié par la racine carré du coté, et nous pouvons ainsi annuler la racine et le carré pour obtenir la formule de la diagonale : elle est égale à la longueur du coté multiplié par la racine carré de deux soit

d = l√2

Calculer la diagonale d’un carré de côté 5 cm

Pour que vous puissiez comprendre la formule de façon plus claire, voici un exemple pratique auquel nous appliquerons la formule; Prenons un carré donc le coté mesure 5 cm :

d² = c² + c²

d² = 5² + 5²

d² = 25 + 25

d² = 50

En développant la formule comme expliquée dans le paragraphe précédent, nous obtenons :

d = 5√2

d = 7,1

En faisant le calcul mathématique nous obtenons la longueur de la diagonale du carré de 6 cm de longueur qui est de 7,1 cm. La diagonale d’un carré de côté 5 cm est donc de 7,1 cm.

Comment calculer la diagonale d’un parallélépipède rectangle

Maintenant que vous savez comment calculer la diagonale d’un carré, nous allons voir la formule pour savoir comment calculer la diagonale d’un parallélépipède rectangle ou pavé droit.

La formule pour calculer la diagonale d’un parallélépipède rectangle est :

d = √(h²+L²+l²)

d est la diagonale, que l’on trouve en faisant la racine carré de la somme de la hauteur au carré h, la longeur au carré L et la largeur au carré l. En fait, comme le parallélépipède rectangle est un volume, il faut rajouter la largeur pour trouver la diagonale.

Image: www.lememento.com

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Comment tracer un rectangle à la règle et au compas,

1. Construire un rectangle

Comment faire un rectangle avec GéoPlan

Dessiner le segment [AB], tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A,
placer un point D sur cette perpendiculaire,
tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A,
C est le point d’intersection de ces deux parallèles.

Tracer les segments [BC], [CD] et [AD].

Il est possible de tracer les diagonales et le cercle circonscrit au rectangle.

Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ;

la figure GéoPlan rectangl.g2w

Comment calculer la longueur d’une diagonale d’un rectangle

Les deux diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
Pour la diagonale [AC], étudier un des triangles rectangles ABC ou ADC, et y calculer AC avec le théorème de Pythagore :

AC2 = AB2 + BC2 = L2 + l2 pour un rectangle de longueur AB = L et de largeur BC = l.

Aire d’un rectangle

L’aire du rectangle de longueur L et de largeur l est égale au produit Ll.

READ Exo (musique)

De tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a l’aire maximum est le carré.

Géoplan 5 × 5

Aire(ABCD) = 6.

Les diagonales sont de même longueur 2.

Figure interactive dans GeoGebraTube : rectangle dans le géoplan 5 × 5

3. Construire un rectangle de longueur 5 et de largeur 3

Comment construire un rectangle avec règle et compas

Placer un point A, dessiner une demi-droite d’origine A et un cercle de centre A et de rayon la longueur 5 ;
le point B est à leur intersection, tracer le segment [AB].

Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A et un cercle de centre A et de rayon la larguer 3 ;
placer le point D sur cette perpendiculaire, à une des intersections avec le cercle, dessiner le segment [AD].

Tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A ;
Le quatrième sommet C est le point d’intersection de ces deux parallèles ;
tracer les segments [BC] et [CD].

Télécharger la figure GéoPlan dessiner_rectangle.g2w

4. Comparer deux longueurs

Définitions et propriétés

• Les définitions et les propriétés contribuent à développer la connaissance des objets et leur intérêt pour représenter les situations. Elles constituent d’autre part, dans le cadre de la géométrie, les références nécessaires sur lesquelles peut se faire l’apprentissage du raisonnement déductif.

Ainsi, l’exemple suivant, dans lequel les justifications sont simples et accessibles aux élèves, permet de réinvestir d’une façon non triviale le fait que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur (et que tous les rayons d’un même cercle sont de même longueur).

La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires.
OIAJ et OKBL sont deux rectangles.
Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL] ?

L’étude ne vise pas un simple traitement instrumenté, mais concerne une configuration sur laquelle fonctionnent des propriétés. Il ne s’agit plus de modélisation pour résoudre unproblème concret, mais d’une situation purement abstraite, représentative d’une autre famille de problèmes de géométrie, relative à l’utilisation directe (sans changement de cadre) d’un corpus de définitions et de propriétés pour établir une preuve.

Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e – Géométrie au collège
Projet de document d’accompagnement mathématique – Juillet 2007

Avec la géométrie dynamique

Classe de sixième

La figure représente un cercle de centre O, [MN] et [PQ] sont deux de ses diamètres perpendiculaires.

OHAI et OJBK sont deux rectangles.

Que peut-on dire des longueurs des deux segments [HI] et [JK] ?

Indications

Les justifications sont simples et accessibles aux élèves, et permettent de réinvestir, d’une façon non triviale, le fait que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et que tous les rayons d’un même cercle sont de même longueur.

Télécharger la figure GéoPlan comparer_longueur.g2w

Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d’un problème

5. Balade sur l’hypoténuse

Recherche de minimum : comment caractériser le point solution ?

Il s’agit d’étudier le problème suivant :
Dans un triangle ABC rectangle en C, M est un point de l’hypoténuse, H et K sont sur les côtés de l’angle droit, tels que HMKC soit un rectangle.

Pour quelle position du point M la longueur du segment [HK] est-elle la plus petite possible ?

Variante : rectangle dans un triangle rectangle

Pour quelle position du point M, le rectangle inscrit dans le triangle rectangle OAB a t’il une aire maximale ?

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Fonction longueur du rectangle

Solution

La résolution s’appuie sur l’isométrie des diagonales d’un rectangle et sur la notion de distance d’un point à une droite.

Le point solution est le pied de la hauteur issue de l’angle droit.

Télécharger la figure GéoPlan balade_hypotenuse.g2w

6. Lieu de point : diagonale mobile

O est un point d’une droite (d1).
Une demi-droite (d2) est perpendiculaire en O à la droite (d1).
N est un point variable sur la droite (d1) et P est un point variable sur la demi-droite (d2) tels que PN = 5 cm.
On trace le point M tel que ONMP soit un rectangle.
Quel est le lieu géométrique du point M lorsque l’on déplace les points N ou P ?

Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d’un problème

un lieu mystérieux : revue.sesamath.net – le LGD mène l’enquête

Autre diagonale rayon d’un demi-cercle

La résolution s’appuie sur l’isométrie des diagonales d’un rectangle.

La construction d’un segment de longueur constante dont les extrémités sont mobiles sur des perpendiculaires nécessite la construction d’un cercle de rayon 5 cm, par exemple celui de centre N.

Le lieu solution est un demi-cercle de centre O et de rayon 5 cm.

Figure interactive dans GeoGebraTube : diagonale mobile d’un rectangle

7. Quadrilatère dans un rectangle : napperon

Petit x no 80

Sur une table rectangulaire ABCD, on veut placer un napperon ayant la forme d’un quadrilatère MNPQ. On souhaite que l’aire du napperon soit égale à la moitié de l’aire de la table.

Les sommets du napperon sont situés sur les côtés du rectangle avec M un point de [AB], N un point de [BC], P un point de [CD] et Q un point de [DA].

7.a. Réaliser une figure en utilisant un logiciel de géométrie (pour les sommets du rectangle, choisir la longueur L et la largeur l de telle façon que les coordonnées de A, B, C et D soient entières).

Quadrilatère

Parallélogramme

Variante : le napperon est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle.

Télécharger la figure GéoPlan Napperon.g2w,

la figure GéoPlan Napperon_parallelogramme.g2w

Remarque : ce parallélogramme minimise alors le périmètre des parallélogrammes inscrits dans le rectangle.

C’est le parallélogramme de lumière dont les côtés se réfléchissent sur les bords du rectangle à la façon de rayons lumineux.

7.b. Afficher les aires de rectangle ou de quadrilatère

Afficher l’aire du rectangle ABCD et l’aire du quadrilatère MNPQ.

Technique GéoPlan : on partage la surface des quadrilatères, avec une diagonale, en deux triangles et on additionne les aires :
« Créer > Affichage> Aire d’un triangle »

r1 aire du triangle ABCr = 2r1t1 aire du triangle MNPt2 aire du triangle MPQt = t1+t2

7.c. En faisant varier la position des points M ou P, émettre une conjecture concernant une condition suffisante pour que l’aire du quadrilatère MNPQ soit la moitié de celle du rectangle ABCD.

7.d. Démontrer le résultat conjecturé.