La fréquence d’une valeur est égale à l’effectif de cette valeur divisé par l’effectif total.
Le nombre d’engins motorisés par famille est donné dans ce tableau :
Nombre d’engins
1
2
3
Effectif
25
150
65
10
On considère 250 familles d’une cité.Le nombre d’engins motorisés par famille est donné dans ce tableau :
• 25 familles ont 0 engin motorisé.
L’effectif de la valeur 0 est 25.
Sa fréquence est : 25 ÷ 250 = 0,10.
• Fréquence de 1 : 150 ÷ 250 = 0,60.
Fréquence de 2 : 65 ÷ 250 = 0,26.
Fréquence de 3 : 10 ÷ 250 = 0,04.
• On peut compléter le tableau avec une ligne « Fréquence » : 0,10 ; 0,60 ; 0,26 ; 0,04.
0,10 + 0,60 + 0,26 + 0,04 = 1.
La somme de toutes les fréquences est toujours 1.
• Les fréquences sont souvent données en pourcentage : on multiplie alors chaque résultat par 100.
Ainsi : 0,26 × 100 = 26.
26 % des familles de la cité possèdent 2 engins motorisés.
La somme des fréquences en pourcentage est égale à 100.
-
1
Calculer les effectifs
Fiche de Synthèse
Calculer les effectifs d’une série statistique
Il est impossible d’obtenir les fréquences d’une série statistique sans connaître les effectifs.
La 1ère étape est de calculer les effectifs de chaque valeur, ainsi que l’effectif total.
N’hésite pas à construire un tableau des effectifs pour associer clairement chaque valeur à son effectif.
Les effectifs de chaque valeur sont donnés dans l’énoncé.
L’effectif total s’obtient en additionnant tous les effectifs.
-
2
Calculer les fréquences
Chaque valeur de la série statistique possède sa propre fréquence.
La fréquence d’une valeur est le rapport entre son effectif et l’effectif total.
Une fréquence est un rapport entre l’effectif d’une valeur et l’effectif total. Tu peux donc obtenir la fréquence de chaque valeur en divisant son effectif par l’effectif total.
L’effectif de chaque valeur est divisé par l’effectif total (25).
Le nombre décimal obtenu est la fréquence de la valeur.
Construis un tableau des fréquences pour associer chaque valeur à sa fréquence.
Grâce au tableau, tu peux déterminer d’un seul coup d’oeil les fréquences de chaque valeur de la série.
Le tableau des fréquences peut également contenir les effectifs de chaque valeur. -
3
Vérifier les fréquences
Tu peux vérifier facilement que tu n’as pas fait d’erreur lors du calcul des fréquences.
La technique consiste à additionner ensemble toutes les fréquences:
- Si le résultat est 1, les fréquences sont probablement correctes.
- Si le résultat n’est pas 1, il y a certainement une erreur.
En additionnant toutes les fréquences, on obtient 1.
Le calcul des fréquences est donc probablement correct.
Apprenez en vidéo comment calculer les fréquences d’une série statistique.
Chaque valeur d’une série statistique peut être associée à une fréquence.
La fréquence indique la proportion d’une valeur particulière par rapport à toutes les autres valeurs.
Pourcentage cumulé
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Le pourcentage cumulé est une autre façon de représenter une distribution de fréquences. Il permet de calculer le pourcentage de la fréquence cumulée dans chaque intervalle, tout comme une distribution de fréquences relatives permet de calculer le pourcentage d’une fréquence.
Le principal avantage du pourcentage cumulé par rapport à la fréquence cumulée comme mesure de distribution de fréquences est qu’il permet de comparer plus facilement différents ensembles de données.
Les diagrammes de fréquence cumulée et de pourcentage cumulé sont exactement les mêmes, à l’exception de l’échelle de l’axe vertical. En fait, on peut tracer les deux axes verticaux (l’un pour la fréquence cumulée et l’autre pour le pourcentage cumulé) sur le même diagramme.
On calcule le pourcentage cumulé en divisant la fréquence cumulée par le nombre total d’observations (n), qu’on multiplie ensuite par 100 (la dernière valeur est toujours égale à 100 %). Ainsi :
pourcentage cumulé = (fréquence cumulée ÷ n) x 100
Exemple 1 – Calcul du pourcentage cumulé
Voici l’épaisseur de la neige enregistrée (mesurée au centimètre près) à Whistler Mountain, en Colombie-Britannique, durant une période de 25 jours :
242, 228, 217, 209, 253, 239, 266, 242, 251, 240, 223, 219, 246, 260, 258, 225, 234, 230, 249, 245, 254, 243, 235, 231, 257.
- Utilisez les données ci-dessus (soit les mêmes que celles utilisées dans l’exemple 2 de la section précédente portant sur la fréquence cumulée) pour :
- construire un autre tableau de distribution de fréquences;
- calculer la fréquence de chaque intervalle;
- déterminer l’extrémité de chaque intervalle;
- calculer la fréquence cumulée et le pourcentage;
- enregistrer les résultats dans le tableau.
- Dessinez un diagramme comportant deux axes verticaux (tracés de chaque côté ou en juxtaposition) : un pour la fréquence cumulée et l’autre pour le pourcentage cumulé. Assurez-vous d’identifier l’axe vertical (axe des y) au moyen des étiquettes fréquence cumulée et pourcentage cumulé d’un côté et de l’autre de cet axe. Identifiez aussi l’axe horizontal (axe des x) à partir de l’autre variable (épaisseur de la neige).
Réponses
- Les mesures de l’épaisseur de la neige varient entre 209 cm et 266 cm. Pour produire le tableau, il est préférable de regrouper les données par intervalles de classe de 10 cm chacun.
Chaque intervalle de classe de 10 cm qui se situe entre 200 cm à 270 cm est indiqué dans la colonne Épaisseur de la neige.
La colonne Fréquence sert à enregistrer le nombre d’observations dans un intervalle donné. Les observations indiquées dans la colonne Comptage ne sont représentées que sous forme numérique.
Chaque valeur apparaissant dans la colonne Extrémité est le nombre le plus élevé que l’on trouve dans chaque intervalle de classe. Dans l’intervalle de 200 cm à 210 cm, la valeur de l’extrémité est 210.
La colonne Fréquence cumulée sert à indiquer le total de chaque fréquence qui vient s’ajouter à la dernière enregistrée, comme on l’a vu dans les exercices de la section précédente.
La colonne Pourcentage cumulé montre la fréquence cumulée, divisée par le nombre total d’observations (25, dans ce cas). On multiplie ensuite le résultat par 100. Ce calcul donne le pourcentage cumulé de chaque intervalle.
Tableau 1. Épaisseur de la neige enregistrée à Whistler Mountain, en Colombie-Britannique, durant une période de 25 jours Épaisseur de la neige (x) Comptage Fréquence (f) Extrémité Fréquence cumulée Pourcentage cumulé 200 0 0 ÷ 25 x 100 = 0 200 à < 210
1 210 1 1 ÷ 25 x 100 = 4 210 à < 220 
2 220 3 3 ÷ 25 x 100 = 12 220 à < 230 
3 230 6 6 ÷ 25 x 100 = 24 230 à < 240 
5 240 11 11 ÷ 25 x 100 = 44 240 à < 250 
7 250 18 18 ÷ 25 x 100 = 72 250 à < 260 5 260 23 23 ÷ 25 x 100 = 92 260
à
< 270
2 270 25 25 ÷ 25 x 100 = 100
- Le diagramme doit être identique à celui dessiné dans l’exemple 2 de la section sur la fréquence cumulée, à l’exception de l’axe supplémentaire représentant le pourcentage cumulé.
L’axe du pourcentage cumulé est divisé en cinq intervalles de 20, tandis que celui de la fréquence cumulée est divisé en cinq intervalles de cinq. L’axe de l’épaisseur de la neige est divisé par les extrémités de chaque intervalle de classe de 10 cm.
En utilisant chaque extrémité pour tracer le diagramme, vous constaterez que la fréquence cumulée et le pourcentage cumulé se trouvent au même point. En utilisant 260 comme extrémité, par exemple, tracez votre point (la fréquence cumulée) au 23e jour. Ce point doit se trouver au même endroit que celui où vous tracerez le pourcentage cumulé (92 %).
Vous devez porter beaucoup d’attention lorsque vous dessinez un diagramme composé de deux axes y. Par exemple, si vous avez 47 observations à représenter, vous pourriez être tenté d’utiliser des intervalles de cinq, puis de fixer à 50 l’extrémité de l’axe des y de la fréquence cumulée. Si vous procédez ainsi, vous devez vous assurer lorsque vous tracez l’axe des y des pourcentages cumulés d’indiquer l’intervalle de 100 % au même point que la marque 47 inscrite sur l’autre axe des y, et non à celui de la marque 50. Ceci s’explique par le fait que la fréquence cumulée de 47 équivaut à 100 % de vos données. Si vous fixez 100 % comme pourcentage à l’extrémité supérieure de l’échelle, c’est-à-dire à l’endroit où l’intervalle de 50 est représenté, la ligne de fréquence cumulée ne concordera pas avec celle du pourcentage cumulé.
Les points tracés se joignent pour former une ogive qui, dans la plupart des cas, ressemble à un S étiré. On utilise des ogives pour déterminer le nombre, ou le pourcentage, d’observations qui se situent au-dessus ou au-dessous d’une valeur indiquée. D’après le tableau et le diagramme, par exemple, l’épaisseur de la neige enregistrée durant la période de 25 jours était inférieure à la marque de 260 cm, 92 % du temps.
Voici l’information que l’on peut tirer du diagramme ou du tableau :
- durant la période de 25 jours, l’épaisseur de la neige enregistrée était inférieure à la marque de 230 cm, 24 % du temps;
- on dénombre sept jours durant cette période où l’épaisseur de la couche de neige atteignait au moins 250 cm.
Cours maths 5ème
Statistiques – effectifs et fréquences
A partir d’une situation, ce cours dégage les notions d’effectifs et de fréquence ainsi que celles de classe de même amplitude. Ensuite, ce cours abordera la notion d’effectif total et de valeur de la somme de toutes les fréquences de la série statistique étudiée. Il montrera enfin, à travers une situation pratique, comment regrouper des données en classes de même amplitude.
Notes obtenues à un devoir
Voici les notes sur dix obtenues par les 26 élèves de la classe de 5A au dernier devoir :
Combien de copies ont obtenu la note de 4/10 ?
5
Combien de copies ont obtenu la note de 9/10 ?
3
Quel est l’effectif de la note 0 ?
1
Quel est l’effectif de la note 6 ?
4
5 est appelé l’effectif de la note 4; 3 est l’effectif de la note 9.
Calculer la somme de tous les effectifs du tableau ci-dessus.
1 + 0 + 2 + 4 + 5 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 1 = 26
Quelle donnée de l’énoncé vient-on de retrouver ?
26 représente le nombre total d’élèves de la classe
26 représente l’effectif total
Effectif, effectif total
L’effectif d’une donnée dans un relevé d’observations correspond au nombre de fois qu’elle y apparaît.
L’ensemble des données du relevé d’observation est appelé souvent :
série statistique.
La somme des effectifs de toutes les observations est appelée :
l’effectif total de la série.
Notes obtenues à un devoir
L’effectif total est 26.
Calculer le quotient exact, puis arrondi au centième de l’effectif de la note 4 par l’effectif total.
5 / 26 ≈ 0,19
0,19 est appelé la fréquence de la note 5
Fréquence
La fréquence d’une donnée dans une série statistique correspond au quotient de l’effectif de cette donnée par l’effectif total.
La fréquence d’une donnée peut s’exprimer par un nombre décimal inférieur ou égal à 1.
La fréquence d’une donnée peut aussi s’exprimer en pourcentage.
Etude d’un tirage
Dans un sac il y a 4 boules numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4. On effectue 20 tirages en remettant chaque fois la boule tirée dans le sac. Les boules sont toutes identiques. On obtient le tableau suivant :
Effectif total : 20
Calculer la fréquence de toutes les observations :
Somme des fréquences : exemple
Calculer la somme de toutes les fréquences :
0,2 + 0,35 + 0,3 + 0,15 = 1
Calculer la somme de toutes les fréquences en pourcentages :
20 + 35 + 30 + 15 = 100
Somme des fréquences : propriété
La somme des fréquences des données dans une série statistique est toujours égale à 1.
La somme des fréquences en pourcentages des données dans une série statistique est toujours égale à 100.
À propos de tailles …
On a relevé la taille en cm des membres d’un groupe de 30 personnes. On a obtenu le relevé suivant :
147 ; 164 ; 158 ; 149 ; 144 ; 148 ; 156 ; 156 ; 158 ; 152 ;
151 ; 148 ; 144 ; 153 ; 158 ; 156 ; 144 ; 146 ; 159 ; 161 ;
149 ; 154 ; 147 ; 149 ; 156 ; 152 ; 153 ; 160 ; 158 ; 147 ;
On décide de regrouper ces mesures de 5 cm en 5 cm.
On va compter par exemple le nombre de tailles supérieures ou égales à 140 cm, mais inférieures à 145 cm.
Si t désigne une de ces observations, on écrira que : 140 ≤ t
140 ≤ t
On va donc pouvoir créer 5 classes et regrouper les observations dans ces 5 classes. En effet, les tailles observées vont de 144 cm à 162 cm.
Si t désigne une de ces observations, on aura les classes :
140 ≤ t 145 ≤ t 150 ≤ t 155 ≤ t 160 ≤ t
On obtiendra alors le tableau suivant :
Effectif de la classe 140 ≤ t Effectif de la classe 145 ≤ t Effectif de la classe 150 ≤ t Effectif de la classe 155 ≤ t Effectif de la classe 160 ≤ t
Regroupement en classes
Le tableau :
constitue un regroupement en classes des relevés de tailles suivantes :
147 ; 164 ; 158 ; 149 ; 144 ; 148 ; 156 ; 156 ; 158 ; 152 ;
151 ; 148 ; 144 ; 153 ; 158 ; 156 ; 144 ; 146 ; 159 ; 161 ;
149 ; 154 ; 147 ; 149 ; 156 ; 152 ; 153 ; 160 ; 158 ; 147 ;
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