Ces 2 nombres vont être utilisés pour calculer le coefficient de proportionnalité.
Une colonne complète est une colonne qui contient un nombre sur chaque ligne (en haut et en bas).
2
Calculer le coefficient de proportionnalité
Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie le nombre en haut pour obtenir le nombre en bas.
Il existe 2 techniques pour trouver le coefficient de proportionnalité.
La 1ère technique consiste à diviser le nombre en bas par le nombre en haut.
Le nombre en bas (40) divisé par le nombre en haut (5) donne 8.
Le coefficient de proportionnalité est 8.
La 2ème technique consiste à résoudre une multiplication à trou.
Le nombre en haut (5) doit être multiplié par 8 pour obtenir le nombre en bas (40).
Le coefficient de proportionnalité est 8.
Cours maths 5ème
Coefficient de proportionnalité
Ce cours définit tout d’abord ce que sont deux grandeurs proportionnelles et dégage la notion de coefficient de proportionnalité. Il montrera ensuite comment utiliser ce coefficient dans diverses situations, avant d’aborder les deux propriétés de linéarité. Enfin, ce cours étudiera les liens entre des situations de proportionnalité et les représentations graphiques que l’on peut en donner.
Activité de découverte
On va calculer le périmètre de plusieurs carrés dont on précisera la longueur du côté.
• Un carré de 2 dm de côté a un périmètre de 8 dm
• Un carré de 3,5 dm de côté a un périmètre de 14 dm
• Un carré de 4 dm de côté a un périmètre de 16 dm
• Un carré de 5,4 dm de côté a un périmètre de 21,6 dm
• Un carré de 7 dm de côté a un périmètre de 28 dm
On peut résumer tout ceci dans un tableau.
Toutes les valeurs exprimant le périmètre d’un carré sont obtenues en multipliant par 4 la longueur du côté du carré correspondant.
Les deux grandeurs sont proportionnelles.
4 est appelé le coefficient de proportionnalité.
Définition du coefficient de proportionnalitéDéfinition du périmètre d’une figure
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l’une en multipliant par le même nombre – autre que 0 – toutes les valeurs de l’autre.
Le nombre qui permet de passer d’une suite de nombres à l’autre s’appelle le « coefficient de proportionnalité ».
Calcul du coefficient de proportionnalité
Un robinet laisse couler 52,5 litres d’eau en quinze minutes. La quantité d’eau recueillie est proportionnelle au temps d’ouverture du robinet.
On donne le relevé suivant :
Quelle quantité d’eau recueille-t-on en 1 minute ?
En 1 minute, on recueille
52,5 : 15 = 3,5 litres d’eau
Le coefficient de proportionnalité est 3,5
Utilisation du coefficient de proportionnalité
En 7 minutes, la quantité d’eau recueillie est :
• 7 x 3,5 =
• 24,5 litres
On recueille 31,5 litres d’eau en :
• 31,5 : 3,5 =
•9 minutes
Pour trouver la quantité d’eau, il faut multiplier la durée d’ouverture du robinet par 3,5.
Tableau de proportionalité
Le tableau est un tableau de proportionnalité ; pour passer d’une suite de nombres à l’autre on multiplie par 3,5 dans un sens ; dans l’autre, on divise par 3,5.
Activité : 1ère propriété de linéarité
Pierre achète 3 pains au chocolat et les paie 1,80 €; dans la même boulangerie, Anne achète 5 pains au chocolat et les paie 3 €.
Sachant que le prix payé est proportionnel au nombre de pains au chocolat achetés, peut on calculer le prix de 8 pains au chocolat sans connaître le prix d’un ?
Raisonnons avant de calculer :
On sait que 5 + 3 = 8 .
Si j’achète 3 pains au chocolat puis 5, comme le prix payé est proportionnel au nombre de pains achetés, je paierai la même somme que si j’en achète 8 au même moment.
Je vais donc payer : 1,80 + 3 = 4,80 €
Propriété additive de linéarité
On peut résumer la situation dans le tableau suivant :
Si dans une ligne d’un tableau de proportionnalité un nombre est la somme de deux autres nombres de cette ligne, alors dans l’autre ligne il lui correspond la somme des nombres leur correspondant.
Activité : 2ème propriété de linéarité
On veut maintenant trouver le prix de 16 pains au chocolat achetés dans les mêmes conditions.
On vient de trouver que 8 pains au chocolat coûtent 4,80 € .
16 étant le double de 8, le prix payé pour 16 pains au chocolat sera donc le double du prix de 8
soit 4,80 x 2 = 9,60 €
Propriété multiplicative de linéarité
On peut résumer la situation dans le tableau suivant :
Si dans une ligne d’un tableau de proportionnalité un nombre est le produit d’un autre nombre de cette ligne par une valeur k, alors dans l’autre ligne il lui correspond le produit du nombre correspondant par la même valeur k.
Proportionnalité ?
Comment savoir si un tableau représente une situation de proportionnalité ?
Comment le prix payé a-t-il été calculé ?
Pour trouver le prix payé,si le prix payé est proportionnel au nombre de litres achetés, il a fallu multiplier le nombre de litres achetés par le prix d’un litre de lait.
Si le tableau traduit une situation de proportionnalité, alors en divisant chacun des prix par le nombre de litres achetés correspondant, on doit retrouver à chaque fois le même quotient.
On va donc poser 3 divisions :
•6,40 : 8 = 0,8
• 4 : 5 = 0,8
• 1,60 : 2 = 0,8
Les trois quotients sont égaux à 0,8.
Le prix payé est donc proportionnel au nombre de litres de lait achetés.
Propriété du tabbleau de proportionnalité
Pour vérifier qu’un tableau de nombres traduit une situation de proportionnalité, il faut montrer que tous les quotients obtenus en divisant chacun des nombres de l’une des lignes par le nombre correspondant de l’autre ligne sont tous identiques.
Attention :
Si au moins un des quotients est différent des autres, alors on peut affirmer que la situation n’est pas une situation de proportionnalité.
Proportionnalité et graphiques
Paul achète 3 CD et paie 45€. Anaïs achète 5 CD et paie 75€. Marie achète 2 CD et paie 30€. Le prix payé est-il proportionnel au nombre de CD achetés ?
On remarque que :
45 : 3 = 75 : 5 = 30 : 2 = 15
Chaque CD coûte donc 15 € et le prix payé est bien proportionnel au nombre de CD achetés.
On décide alors de représenter graphiquement cette situation.
On obtient le graphique suivant :
On observe deux choses :
• Les points représentatifs du graphique sont alignés entre eux.
• Les points représentatifs du graphique sont alignés avec l’origine du repère.
Dans un magasin on peut voir le panneau suivant :
Fraises :
3,5 € le kg
3 kg pour 10€
5 kg pour 15€
Le prix est-il proportionnel à la quantité achetée ?
15 : 5 = 3
Le prix payé n’est donc pas proportionnel à la quantité de fraises achetée.
On décide alors de représenter graphiquement cette situation.
On obtient le graphique suivant :
Les points représentatifs du graphique ne sont pas alignés entre eux.
Pour rentrer à la piscine, on peut payer une carte de membre qui coûte 15€ pour l’année ; chaque entrée est alors payée 1€.
Quel prix paiera-t-on pour 1 entrée ; 3 entrées ; 5 entrées ?
Le prix payé est-il proportionnel au nombre d’entrées ?
On remarque que 3 x 16 = 48 et non pas 18
Le prix payé n’est donc pas proportionnel au nombre d’entrées.
On décide alors de représenter graphiquement cette situation.
On obtient le graphique suivant :
• Les points représentatifs du graphique sont tous alignés entre eux.
• Les points représentatifs du graphique ne sont pas alignés avec 0.
Propriété relative aux graphiques
Proportionnalité et représentation graphique.
Si les points représentatifs d’une représentation graphique sont alignés entre eux et alignés avec l’origine du repère alors la situation représentée est une situation de proportionnalité.
Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier une proportionnalité inverse et à construire une formule la décrivant pour résoudre des problèmes.
Avant d’aborder la proportionnalité inverse, rappelons la définition d’une proportionnalité directe et certaines des propriétés des variables directement proportionnelles.
Définition : Proportionnalité directe
Deux variables sont dites directement proportionnelles, ou en proportionnalité directe, si leur quotient est constant.
Ce type de relation est souvent noté 𝑦∝𝑥. Comme leur quotient est constant, on a 𝑦𝑥=𝑚 pour 𝑥≠0 et une constante 𝑚≠0, où 𝑚 est appelé coefficient de proportionnalité.
En multipliant les deux membres de l’équation précédente par 𝑥, on voit que 𝑦=𝑚𝑥.
Si 𝑦∝𝑥, alors 𝑦 est une fonction linéaire de 𝑥 et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
Il existe également un autre type de relation proportionnelle. Rappelons par exemple la relation entre la vitesse d’une voiture et le temps nécessaire pour atteindre une destination. Ces grandeurs vérifient la formule 𝑡=𝑑𝑣.
Dans cet exemple, la distance que la voiture doit parcourir est une constante, donc on peut dire que 𝑡∝1𝑣 avec le coefficient de proportionnalité 𝑑. Il s’agit d’un exemple de proportionnalité inverse. On dit que 𝑡 est inversement proportionnel à 𝑣 si 𝑡 est directement proportionnel à 1𝑣. Nous pouvons le définir formellement comme suit.
Définition : Proportionnalité inverse
Deux variables 𝑦 et 𝑥 sont dites inversement proportionnelles, ou en proportionnalité inverse, si 𝑦 est directement proportionnelle à l’inverse de 𝑥. C’est-à-dire, 𝑦∝1𝑥.
Cela revient à dire que 𝑦=𝑚𝑥 pour 𝑥≠0 et une constante 𝑚≠0, où 𝑚 est le coefficient de proportionnalité.
On peut reformuler cette équation par 𝑥𝑦=𝑚. Par conséquent, le produit de variables inversement proportionnelles est constant.
Nous pouvons utiliser cette définition pour déterminer des valeurs inconnues dans une relation de proportionnalité inverse grâce au coefficient de proportionnalité. Par exemple, partager une somme d’argent fixe entre un nombre variable de personnes est une relation de proportionnalité inverse. Supposons que nous devons partager 800 $ entre 𝑛 personnes ; et que le montant d’argent, en dollars, que chaque personne reçoit est alors défini par 𝑦 où 𝑦=800𝑛.
Si on sait après avoir partagé équitablement l’argent que chaque personne a reçu 50 $, on peut calculer la valeur correspondante de 𝑛 en substituant 𝑦=50 dans l’équation ci-dessus 50=800𝑛.
On multiplie ensuite l’équation par 𝑛 et on divise par 50 pour obtenir 𝑛=80050=16.
Voyons à présent avec un exemple comment déterminer le coefficient de proportionnalité d’une relation de proportionnalité inverse à partir de valeurs des deux variables.
Exemple 1: Calculer le coefficient de proportionnalité inverse
La variable 𝑦 est inversement proportionnelle à 𝑥. Sachant que 𝑦=8 quand 𝑥=7, quel est le coefficient de proportionnalité ?
Réponse
On rappelle que deux variables 𝑦 et 𝑥 sont dites inversement proportionnelles si 𝑦 est directement proportionnelle à l’inverse de 𝑥. C’est-à-dire, 𝑦∝1𝑥. Cela signifie qu’il existe une constante 𝑚≠0 telle que 𝑦=𝑚𝑥. Cette constante 𝑚 est appelée le coefficient de proportionnalité.
On peut substituer 𝑦=8 et 𝑥=7 dans cette équation pour obtenir 8=𝑚7.
En multipliant l’équation par 7, on obtient 𝑚=8×7=56.
Remarquez que nous aurions pu calculer directement 𝑚 en notant que 𝑦=𝑚𝑥 peut être reformulé par 𝑥𝑦=𝑚. En d’autres termes, le produit des variables est constant et égal à 𝑚. On peut donc toujours calculer le coefficient de proportionnalité en multipliant les valeurs des variables : 𝑚=8×7=56.
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons utilisé la propriété selon laquelle le produit de variables inversement proportionnelles est constant. Une propriété similaire est vraie pour la proportionnalité directe : le quotient des variables est constant. Cela nous donne des tests utiles pour déterminer si une relation est directement proportionnelle ou inversement proportionnelle.
Voyons un exemple d’utilisation de ces propriétés où nous devons déterminer le type d’une relation représentée dans un tableau, puis en déduire une inconnue à partir d’une valeur de l’autre variable.
Exemple 2: Déterminer si deux quantités sont directement ou inversement proportionnelles
Déterminez si 𝑥 est directement ou inversement proportionnelle à 𝑦 et déduisez-en la valeur de 𝑦 quand 𝑥=3.
𝑥 2 4 70 𝑦 70 35 2
Réponse
On rappelle que 𝑥 est directement proportionnelle à 𝑦 si leur quotient est constant et que 𝑥 est inversement proportionnelle à 𝑦 si leur produit est constant. Nous pouvons donc déterminer si 𝑥 et 𝑦 vérifient une de ces relations en calculant le quotient et le produit de chaque paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦, et en vérifiant s’ils sont constants. On ajoute ces valeurs au tableau :
𝑥 2 4 70 𝑦 70 35 2 𝑦𝑥 35 8,75 0,0285…𝑥𝑦 140 140 140
On observe que le quotient entre les valeurs correspondantes de 𝑥 et 𝑦 varie alors que leur produit reste constant à 140. Par conséquent, 𝑥 est inversement proportionnelle à 𝑦 et 𝑥𝑦=140.
On peut utiliser cette équation pour déterminer la valeur de 𝑦 quand 𝑥=3 en substituant 𝑥=3 dans l’équation. Cela donne 3𝑦=140.
En divisant l’équation par 3, on obtient 𝑦=1403.
On peut enfin l’écrire sous forme de nombre mixte : 𝑦=4623.
Par conséquent, 𝑥 est inversement proportionnel à 𝑦 et quand 𝑥=3, 𝑦=4623.
Dans l’exemple précédent, nous avons vu un exemple de relation de proportionnalité inverse où le produit des variables était constant. En général, cela signifie que si 𝑦∝1𝑥 et 𝑥 et 𝑦, et 𝑥 et 𝑦 sont des valeurs des variables correspondantes de la relation, on doit avoir 𝑥𝑦=𝑥𝑦.
On peut réarranger cette équation pour obtenir 𝑦𝑦=𝑥𝑥.
En d’autres termes, 𝑦, 𝑦, 𝑥 et 𝑥 sont proportionnels et on peut utiliser cela pour déterminer une inconnue dans une relation de proportionnalité inverse à partir de trois valeurs connues des variables sans avoir à calculer le coefficient de proportionnalité.
Avant de passer à d’autres exemples, étudions la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse. Il s’agit de la courbe représentative d’une équation de la forme 𝑦=𝑚𝑥 qui correspond à une fonction dite inverse, et elle a la forme suivante.
On peut voir que lorsque la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 diminue et de même, lorsque la valeur de 𝑥 diminue, la valeur de 𝑦 augmente.
Utilisons cela pour identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse.
Exemple 3: Identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité inverse
Laquelle des courbes représentatives ci-dessous correspond à une relation de proportionnalité inverse ?
Réponse
Commençons par rappeler que dans une relation de proportionnalité inverse, le produit des variables est constant, donc 𝑥𝑦=𝑚 pour une constante 𝑚. Par conséquent, quand la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 doit diminuer. Nous pouvons voir sur la figure que les courbes B, C et D ne correspondent pas à ce modèle. Quand les valeurs de 𝑥 augmentent, les valeurs de 𝑦 augmentent également, donc aucune de ces courbes ne peut représenter une relation de proportionnalité inverse.
Sur la courbe A, on peut voir que lorsque 𝑥 augmente, 𝑦 diminue. De même, lorsque 𝑥 diminue, 𝑦 augmente. Cela nous indique que la courbe A représente une relation de proportionnalité inverse. On peut le confirmer en remarquant que la forme de cette courbe représentative est celle d’une fonction inverse 𝑦=𝑚𝑥, que l’on peut reformuler par 𝑥𝑦=𝑚.
Par conséquent, seule la courbe A représente une relation de proportionnalité inverse.
Voyons maintenant avec un exemple comment utiliser la description d’une relation de proportionnalité inverse pour trouver une équation reliant les variables.
Exemple 4: Déterminer l’équation décrivant une proportionnalité inverse
Un groupe de scouts a reçu un don de 1 000 $ pour financer des places pour un rassemblement international. Le montant que chaque scout reçoit pour son voyage est inversement proportionnel au nombre de scouts du groupe allant au rassemblement.
- Déterminez une équation de
𝑚,
le montant que chaque scout reçoit, en fonction de
𝑛,
le nombre de scouts du groupe allant au rassemblement.
- Si 25 scouts du groupe vont au rassemblement, combien d’argent recevra chaque scout
?
Réponse
Partie 1
On rappelle que deux variables 𝑚 et 𝑛 sont dites inversement proportionnelles si 𝑚 est directement proportionnelle à l’inverse de 𝑛. C’est-à-dire, 𝑚∝1𝑛. Cela signifie qu’il existe une constante 𝑘≠0 telle que 𝑚=𝑘𝑛, où 𝑛≠0. La constante 𝑘 est appelée le coefficient de proportionnalité. Pour trouver une équation de 𝑚 en fonction de 𝑛, nous devons donc déterminer la valeur de 𝑘.
Identifions pour cela une paire de valeurs correspondantes de 𝑛 et 𝑚. On remarque ainsi que s’il n’y avait qu’un seul scout, il recevrait tout l’argent car il ne partagerait l’argent avec personne. On en déduit que lorsque 𝑛=1, 𝑚=1000. En substituant ces valeurs dans l’équation de proportionnalité, on a 1000=𝑘1=𝑘.
Donc, 𝑘=1000 et on peut le substituer dans l’équation de proportionnalité pour obtenir 𝑚=1000𝑛.
Partie 2
Si 25 scouts du groupe vont au rassemblement, alors 𝑛=25 et le montant que chaque scout recevra est la valeur correspondante de 𝑚. Comme nous avons une équation de 𝑚 en fonction de 𝑛, on peut substituer 𝑛=25 dans l’équation pour trouver la valeur correspondante de 𝑚 et on obtient 𝑚=100025=40.
Par conséquent, chaque scout recevra 40 $.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser une relation de proportionnalité inverse pour déterminer la valeur d’une inconnue à partir de trois valeurs connues.
Exemple 5: Utiliser la proportionnalité inverse pour déterminer une inconnue
Pour un rectangle d’aire fixe, la longueur 𝐿 est inversement proportionnelle à la largeur 𝑙. Sachant que 𝐿=22cm quand 𝑙=16cm, calculez la valeur de 𝐿 quand 𝑙=44.cm
Réponse
On peut répondre à cette question de deux façons. On rappelle d’abord que deux variables 𝐿 et 𝑙 sont dites inversement proportionnelles si 𝐿 est directement proportionnelle à l’inverse de 𝑙. C’est-à-dire, 𝐿∝1𝑙. Cela signifie qu’il existe une constante 𝑚≠0 telle que 𝐿=𝑚𝑙. On peut trouver la valeur de 𝑚 en substituant 𝐿=22 et 𝑙=16 dans l’équation et on obtient 22=𝑚16.
Multiplier l’équation par 16 nous donne 𝑚=22×16=352.cm
Il s’agit de l’aire du rectangle. On peut substituer cette valeur dans l’équation de proportionnalité : 𝐿=352𝑙.
On substitue maintenant 𝑙=44 dans cette équation et on obtient 𝐿=35244=8cm.
Une méthode plus simple consiste à utiliser le fait que si deux variables sont inversement proportionnelles, alors leur produit est constant. Si on désigne alors la longueur que l’on recherche par 𝐿, on a 22×16=𝐿×44.
En divisant l’équation par 44, on obtient 𝐿=22×1644=8.cm
Par conséquent, la longueur du rectangle est de 8 cm.
Dans le dernier exemple, nous allons appliquer les définitions et les propriétés de la proportionnalité inverse pour déterminer le temps mis par un nombre donné d’ouvriers pour réaliser une tâche sachant que le nombre d’heures nécessaires est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers.
Exemple 6: Résoudre un problème impliquant une proportionnalité inverse
Le nombre d’heures𝑛 nécessaires pour réaliser une certaine tâche est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers qui l’effectuent. Sachant que 23 ouvriers peuvent accomplir la tâche en 35 heures, combien de temps mettraient 115 ouvriers pour réaliser cette tâche ?
Réponse
On rappelle tout d’abord que si deux variables sont inversement proportionnelles, alors leur produit est constant. Par conséquent, si on désigne la durée que l’on recherche par 𝑡, on doit avoir 23×35=𝑘,115×𝑡=𝑘.
Pour une constante 𝑘, en posant les membres gauches de chaque équation égaux, on a 23×35=115×𝑡.
En divisant par 115, on obtient 𝑡=23×35115=7.h
Par conséquent, 115 ouvriers mettraient 7 heures pour réaliser cette tâche.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Deux variables 𝑦 et 𝑥 sont dites inversement proportionnelles, ou en proportionnalité inverse, si
𝑦∝1𝑥.
Cela signifie que leur produit est constant.
- Dire que 𝑦 et 𝑥 sont inversement proportionnelles équivaut à dire que 𝑦=𝑚𝑥 pour une constante 𝑚≠0
;
on appelle 𝑚 le coefficient de proportionnalité.
- La courbe représentative de variables inversement proportionnelles correspond à la courbe représentative d’une fonction inverse.
Soyez le premier a laisser un commentaire