Calcul du volume d’un prisme
Le volume d’un prisme (volume prisme) triangulaire est égal à un tiers de la base du triangle multiplié par sa hauteur, multiplié par sa profondeur. .
- b : Base du triangle en cm
- h : Hauteur du triangle en cm
- p : Profondeur du prisme en cm
- V : Volume en cm3
V =
b × h × p
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Bon à savoir sur le volume d’un prisme : Une cale en bois peux prendre la forme d’un prisme
Bon à savoir sur le volume d’un prisme : Une cale en bois peux prendre la forme d’un prisme
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Élevez au cube. Pour élever un nombre au cube, il suffit de le multiplier par lui-même deux fois. Par exemple, le cube de a = a × a × a. Étant donné que toutes les arêtes du cube ont la même longueur, vous n’avez pas besoin d’opérer comme pour un prisme triangulaire et de chercher la longueur de la base, puis la multiplier par la hauteur, ensuite multiplier le produit obtenu par la hauteur du prisme. En multipliant les longueurs des deux arêtes du cube, vous obtenez la surface de la base, la longueur d’une troisième arête va représenter la hauteur du prisme. Vous pouvez toujours penser à multiplier la longueur par la largeur, puis par la hauteur, mais il se trouve que ces trois éléments sont égaux.
- Exemple : (3 cm)3 = 3 cm × 3 cm × 3 cm = 27 cm3.
Pour élever un nombre au cube, il suffit de le multiplier par lui-même deux fois. Par exemple, le cube de. Étant donné que toutes les arêtes du cube ont la même longueur, vous n’avez pas besoin d’opérer comme pour un prisme triangulaire et de chercher la longueur de la base, puis la multiplier par la hauteur, ensuite multiplier le produit obtenu par la hauteur du prisme. En multipliant les longueurs des deux arêtes du cube, vous obtenez la surface de la base, la longueur d’une troisième arête va représenter la hauteur du prisme. Vous pouvez toujours penser à multiplier la longueur par la largeur, puis par la hauteur, mais il se trouve que ces trois éléments sont égaux.
Exemple 4: Déterminer le volume d’une pyramide connaissant sa hauteur latérale et la longueur de son arête latérale
Trouvez le volume de la pyramide régulière suivante en arrondissant la réponse au centième près.
Réponse
Sur cette figure, nous avons les longueurs de la hauteur latérale et de l’arête latérale. Dans une pyramide régulière, les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Par conséquent, la longueur de l’arête latérale sera la longueur de l’une des cotés égaux dans les triangles isocèles.
Afin de trouver le volume d’une pyramide, nous pouvons utiliser la formule 𝑉=13(𝐴×ℎ),pyramidebase où 𝐴base est l’aire de la base de la pyramide et ℎ est la hauteur.
Avant de pouvoir utiliser cette formule, nous devrons calculer l’aire de la base et la hauteur en utilisant les longueurs données.
On considère la section triangulaire suivante de la pyramide.
Dans une pyramide régulière, le sommet de la pyramide se situe au-dessus du centre géométrique de la base. La hauteur, ℎ, de ce triangle est aussi la hauteur de la pyramide. La longueur de base inconnue de ce triangle peut être définie comme 𝑥cm. Cependant, comme on ne nous a donné que la longueur d’un des côtés de cette section triangulaire, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de ℎ.
On peut cependant calculer la valeur de 𝑥 en considérant le triangle rectangle qui est la moitié d’un des triangles isocèles qui forment les faces latérales.
La longueur de la base de ce triangle serait identique à celle de la base du triangle précédent, 𝑥cm. La hauteur est la même que la hauteur latérale de la pyramide, 15 cm, et l’hypoténuse du triangle est 17 cm. Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, qui indique que, pour chaque triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ainsi, nous remplaçons les valeurs des longueurs, 15 cm et 17 cm, et on simplifie pour trouver 𝑥. Cela donne 17=15+𝑥289=225+𝑥289−225=𝑥64=𝑥√64=𝑥.
Comme 𝑥 est une longueur, il suffit de prendre la valeur positive de la racine carrée ; par conséquent, 𝑥=8.cm
On peut maintenant utiliser cette valeur de 𝑥 pour calculer la valeur de ℎ dans le premier triangle. En appliquant à nouveau le théorème de Pythagore, nous avons 15=𝑥+ℎ15=8+ℎ225=64+ℎ225−64=ℎ161=ℎ√161=ℎ.
Sachant que 161 n’est pas un carré parfait, on peut garder la valeur de ℎ=√161 sous cette forme de racine.
Jusqu’à présent, nous avons calculé la hauteur de la pyramide comme √161cm. Nous avons toujours besoin de l’aire de la base pour trouver le volume de la pyramide. En fait, nous sommes sur le point d’avoir la longueur d’un des côtés de la base. Comme il s’agit d’une pyramide régulière, sa base doit être un polygone régulier. Cela signifie qu’on doit avoir une base carrée. La valeur de 𝑥=8 que nous avons calculé est égal à la moitié de la longueur de l’un des côtés du carré. Par conséquent, la longueur du côté du carré à la base est 8×2=16cm.
Rappelons que, pour déterminer l’aire d’un carré, on élève au carre la longueur de son côté. Ainsi, l’aire du carré à la base de la pyramide est calculée par 𝐴=16=256.basecm
Enfin, on peut remplacer les valeurs, 𝐴=256basecm et ℎ=√161cm, dans la formule pour déterminer le volume d’une pyramide, 𝑉=13(𝐴×ℎ)pyramidebase. Cela nous donne 𝑉=13256×√161=1082,7586….pyramidecm
En arrondissant au centième près, on peut dire que le volume de la pyramide est égal à 1082,76cm.
Le volume d’une pyramide est l’espace qu’elle occupe. C’est le nombre de cubes unitaires qu’elle peut contenir. Une pyramide est un polyèdre, car ses faces sont constituées de polygones. Il existe différents types de pyramides, comme la pyramide triangulaire, la pyramide carrée, la pyramide rectangulaire, la pyramide pentagonale, etc. Elles sont nommées d’après leur base, c’est-à-dire que si la base d’une pyramide est un carré, elle est appelée pyramide carrée. Toutes les faces latérales d’une pyramide sont des triangles dont un côté de chaque triangle se confond avec un côté de la base. Étudions plus en détail le volume d’une pyramide, ainsi que sa formule, sa preuve et quelques exemples résolus. Mais, comment calculer le volume d’une pyramide ?
Qu’est-ce que le volume d’une pyramide ?
Le volume d’une pyramide est l’espace compris entre ses faces. Le volume d’une pyramide est toujours égal au tiers du volume d’un prisme lorsque les bases du prisme et de la pyramide sont congruentes et que les hauteurs de la pyramide et du prisme sont également les mêmes, c’est-à-dire que trois pyramides identiques de n’importe quel type peuvent être disposées pour former un prisme du même type, de sorte que les hauteurs de la pyramide et du prisme soient les mêmes et que leurs bases soient congruentes,
- Trois pyramides rectangulaires peuvent être disposées pour former un prisme rectangulaire.
- Trois pyramides carrées peuvent être disposées pour former un cube, etc.
Nous pouvons comprendre cela grâce à l’activité suivante. Prenez une pyramide à base carrée pleine de sable et prenez un prisme rectangulaire vide dont la base (est un carré) et la hauteur sont identiques à celles de la pyramide. Versez le sable de la pyramide dans le prisme, nous pouvons voir que le prisme est exactement rempli au tiers.
Comment calculer le volume d’une pyramide ?
Le volume d’une pyramide est égal à un tiers du volume du prisme correspondant (c’est-à-dire que leurs bases et leurs hauteurs sont congruentes). Ainsi,
Volume de la pyramide = (1/3) (Bh)
, où
B = Surface de la base de la pyramide
h = Hauteur de la pyramide (qui est également appelée « altitude »)
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Comment calculer le volume des différents types de pyramides ?
Dans la section précédente, nous avons appris que le volume d’une pyramide est égal à (1/3) × (surface de la base) × (hauteur de la pyramide).
Vous pouvez voir ici les formules de calcul du volume de différents types de pyramides. Vous apprendrez :
- Comment calculer le volume d’une pyramide à base carrée ?
- Comment calculer le volume d’une pyramide à base triangulaire ?
- Comment calculer la hauteur d’une pyramide à base rectangulaire ?
- Comme comment calculer la hauteur d’une pyramide à base pentagonale ?
- Comment calculer la hauteur d’une pyramide à base hexagonale ?
PyramidevolumePyramide triangulaire
= 1/3 × 1/2 × bH × h
V = 1/6 × B H hPyramide carrée
V = 1/3 × a 2 × hPyramide rectangulaire
= 1/3 × L × l × h
V = 1/6 × L l hPyramide pentagonale
= 1/3 × 5/2 × ca × h
V = 5/6 × c a hPyramide hexagonale
= 1/3 × 3 × a c × h
V = a c h
Exemples sur le volume d’une pyramide
Voici des exemples sur le volume d’une pyramide :
Exemple 1
une pyramide a une base mesurant environ 755 m × 755 m et sa hauteur est d’environ 480 m. Calculez son volume.
Solution :
La pyramide est une pyramide carrée. Sa surface de base (surface du carré) est de,
B = 755 × 755 = 570 025 mètres carrés.
La hauteur de la pyramide est de h = 480 m.
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En utilisant la formule du volume de la pyramide,
Volume de la pyramide, V = (1/3) (Bh)
V = (1/3) × 570 025 × 480
V = 91 204 000 mètres cubes.
Réponse
Le volume de la pyramide de Khéops est de 91 204 000 mètres cubes.
Exemple 2
Une pyramide possède un hexagone régulier de 6 cm de côté et de 9 cm de hauteur. Trouvez son volume.
Solution :
La longueur des côtés de la base (hexagone régulier) est de a = 6.
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L’aire de la base (aire de l’hexagone régulier) est,
B = (3√3/2) × a2
B = (3√3/2) × 62 ≈ 93,53 cm2.
La hauteur de la pyramide est h = 9 cm.
Le volume de la pyramide hexagonale est,
V = (1/3) (Bh)
= (1/3) × 93,53 × 9
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V = 280,59 cm3
- Réponse
Le volume de la pyramide est de 280,59 cm3.
Exemple 3
Tom a construit une tente rectangulaire (qui a la forme d’une pyramide rectangulaire) pour son camp de nuit. La base de la tente est un rectangle de 6 mètres de longueur × 10 mètres de largeur et sa hauteur est de 3 mètres. Quel est le volume de la tente ?
Solution :
La surface de base (surface du rectangle) de la tente est B = 6 × 10 = 60 mètres carrées.
La hauteur de la tente est de h = 3 mètres.
Le volume de la tente, calculé à l’aide de la formule du volume de la pyramide, est le suivant,
V = (1/3) (Bh)
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= (1/3) × 60 × 3
V = 60 m3.
- Réponse
Le volume de la tente est de 60 m3.
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