Un cône a une forme tridimensionnelle, le calcul de son volume peut donc sembler un peu compliqué. Pour vous aider à mieux comprendre, nous vous expliquons dans cet article ce qu’est un cône ainsi que comment calculer son volume. Nous détaillons les étapes une par une et les formules que vous devez utiliser pour calculer le volume d’un cône avec des exemples clairs.
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Qu’est-ce qu’un cône ?
En géométrie, un cône est une figure solide tridimensionnelle qui rétrécit à partir d’une base circulaire jusqu’à un point appelé le sommet ou vertex.
La distance du sommet à la base est la hauteur du cône et elle est perpendiculaire à la base. La base circulaire est mesurée par la valeur du rayon ou de la circonférence et la longueur du cône du sommet à tout point de la surface de la base est appelée hauteur oblique.
Comment calculer le volume d’un cône?
En général, le volume d’un solide tridimensionnel est la quantité d’espace qu’il occupe et il est mesuré en unités cubiques.
Le volume V d’un cône de rayon r est égal à un tiers de la surface de la base B multipliée par la hauteur h. Le volume d’un cône est inférieur au volume d’un cylindre ayant la même base et la même hauteur. Il correspond en fait exactement à un tiers du volume d’un cylindre. La formule est la suivante :
V = ⅓ (surface de base) x (hauteur)
V = ⅓ πr²h ou V = ⅓ Bh, où B = πr²
Trouver le volume d’un cône est facile à calculer une fois que l’on connaît sa hauteur et son rayon. Voici une liste des étapes à suivre afin de calculer le volume d’un cône :
1. Trouver le rayon de la base
Soit vous connaissez le diamètre de la base ou la circonférence. Si on vous donne le diamètre, divisez-le par 2 pour obtenir le rayon. Si, par contre, on vous donne la circonférence, divisez-la par 2π pour obtenir le diamètre.
2. Calculer la surface de la base circulaire
Une fois que vous connaissez le diamètre, vous pouvez calculer la surface de la base d’un cône. Comme nous l’avons déjà mentionné, la formule de la base B est : B = πr². Il faut donc élever le rayon au carré et le multiplier par la valeur de π pour trouver la surface de la base circulaire.
3. Calculer le volume du cône
Maintenant que vous avez ce qu’il faut pour calculer le volume d’un cône, il vous suffit de suivre la formule : V = 1/3Bh, où B = πr².
Maintenant, vous devez multiplier la surface de la base B par la hauteur h et ensuite diviser le résultat obtenu par 3. N’oubliez pas de toujours indiquer le volume en unités cubiques, car vous avez calculé le volume d’un espace tridimensionnel.
Exemple
Sachant que la hauteur du cône suivant est h = 18cm et le rayon r = 6 cm, calculer son volume:
Solution
Nous avons donc la valeur du rayon (6 cm) et de la hauteur (18 cm).
La formule pour le volume d’un cône est :
V = ⅓ πr²h
Nous pouvons faire le calcul d’un coup, ou commencer par calculer la surface de la base qui est :
Base = πr²
= π x (6)²
=π x 36
= 113.09 cm²
Nous pouvons maintenant calculer le volume du cône :
V = ⅓ πr²h
= ⅓ x 113,09 x 18
=678.2
Par conséquent, le volume du cône est d’environ 678,2 centimètres cubes.
Si vous ne comprenez toujours pas l’équation ou si vous avez des problèmes en mathématiques, n’hésitez pas à obtenir de l’aide de nos tuteurs en ligne. Vous bénéficierez de séances de tutorat personnalisées.
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Calcul des volumes (et formules des volumes) de :
alors la formule du volume du cône est égal à : π × R 2 × h ÷ 3 ou encore :
Si la base d’un cône est un disque de rayon R son aire est égale à : π × R 2 .
Le volume d’un cône de révolution est égal à un tiers de l’aire de sa base multipliée par la hauteur du cône h.
Valeur* du rayon R : Valeur* de la hauteur du cône :
* Entrer les valeurs dans la même unité.
Le volume du cône s’exprimera dans l’unité au « cube » des mesures. Par exemple, si vous choisissez d’exprimer leurs valeurs en cm, la valeur du volume obtenue s’exprimera en cm3.
Cône de réolution
– Un cône de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des ses côtés de son angle droit.
– La hauteur du cône est la distance entre le sommet S et le centre de sa base ici dans la figure (ici H sur la figure).
– La droite (SH) , prolongation de la hauteur du cône de révolution de la figure, est perpendiculaire au plan défini par la base du cône. On dit que le sommet du cône est « à la verticale » du centre du disque de base..
Quel est le volume d’un cône de signalisation ?
La hauteur d’un cône de signalisation est de 50 cm et sa base a pour diamètre 29 cm. Quel est son volume ?
Le raton de la base est égal à 29 ÷ 2 = 14.5 cm.
L’aire de la base est égale en cm2 à : π × R2 = π × 14.52 = π × 210.25 = 660.52 cm2
Le volume est égal en cm3 à : 660.52 × 50 ÷ 3 = 11 008.7 cm3, soit en dm3 environ 11 dm3, soit encore 11 litres.
Un cône est un solide qui a une base circulaire et un seul sommet. Mais comment calculer le volume d’un cône ?
Comment calculer le volume d’un cône ?
Pour calculer le volume d’un cône, il faut multiplier l’aire de la base (aire d’un cercle : π * r²) par la hauteur et par 1/3 :
Volume d’un cône = (1/3) × π × r² × h
Un cône à base polygonale s’appelle une pyramide.
Comment trouver le volume d’un cône ?
Calculons la quantité d’eau qui entre dans la partie conique de l’entonnoir.
- Déterminez la hauteur du cône. Pour notre entonnoir, c’est 10 cm.
- Entrez le rayon de la base. Il est égal à 6 cm.
- Volume d’un cône = (1/3) × π × r² × h
- Volume d’un cône = (1/3) × 3.14 × 6² × 10 cm
- La calculatrice affiche maintenant le volume du cône – dans notre cas, il est de 377,14 cm2.
Calculer le volume de cône tronqué
Un cône tronqué est le cône dont le sommet est coupé, avec une coupe perpendiculaire à la hauteur. Vous pouvez calculer le volume du tronc de cône en soustrayant le plus petit volume du cône (celui qui est coupé) du plus grand volume du cône (celui de base) ou utiliser la formule :
Volume = (1/3) × π × profondeur × (r² + r × R + R²)
Où R est le rayon de la base d’un cône, et r celui de la surface supérieure.
Vous trouverez un exemple de calcul du volume d’un tronc de cône dans notre calculateur de terreau, car le pot de fleurs standard est un tronc de cône.
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Volume du cône oblique
Un cône oblique est un cône dont l’apex n’est pas aligné au-dessus du centre de la base. Il penche d’un côté, de la même manière que le cylindre oblique. La formule du volume du cône oblique est la même que pour le cône droit.
Exercice
Trouvez le volume du cône indiqué. Arrondir au dixième de centimètre cube le plus proche.
Solution
D’après la figure, le rayon du cône est de 8 cm et sa hauteur est de 18 cm.
La formule du volume d’un cône est la suivante.
V=1/3 π r2 h
Remplacez r par 8 et h par 18.
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V=1/3 π (8)2 (18)
Simplifiez.
V=1/3 π (64) (18) = 384 π ≈ 1206.8 cm3
Par conséquent, le volume du cône est d’environ 1206,8 centimètres cubes.
Lire aussi :
Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le volume d’un cône et résoudre des problèmes, dont des situations réelles.
Bien qu’il existe des définitions plus générales des cônes, cette leçon ne considère que les cônes de révolution droits. Donnons-en une définition mathématique précise.
Définition : Cône de révolution droit
Un cône de révolution droit est un solide dont la base est un cercle et le sommet (ou apex) appartient à la droite passant par le centre de la base et perpendiculaire à la base.
Sa hauteur est la distance entre le sommet et la base.
Son rayon est le rayon de la base circulaire.
Son apothème est la distance entre le sommet et un point quelconque de la circonférence de la base.
Comme on ne considère que les cônes de révolution droits dans cette fiche, on les appellera simplement des cônes. Voyons maintenant comment calculer le volume d’un cône.
Imaginons qu’on remplisse un cône entièrement, par exemple avec de l’eau. Si on verse cette eau dans un cylindre de même base et de même hauteur que le cône, on constate que le niveau d’eau arrive exactement au tiers de la hauteur du cylindre.
Or, le volume d’un cylindre est donné par la formule 𝑉=𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon du cylindre et ℎ est sa hauteur. Si on prend un tiers de cela, on obtient la formule suivante pour le volume d’un cône.
Formule : Volume d’un cône
Le volume d’un cône est égal à 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon de sa base et ℎ est sa hauteur.
Ainsi, si on souhaite calculer le volume d’un cône, on trouve son rayon et sa hauteur, puis on substitue leurs valeurs dans la formule ci-dessus. Voici un exemple où on applique cette formule pour trouver le volume d’un cône dessiné sur un schéma.
Exemple 1: Calcul du volume d’un cône
Calculez le volume de ce cône de révolution droit en fonction de 𝜋.
Réponse
Le volume d’un cône de révolution droit est donné par la formule 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon de la base et ℎ est la distance entre le sommet et la base. Sur le schéma, on voit que le rayon mesure 20 cm et la hauteur mesure 24 cm. En utilisant ces valeurs dans la formule, on obtient 𝑉=13𝜋⋅20⋅24=400⋅243𝜋=3200𝜋.cm
L’exemple précédent était idéal : on nous donnait le rayon et la hauteur, et on les a utilisés pour calculer directement le volume. Dans de nombreuses situations, les mesures dont on a besoin ne sont pas données explicitement, mais on a suffisamment d’informations pour en déduire leurs valeurs. En particulier, rappelons qu’un cône de révolution droit a son sommet directement au-dessus du centre de la base circulaire. Cela implique que l’apothème, la hauteur et le rayon forment un triangle rectangle comme illustré ci-dessous.
À l’aide du théorème de Pythagore, si on nous donne deux des mesures ci-dessus, on peut en déduire la troisième. Par exemple, supposons que l’apothème mesure 𝑠, le rayon 𝑟, et qu’on cherche la hauteur ℎ. On a alors 𝑠=ℎ+𝑟.
On peut en déduire ℎ comme ceci : ℎ=√𝑠−𝑟.
On peut alors utiliser cette valeur de ℎ, ainsi que la valeur donnée pour 𝑟, dans la formule du volume. Considérons l’exemple suivant.
Exemple 2: Calcul du volume d’un cône en fonction de sa hauteur et de son apothème
Déterminez le volume de ce cône de révolution droit en fonction de 𝜋.
Réponse
Pour déterminer le volume d’un cône de révolution droit, rappelons la formule 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon de la base et ℎ la hauteur (c’est-à-dire la distance entre le sommet et la base). On nous donne la hauteur, qui mesure 48 cm, et l’apothème, qui mesure 60 cm, mais pas le rayon.
Pour trouver le rayon, on utilise le fait que l’apothème, la hauteur et le rayon forment un triangle rectangle, comme illustré ci-dessous.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver 𝑟 : 𝑟+48=60𝑟=60−48=3600−2304=1296.
En prenant la racine carrée de chaque côté, on trouve 𝑟=36.cm
On peut maintenant utiliser cette valeur, ainsi que ℎ=48, dans la formule du volume, ce qui donne 𝑉=13𝜋⋅36⋅48=1296⋅483𝜋=20736𝜋.cm
Un autre type de problème pose la question inverse : si on nous donne le volume d’un cône, comment trouver les autres mesures ? La réponse est que, du moment qu’on connaît deux des trois inconnues (volume, hauteur et rayon), on peut utiliser la formule du volume d’un cône pour en déduire la troisième. Voyons un exemple de cela.
Exemple 3: Calcul du diamètre de la base d’un cône en fonction de son volume et de sa hauteur
Un cône a pour volume 441𝜋cm, et pour hauteur 12 cm. Calculez le diamètre de sa base.
Réponse
Comme on nous donne le volume du cône et sa hauteur, rappelons la relation entre ces deux mesures et le rayon : 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑉 est le volume, 𝑟 le rayon de la base, et ℎ la hauteur. Cette formule n’utilise pas explicitement le diamètre mais, le diamètre étant le double du rayon, on peut commencer par chercher le rayon.
En remplaçant ℎ=12 et 𝑉=441𝜋 dans la formule, on a 441𝜋=13𝜋𝑟⋅12.
On peut en déduire 𝑟. On commence par diviser chaque côté par 𝜋 : 441=13𝑟⋅12.
Puis on multiplie chaque côté par 3, 1323=𝑟⋅12, et on divise chaque côté par 12, ce qui donne 110,25=𝑟.
Ensuite, pour trouver 𝑟, on prend la racine carrée de chaque côté, ce qui donne 𝑟=10,5.cm
La dernière étape consiste à déterminer le diamètre. Comme le diamètre est le double du rayon, on multiplie par 2 ; on obtient que le diamètre mesure 21 cm.
Comme évoqué plus haut, on ne nous donne pas toujours les valeurs exactes à insérer dans la formule du volume d’un cône. Une autre situation qu’on peut rencontrer est celle où l’aire ou la circonférence de la base est donnée, mais pas le rayon. Rappelons que l’aire et la circonférence sont liées au rayon d’un cercle par les formules suivantes : 𝐴=𝜋𝑟,𝐶=2𝜋𝑟, où 𝐴 est l’aire, 𝐶 est la circonférence, et 𝑟 est le rayon. Ainsi, si on nous donne l’aire ou la circonférence au lieu du rayon, il est toujours possible de déterminer le rayon.
Considérons un exemple d’application des formules ci-dessus avec le volume d’un cône, cette fois dans un contexte concret.
Exemple 4: Calcul de la hauteur d’un cône dans un contexte concret
Un morceau de chocolat est en forme de cône droit ; son volume est 952𝜋cm et le périmètre de sa base est 10𝜋cm. Calculez sa hauteur.
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne le volume d’un cône et le périmètre de sa base, et on nous demande sa hauteur. Rappelons la formule du volume d’un cône : 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑉 est le volume, 𝑟 est le rayon de la base, et ℎ est la hauteur. Cette formule utilise le rayon et non le périmètre, mais on peut déterminer le rayon en utilisant le fait que la base d’un cône est un cercle. Rappelons que le périmètre (ou la circonférence) d’un cercle est égal à perimètre=2𝜋𝑟.
Comme le périmètre est égal à 10𝜋, on a 10𝜋=2𝜋𝑟.
En divisant chaque côté par 2𝜋, on obtient 𝑟=5.
Maintenant qu’on a trouvé 𝑟=5cm et 𝑉=952𝜋cm, on peut utiliser la formule du volume, ce qui donne 952𝜋=13𝜋⋅5ℎ.
On va pouvoir en déduire ℎ. D’abord, en multipliant chaque côté par 3, ce qui donne 2852𝜋=𝜋⋅5ℎ.
Puis en divisant chaque côté par 𝜋 : 2852=5ℎ.
Enfin, on divise chaque côté par 5=25 pour trouver ℎ, qu’on exprime en centimètres : ℎ=5,7.cm
Dans l’exemple précédent, on a montré comment combiner circonférence de la base et formule du volume ; considérons à présent le cas de l’aire de la base.
Or, il se trouve que si on nous donne l’aire et la hauteur, c’est encore plus simple. Comme le volume du cône est 13𝜋𝑟ℎ, on utilise 𝐴=𝜋𝑟 pour obtenir cette nouvelle formule du volume.
Formule : Volume d’un cône (aire de la base)
Le volume d’un cône est égal à 𝑉=13𝐴ℎ, où 𝐴 est l’aire de base et ℎ est la hauteur.
Notez que cette formule est analogue à cette variante de la formule du volume d’un cylindre : 𝑉=𝐴ℎ.
Comme prévu, ça correspond à l’affirmation ci-dessus, selon laquelle le volume d’un cône est le tiers de celui d’un cylindre.
Considérons un exemple où on utilise l’aire de la base d’un cône pour déterminer son volume.
Exemple 5: Calcul du volume d’un cône dont on connaît l’aire de la base et l’apothème
Calculez le volume d’un cône de révolution droit en fonction de 𝜋 si l’aire de sa base est 64𝜋cm et son apothème mesure 17 cm.
Réponse
Rappelons que le volume d’un cône est égal à 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon et ℎ la hauteur. Ici, on ne nous donne ni le rayon ni la hauteur ; mais rappelons que comme la base d’un cône de révolution droit est un cercle, on peut exprimer l’aire de la base en fonction du rayon : 𝐴=𝜋𝑟.
En général, on insère simplement ceci dans la formule du volume mais, ici, on s’aperçoit qu’il est de toute façon nécessaire de trouver le rayon pour calculer la hauteur. Alors, trouvons le rayon en faisant des calculs. On a 64𝜋=𝜋𝑟64=𝑟𝑟=8.cm
On cherche à présent la hauteur. Le sommet d’un cône de révolution droit étant directement au-dessus du centre de la base, la hauteur d’un cône est directement liée au rayon et à l’apothème, comme dans ce schéma.
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, on a 17=ℎ+8ℎ=17−8ℎ=225ℎ=15.cm
Et comme on a ℎ=15 et 𝑟=8, on peut utiliser ces valeurs dans la formule du volume d’un cône. Cela donne 𝑉=13𝜋⋅8⋅15=64⋅153𝜋=320𝜋.cm
Pour terminer, récapitulons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Le volume d’un cône est 𝑉=13𝜋𝑟ℎ, où 𝑟 est le rayon de la base et ℎ la hauteur.
- Cette formule permet de déterminer le volume, le rayon, ou la hauteur d’un cône, suivant les dimensions qui sont fournies.
- Si on ne nous donne pas directement la hauteur ou le rayon, on peut les déduire à partir de l’apothème à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle ci-dessous.
- On peut aussi calculer le rayon à partir de l’aire ou de la circonférence de la base. En particulier, on peut utiliser la variante de la formule du volume d’un cône
:
𝑉=13𝐴ℎ, où 𝐴 est l’aire de base et ℎ la hauteur.
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