Comment calculer un angle avec la trigonométrie

Exemple 4: Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle avec des angles en degrés

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, où 𝐵𝐶=10cm et 𝐴𝐶=18cm. Calculez la longueur 𝐴𝐵 en donnant votre réponse au centimètre près et la mesure des angles en 𝐴 et en 𝐶 au degré près.

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer la longueur d’un côté et deux mesures d’angle dans un triangle rectangle. Il peut être utile de commencer par faire une figure représentant les informations fournies. On trace donc ci-dessous le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 et on indique les côtés connus, 𝐵𝐶=10cm et 𝐴𝐶=18cm.

On peut répondre à cette question en utilisant la trigonométrie. Comme nous connaissons les longueurs de deux côtés, nous allons commencer par calculer les mesures des angles inconnus. Calculons d’abord la mesure de l’angle en 𝐴.

On désigne alors l’angle en 𝐴 par 𝜃, 𝐴𝐶 par l’hypoténuse, H, et, 𝐵𝐶 par le côté opposé, O. Le schéma ci-dessous représente le triangle avec 𝜃, H et O.

Sur le schéma, on voit que Ocm=10 et Hcm=18. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et H, c’est-à-dire sinOH𝜃=.

En substituant O=10 et H=18, on obtient sin𝜃=1018.

Maintenant que nous connaissons le sinus, nous pouvons calculer la mesure de l’angle inconnu 𝜃. On applique donc la réciproque du sinus, sin, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi sinsin𝜃=1018𝜃=1018.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=33,749….∘

Par conséquent, 𝑚∠𝐴 mesure 34∘ au degré près.

Pour calculer ensuite la mesure de l’angle en 𝐶, on rappelle que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180∘. Comme on connaît les mesures des deux autres angles, on a 𝑚∠𝐶+33,749…+90=180𝑚∠𝐶=180−90−33,749…𝑚∠𝐶=56,251….∘∘∘∘∘∘∘

Par conséquent, 𝑚∠𝐶 mesure 56∘ au degré près.

Nous devons enfin calculer la longueur du côté 𝐴𝐵. En utilisant la trigonométrie, on peut utiliser un des côtés connus et un des angles connus pour cela. Nous connaissons deux longueurs de côtés et deux mesures d’angles, nous pouvons donc choisir la formule trigonométrique à utiliser. Comme nous avons trouvé 𝑚∠𝐴 en premier, nous allons utiliser cet angle pour 𝜃. Nous allons également utiliser le côté opposé O pour pouvoir calculer la longueur du côté adjacent A. Comme c’est illustré ci-dessous.

Nous savons déjà que Ocm=10 et 𝜃=33,749…∘, et nous essayons de calculer la longueur A. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et A. Il s’agit de tanOA𝜃=.

En substituant O=10 et 𝜃=33,749…∘, on obtient tanA(33,749…)=10.∘

En isolant A, on a AtanAtan(33,749…)=10=10(33,749…).∘∘

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient Acm=14,9666….

Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐵 est 15 cm arrondie au cm près.

Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐵 au centimètre près est 15 cm, la mesure de l’angle en 𝐴 au degré près est 34∘ et la mesure de l’angle en 𝐶 au degré près est 56∘.

Cours maths 3ème

Formules trigonométriques et calcul de longueurs

Ce cours a pour objectifs de démontrer dans un premier temps les formules de trigonométrie puis de les utiliser dans le but de calculer des longueurs et de travailler l’utilisation de la calculatrice. La première partie est commune avec le chapitre « Formules trigonométriques et calcul d’angles » mais l’exemple d’application en fin de chapitre diffère et s’intéresse ici au calcul de longueurs.

 

Formule trigonométrique : cosinus

En 4ème, on a découvert un nouvel outil appelé « cosinus ».
Cet outil s’utilise uniquement dans les triangles rectangles.
Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport :

 

 

Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.
La valeur du cosinus d’un angle est toujours comprise entre 0 et 1.

 

Avant de commencer …

Dans chaque cas, l’hypoténuse du triangle rectangle est surligné en couleur.

 

 

Dans chaque cas, le côté adjacent de l’angle indiqué est surligné en couleur.

 

J’utilise ma calculatrice ….

Avant d’utiliser la calculatrice, il faut vérifier qu’elle est bien en mode degrés.

Voici un exemple de tableau montrant quelques valeurs de cosinus.
Les mesures d’angles sont arrondis à 1° près et les valeurs de cosinus sont arrondis à 0,01 près :

 

 

Activité : préliminaires

OAB est un triangle rectangle en A .
On place un point C sur le segment [OA], puis on trace la perpendiculaire à (OA) passant par C, elle coupe [OB] en D.

 

1) Faire une figure à main levée.

2) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier.

On sait que :
• les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à une même droite (OA)
Or :
si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles
Donc :
(AB) // (CD)

 

Activité : un nouveau rapport

3) Montrer que :

En déduire que :

 

On sait que :

• les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B
• (AB) // (CD)

Or :

d’après la propriété de Thalès, on a :

On a donc :

On utilise enfin le « produit en croix » :

Puis on divise les deux membres par OD ×OB :

En simplifiant, on obtient donc :

 

Formule trigonométrique : sinus

La valeur commune des rapports et ne dépend que de la mesure de l’angle

 

Activité : un troisième rapport

 

3) Montrer que :

En déduire que :

On sait que :

• les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B
• (AB) // (CD)

Or :

d’après la propriété de Thalès, on a :

On a donc :

On utilise enfin le « produit en croix » :

Puis on divise les deux membres par OD ×OB :

En simplifiant, on obtient donc :

 

Formule trigonométrique : tangente

La valeur commune des rapports et ne dépend que de la la mesure de l’angle

 

 

Formule trigonométrique : cosinus d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport :

 

 

Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.

 

Exemple :

 

Formule trigonométrique : sinus d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au rapport :

 

 

Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.

 

Exemple :

 

En résumé

 

Pour utiliser les formules de trigonométrie, il faut se situer dans un triangle rectangle.
 
Ces trois rapports ne dépendent que de la mesure de l’angle considéré.
 
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
 
A quoi servent ces formules ?
 
Ces formules permettent de calculer des longueurs de côtés et des mesures d’angles dans des triangles rectangles.
 
 
Pour retenir les 3 rapports, on peut utiliser « la formule » :

Cos
Adjacent
Hypoténuse
Sin
Opposé
Hypoténuse
Tan
Opposé
Adjacent

 

Exemple d’application du calcul d’angles

Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A, tel que : AB = 6 cm et AC = 4 cm.
Calculer l’arrondi au degré de l’angle .

Méthode :

♦ On trace une figure à main levée.
On repasse en couleur les données connues et celle cherchée.
♦ Par rapport à l’angle connu, on connait le côté adjacent et on cherche la longueur du côté opposé.
On va utiliser la formule de la tangente.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
Soit :
D’où :

Sur la calculatrice, on lit : 56,30993247

Finalement :

 

Propriétés des formules trigonométriques

Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a :

 

 

Preuve :

 

 

2) On note :

CA le côté adjacent à l’angle x ;
CO le côté opposé à l’angle x ;
H l’hypoténuse du triangle rectangle ;

On a :

 

 

Or : dans un triangle rectangle, d’après la propriété de Pythagore, CA² + CO² = H².

Donc : cos² x + sin² x = 1