Pour une suite arithmétique, répondre à cette question est extrêmement simple! A partir du moment où l’on sait que la suite est arithmétique ou que l’on a justifié que la suite est arithmétique.
Connaître la nature de la suite est indispensable ainsi que ses caractéristiques: à savoir, sa raison et son premier terme. Il faut également connaître les formules concernant les suites arithmétiques
Formules en fonction de n:
$U_n=U_0+ntimes r$ si le premier rang de la suite est 0
$U_n=U_1+(n-1)times r$ si le premier rang de la suite est 1
ou $U_n=U_p+(n-p)times r$ si le premier rang est n’importe quelle valeur entière positive p
Exemple 1:
Soit (Un) la suite arithmétique de raison r=4 et de premier terme $U_0=-13$. Exprimer un en fonction de n
On utilise la formule: $U_n=U_0+ntimes r$ et on remplace simplement $U_0$ et r par leur valeur respective:
$U_n=-13+4n$
Exemple 2:
Soit (Un) la suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme $U_1=-4$. Donner le terme général de la suite (Un)
On utilise la formule: $U_n=U_1+(n-1)times r$ et on remplace simplement $U_1$ et r par leur valeur respective:
$u_n=-4+(n-1)times 2$
On développe: $U_n=-4+2n-2$
Et on réduit: $U_n=-6+2n$
Accueil > Terminale ES et L spécialité > Suites > Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
Méthode
On considère une suite géométrique $(u_n)$ dont on connaît la raison $q$ et le premier terme $u_0$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0times q^n$.
Cette dernière égalité est une réponse aux questions :
- « Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. »
- « Donner une expression explicite de $u_n$. »
Attention : cette expression n’est valable que si la suite est géométrique (il faut donc s’assurer qu’on a déjà montré que la suite était géométrique dans une question antérieure).
Remarque : dans certains cas, la suite géométrique n’est pas définie à partir du rang 0 mais à partir du rang 1 ou du rang 2 (ou d’un rang encore plus grand). Dans ces cas, on peut utiliser l’une des expressions suivantes :
$u_n=u_1times q^{n-1}$
$u_n=u_2times q^{n-2}$
$u_n=u_3times q^{n-3}$
…
$u_n=u_ptimes q^{n-p}$
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison $frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0=3$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Voir la solution
D’après le cours, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3times (frac{1}{2})^n$
(Attention à ne pas oublier les parenthèses autour de $frac{1}{2}$ !).
- Niveau facile
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison 8 et de premier terme $u_1=5$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Voir la solution
D’après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $u_n=5times 8^{n-1}$
- Niveau moyen
On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_1=4$ et définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n+1}=5times u_n-2$. On considère, de plus, la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $v_{n}=u_n-frac{1}{2}$.
Montrer que $(v_n)$ est géométrique puis donner une expression explicite de son terme général.
Voir la solution
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.
$v_{n+1}=u_{n+1}-frac{1}{2}$ d’après l’énoncé.
$v_{n+1}=(5times u_n-2)-frac{1}{2}$ d’après l’énoncé.
$v_{n+1}=5times u_n-frac{5}{2}$
$v_{n+1}=5times (u_n-frac{1}{2})$ en factorisant par 5.
$v_{n+1}=5times v_n$ d’après l’énoncé.
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 5 et de premier terme $v_1=u_1-frac{1}{2}=4-frac{1}{2}=frac{7}{2}$.
D’après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $v_n=frac{7}{2}times 5^{n-1}$
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
u n = 1 n + 1 u_n=dfrac{1}{n+1} un=n+11
Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel n n n :
u 1 = u 0 u 0 + 1 = 1 2 u_1 =dfrac{u_0}{u_0+1}= dfrac{1}{2} u1=u0+1u0=21 u 2 = u 1 u 1 + 1 = 1 / 2 3 / 2 = 1 3 u_2 =dfrac{u_1}{u_1+1}= dfrac{1/2}{3/2}=dfrac{1}{3} u2=u1+1u1=3/21/2=31 u 3 = u 2 u 2 + 1 = 1 / 3 4 / 3 = 1 4 u_3 =dfrac{u_2}{u_2+1}= dfrac{1/3}{4/3}=dfrac{1}{4} u3=u2+1u2=4/31/3=41 u 4 = u 3 u 3 + 1 = 1 / 4 5 / 4 = 1 5 u_4 =dfrac{u_3}{u_3+1}= dfrac{1/4}{5/4}=dfrac{1}{5} u4=u3+1u3=5/41/4=51
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nnn :
un=1n+1 u_n=dfrac{1}{n+1} un=n+11
Initialisation :
u0=1=10+1u_0=1=dfrac{1}{0+1}u0=1=0+11
La propriété est donc vraie au rang 000.
Hérédité :
Supposons que, pour un certain entier nnn, un=1n+1u_n=dfrac{1}{n+1}un=n+11 et montrons que un+1=1n+2u_{n+1}=dfrac{1}{n+2}un+1=n+21 :
un+1=unun+1u_{n+1}=dfrac{u_n}{u_n+1} un+1=un+1un (d’après l’énoncé)
un+1=1/(n+1)1+1/(n+1)phantom{u_{n+1}}=dfrac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)} un+1=1+1/(n+1)1/(n+1) (hypothèse de récurrence)
un+1=1/(n+1)(n+1)/(n+1)+1/(n+1)phantom{u_{n+1}}=dfrac{1/(n+1)}{(n+1)/(n+1)+1/(n+1)} un+1=(n+1)/(n+1)+1/(n+1)1/(n+1)
un+1=1/(n+1)(n+2)/(n+1)phantom{u_{n+1}}=dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)} un+1=(n+2)/(n+1)1/(n+1)
un+1=1n+2.phantom{u_{n+1}}=dfrac{1}{n+2}.un+1=n+21.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion :
On en déduit, d’après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel nnn :
un=1n+1. u_n=dfrac{1}{n+1}. un=n+11.
Bonsoir à toutes et à tous,
J’ai un dm à faire en chimie, seulement, je ne comprend pas une question dans un exercice, ce qui m’empêche d’avancer. Pourriez-vous m’aider s’il vous plaît. Le voici :
La formule d’une amine saturée est CnH(2n+3)N.
1. Exprimer la masse molaire moléculaire d’une amine en fonction de n.
donc, j’ai fait : M = nM(C) + (2n+3)M(H) + M(N)
= 12,0n + 1,0(2n+3) + 14,0
2. Exprimer la composition centésimale massique en azote de cette amine en fonction de n.–> je ne vois pas comment il faut faire, j’essaye avec un pourcentage, mais il me manque des données.
3. L’analyse pondérale d’une amine a montré qu’une masse m=1,000 g de l’amine A contient 0,311 g d’azote. En déduire sa formule brute, puis sa formule semi-développée, sachant que A est une amine primaire.
Voila. Bonne soirée.
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