Cours maths CM1
La division euclidienne
Dans ce cours nous apprendrons le vocabulaire lié à une division éuclidienne. Ensuite, nous verrons la méthode pour calculer une division lorsque celle-ci est posée. Enfin, nous ferons le lien entre division et multiplication.
Division Vocabulaire
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Définition :
– 67 représente le dividende
– 12 représente le diviseur
– 5 représente le quotient
– 07 représente le reste
Le reste est toujours inférieur au diviseur.
On vérifie le résultat en en multipliant le quotient (résultat) par le diviseur,
puis on ajoute au produit le reste et on obtient le dividende :
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Poser une division
Posons 314 divisé par 7.
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Première étape :on cherche combien de fois 7 est contenu dans 31.
7 X 4 =28 7 X 5 = 35
On écrit 4 sous le diviseur.
Deuxième étape : on calcule le reste
Troisième étape : on abaisse 4 (unités).
Quatrième étape : on cherche combien de fois 7 est contenu dans 34
7 X 4 = 28 7 X 5 = 35
On écrit 4 sous le diviseur et on calcule le reste.
6 7 X 44 = 308 308 + 6 = 314
Le diviseur à 2 chiffres
Diviser 1520 par 63 revient à se demander combien de fois 63 est contenu dans 1520.
Voici comment poser et résoudre cette division.
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Première étape :on cherche combien de fois 63 est contenu dans 152 ou combien de fois 6 est contenu en 15.
2 X 6 = 12 3 X 6 =18
On écrit 2 sous le diviseur.
Deuxième étape :
on calcule le reste. Pour cela on multiplie 63 par 2, puis on soustrait le résultat à 152.
2 X 63 = 126 152 – 126 = 26 on abaisse 0
Troisième étape : on cherche combien de fois 63 est contenu dans 260.
4 X 63 = 252 5 X 63 = 318
On écrit 4 sous le diviseur et on calcule le reste.
Il reste 8
Lien entre la multiplication et la division
Madame Dupont a acheté 4 chaises de jardin qu’elle a payées 248 €. Elle voudrait savoir combien coûte une chaise.
Elle cherche quel est le nombre qui multiplié par 4 est égal à 248.
Pour résoudre ce problème, on peut procéder par multiplications successives.
4 X 60 = 240
4 X 70 = 280
donc le prix d’une chaise est compris entre 60 et 70.
On a 4 X 61 = 244 et 4 X 62 = 248
Une chaise coûte donc 62€.
Pour résoudre ce problème on peut aussi utiliser la division.
Le prix d’une chaise est 4 fois plus petit que 248, donc on divise 248 par 4.
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1
Tracer 2 droites perpendiculaires
Une division euclidienne s’effectue à partir de 2 droites perpendiculaires.
Écris le dividende en haut à gauche de la droite verticale, et le diviseur en haut à droite.
À la fin des calculs, le quotient apparaitra en bas de la droite horizontale et le reste en bas à gauche de la droite verticale.
2 droites séparent les éléments principaux de la division euclidienne: dividende, diviseur, quotient et reste. -
2
Trouver le 1er chiffre du quotient
Repère le diviseur (en rouge) et le 1er chiffre en partant de la gauche du dividende (en vert) et pose-toi cette question:
Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au 1er chiffre du dividende ?
Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c’est le 1er chiffre du quotient.
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 8 est obtenu en multipliant le diviseur par 2.
Le 1er chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 2.
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3
Multiplier le diviseur par le 1er chiffre du quotient
Multiplie le diviseur (en rouge) par le 1er chiffre du quotient (en vert).
Écris la réponse en-dessous du 1er chiffre du dividende.
Le diviseur (3) est multiplié par le 1er chiffre du quotient (2). -
4
Trouver le reste provisoire
Soustrais le 1er chiffre du dividende (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
Écris la réponse en-dessous, c’est le reste provisoire de la division euclidienne.
Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
Soustraction du 1er chiffre du dividende (8) par le résultat de la multiplication (6).
La réponse (2) est le reste provisoire de la division euclidienne.
Le reste est inférieur au diviseur (2 < 3).
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5
Descendre le prochain chiffre du dividende
Descends le 2ème chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert).
Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.
Le 2ème chiffre du dividende (1) descend à côté du reste provisoire (2) pour former un nouveau reste (21). Il faut maintenant recommencer toutes les étapes précédentes !
Le quotient et le reste final apparaîtront lorsqu’il n’y aura plus aucun chiffre du dividende à descendre.
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6
Répéter les étapes précédentes
Recommence à appliquer toutes les étapes précédentes à partir de cette question:
Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?
Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c’est le 2ème chiffre du quotient.
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 21 est obtenu en multipliant le diviseur par 7.
Le 2ème chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 7.
Multiplie le diviseur (en rouge) par le 2ème chiffre du quotient (en vert).
Écris la réponse en-dessous du reste provisoire.
Le diviseur (3) est multiplié par le 2ème chiffre du quotient (7). Soustrais le reste provisoire (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
Écris la réponse en-dessous, c’est le nouveau reste provisoire de la division euclidienne.
Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
Soustraction du reste provisoire (21) par le résultat de la multiplication (21).
La réponse (0) est le nouveau reste provisoire de la division euclidienne.
Le reste est inférieur au diviseur (0 < 3).
La division euclidienne n’est pas terminée car tu peux encore descendre le dernier chiffre du dividende.
Descends le 3ème chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert).
Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.
Le 3ème chiffre du dividende (2) descend à côté du reste provisoire (0) pour former un nouveau reste (02). À partir d’ici, répète une nouvelle fois toutes les étapes précédentes !
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7
Répéter à nouveau les étapes précédentes
Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?
Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c’est le 3ème chiffre du quotient.
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 2 est obtenu en multipliant le diviseur par 0.
Le 3ème chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 0.
Multiplie le diviseur (en rouge) par le 3ème chiffre du quotient (en vert).
Écris la réponse en-dessous du reste provisoire.
Le diviseur (3) est multiplié par le 3ème chiffre du quotient (0). Soustrais le reste provisoire (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
Écris la réponse en-dessous, c’est le reste final de la division euclidienne car il n’y a plus de chiffre à descendre au niveau du dividende.
Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
Soustraction du reste provisoire (2) par le résultat de la multiplication (0).
La réponse (2) est le reste final de la division euclidienne.
Le reste est inférieur au diviseur (2 < 3).
Après avoir effectué la soustraction, s’il n’y a plus aucun chiffre du dividende à descendre, la division euclidienne est terminée.
Le quotient (en rouge) est le nombre en bas de la droite horizontale.
Le reste (en vert) est le nombre tout en bas à gauche de la droite verticale.
Le quotient de la division euclidienne est « 270 ».
Le reste de la division euclidienne est « 2 ».
Apprenez en vidéo comment effectuer une division euclidienne avec reste.
La division euclidienne (également appelée division entière) s’effectue entre 2 nombres entiers:
Le diviseur est « 3 ».
Le dividende est « 812 ».
Comment effectuer la division euclidienne de 812 par 3 ?
Effectuer une division euclidienne consiste à trouver le quotient et le reste de la division:
• Définition :
a est le dividende ;
b est le diviseur ;
q est le quotient ;
r est le reste.
Dans une division euclidienne, a, b, q et r sont des nombres entiers et on a : a = b × q + r avec r < b.
• Exemple :
On a : 17 = 3 × 5 + 2 et 2 < 3.
• Application :
Combien faut-il prévoir de cars de 52 places pour emmener 168 élèves en voyage ?
- On cherche un nombre entier (le nombre de cars) ; il s’agit donc de faire une division euclidienne.
168 = 52 × 3 + 12
- Conclusion : on peut remplir 3 cars mais il reste 12 élèves. Si on veut asseoir tous les élèves, on doit prévoir un quatrième car.
Tu sais déjà que (20) divisé par (5) égal (4). Alors, qu’en est-il de la division euclidienne de ces deux nombres ? Dans ce résumé de cours, nous définirons d’abord la division euclidienne, aussi appelée division entière. Par la suite, nous te montrerons comment faire une division euclidienne, à la main, sur le logiciel Python et avec des polynômes, pour les plus avancés.
Qu’est ce qu’une division euclidienne ?
Faire une division euclidienne, également appelé division entière, est un type de division qui n’est effectuée qu’avec des entiers naturels.
Soient (a), (b), (q) et (r) des entiers naturels, avec (b) non-nul. Faire la division euclidienne de (a) par (b) consiste à déterminer (q) et (r), avec (b > r geq 0), tels que (a = bq + r).
(a) est appelé le dividende.
(b) est appelé le diviseur.
(q) est appelé le quotient.
(r) est appelé le reste.
La division euclidienne de (17) par (5) est (17 = 5 times 3 + 2). Le quotient est (3) et le reste est (2)
Si le reste d’une division entière est égale à (0), alors nous savons qu’un nombre est un multiple de l’autre. Plus spécifiquement, si nous avons (a = bq), alors (a) est un multiple de (b). Nous pouvons également dire que (b) et (q) sont des diviseurs de (a).
La division euclidienne de (15) par (3) est (15 = 3 times 5). Comme le reste par division euclidienne est nul, nous pouvons dire que (15) est un multiple de (3), ou de façon équivalente, que (3) est un diviseur de (15).
Il est également possible de définir la division euclidienne pour les entiers négatifs. En effet, l’aspect clé de la division euclidienne, c’est qu’il s’agit d’une division entière.
Division entière
La division entière est un autre nom pour la division euclidienne. Elle s’appelle ainsi car les nombres utilisés pour une division entière sont… des entiers. Dans la section précédente, nous avons défini la division entière pour des entiers naturels. Or, nous pouvons également définir la division entière, ou division euclidienne, pour les nombres entiers.
Soient (a), (b), (q) et (r) des nombres entiers relatifs, avec (b) non-nul. Faire la division euclidienne de (a) par (b) consiste à déterminer (q) et (r), avec (|b| > r geq 0), tels que (a = bq + r).
Rappel : (|b|) est la valeur absolue de (b). Si (b) est positif, alors (|b| = b). Si (b) est négatif, alors (|b| = -b).
La division entière de (10) par (-3) est (17 = -3 times -3 + 1). Observe que même si le reste (1) est supérieur au diviseur (-3), le reste est toujours inférieur à la valeur absolue du diviseur.
Alors, maintenant que tu sais ce qu’est une division euclidienne, nous te montrerons comment faire une division euclidienne.
Comment faire une division euclidienne ?
Effectuer une division euclidienne, ou division entière, de (a) par (b) consiste à déterminer (q) et (r), avec (b > r geq 0), tels que (a = bq + r). Alors, comment faire une division euclidienne ? Il faut :
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déterminer le plus grand multiple de (b) qui est plus petit que (a). Ce multiple est égal à (bq) ;
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calculer la différence (bq – a), pour avoir le reste (r).
Une fois que nous avons pris l’habitude, faire une division euclidienne est très simple. Voyons donc un exemple.
Sais-tu faire la division euclidienne de (25) par (8) ?
D’abord, il faut déterminer (ou se rappeler) les multiples du diviseur (8).
Les multiples de (8) sont (8), (16), (24), (32), …
Le plus grand multiple de (8) qui est plus petit que (25) est (24 = 3 times 8).
Calculons maintenant le reste : (25 – 24 = 1).
Ainsi, la division euclidienne de (25) par (8) est (25 = 3 times 8 + 1).
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