Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$.
$(E_1) Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_1) Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant.
$begin{align}Delta & =b^2-4ac \& =1^2-4times 2times(-6) \& = 1+48 \& = 49end{align}$
On constate que $Delta gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions :
$begin{align}x_1 & =frac{-1-sqrt{49}}{2times 2} \& = frac{-1-7}{4} \& = frac{-8}{4} \&=-2end{align}$
et
$begin{align}x_2 & =frac{-1+sqrt{49}}{2times 2} \& = frac{-1+7}{4} \& = frac{6}{4} \&=1,5end{align}$
Finalement, l’équation $(E_1)$ admet trois solutions : $0$, $-2$ et $1,5$.
Factorisons le membre de gauche de $(E_2)$ par $e^{1-x}$.
$(E_2) Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_2) Leftrightarrow e^{1-x}=0 qquad ou qquad 3-x=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{1-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$begin{align}(E_2) & Leftrightarrow 3-x=0 \& Leftrightarrow x=3end{align}$
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $3$.
On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que :
$e^{-2x}=e^{-x}times e^{-x}$
Par conséquent,
$(E_3) Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}times e^{-x}=0$
Factorisons le membre de gauche par $e^{-x}$.
$(E_3) Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_3) Leftrightarrow e^{-x}=0 qquad ou qquad 1-2e^{-x}=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$begin{align}(E_3) & Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \& Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \& Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \& Leftrightarrow e^{-x}=0,5 \& Leftrightarrow -x=ln(0,5) \& Leftrightarrow x=-ln(0,5) \& Leftrightarrow x=ln(2)end{align}$
(la dernière étape est facultative)
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $ln(2)$.
Dans cette équation $(E_4)$, il y a une erreur à ne pas commettre : diviser chacun des membres par $x$. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution… De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s’annuler. On va donc transformer l’équation de sorte que l’inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera.
$begin{align}(E_4) & Leftrightarrow xln(x+2)-x=0 \& Leftrightarrow x(ln(x+2)-1)=0end{align}$
Cette équation est de type produit nul.
$begin{align}(E_4) & Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad ln(x+2)-1=0 \& Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad ln(x+2)=1 \& Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad x+2=e^1 \& Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad x+2=e \& Leftrightarrow x=0 qquad ou qquad x=e-2 end{align}$
L’équation $(E_4)$ admet deux solutions : $0$ et $e-2$.
Définition
Les lettres a, b, c et d désignent des nombres avec a et c non nul. Une équation produit nul est une équation de la forme : (ax + b) (cx + d) = 0.
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Propriété
Si l’un au moins des facteurs est nul alors le produit est nul.
Si A = 0 ou B = 0 alors A x B = 0
Réciproquement si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0.
Exemple
Résoudre
(x + 2) (3 – x) = 0
L’équation (x + 2) (3 – x) = 0 est une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi (x + 2) (3 – x) = 0 revient à résoudre :
x + 2 = 0 ou 3 – x = 0
x = – 2 ou x = 3
L’équation produit nul (x + 2)(3 – x) = 0 admet deux solutions : -2 et 3.
(2x – 7)(x + 1) – x 2 + 1 = 0
(2x – 7)(x + 1) – x 2 + 1 = 0
(2x – 7)(x + 1) + (1 + x)(1 – x) = 0
(x + 1) (2x – 7 + 1 – x) = 0
(x + 1) (x – 6) = 0
Si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
x + 1 = 0 ou x – 6 = 0
x = -1 ou x = 6
Les solutions de l’équation sont -1 ou 6.
Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°45109 : Équations de degré 2 (niveau Première) – cours
Équations de degré 2 (niveau Première) – cours
I. Une équation de degré 2, d’inconnue x, sous forme développée,
s’écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0
Résoudre dans ℝ une équation d’inconnue x, c’est trouver les solutions réelles, c’est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l’égalité correcte.
Exemple: 3x² – 2x – 5 = 0 est une équation de degré 2.
- En remplaçant x par 1 dans 3 x² – 2x – 5, on obtient – 4.
Le nombre 1 ne rend pas l’égalité correcte.
Donc 1 n’est pas une solution de l’équation 3x² – 2x – 5 = 0
- Tandis que, en remplaçant x par – 1 dans 3x² – 2x – 5, on obtient 0.
Le nombre – 1 rend l’égalité correcte.
Donc – 1 est une solution de l’équation 3x² – 2x – 5 = 0
II. RÉSOUDRE l’ÉQUATION de degré 2,
ax²+ bx + c = 0 avec a≠0
procédure
On calcule le DISCRIMINANT b² – 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :
Δ = b²-4ac
si Δ > 0 (son signe est +)
on peut conclure :
l’équation a deux solutions réelles
calcul de ces solutions:
Δ, positif, est le carré d’un nombre, soit Δ = r²
si Δ = 0
on peut conclure :
l’équation a une solution unique réelle
calcul de cette solution :
si Δ < 0 (son signe est -)
on peut conclure :
l’équation n’a aucune solution réelle
Exemples :
a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = – 3; Δ est négatif et non nul.
Donc l’équation x² + x + 1 = 0 n’a pas de solution dans ℝ
b) – x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² – 4(-30) = 121;
Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.
Donc l’équation – x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ
Calcul de ces solutions :
donc l’équation – x² + x + 30 = 0 a pour solutions – 5 et 6
III. CAS PARTICULIERS
Dans certains cas, il n’est PAS UTILE de CALCULER Δ
Exemple 1 :
x² – 5x = 0 est une équation de degré 2 et on peut FACTORISER le membre x² – 5x.
x² – 5x = x(x – 5) quelle que soit la valeur donnée à x
donc les solutions de x² – 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x – 5) = 0
On dit que les équations x² – 5x = 0 et x(x – 5) = 0 sont équivalentes.
On peut alors appliquer le théorème d’un produit de facteurs égal à 0
‘L’un des facteurs est nul’
donc x = 0 ou x – 5 = 0 et il n’y a pas d’autre solution.
Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l’équation x² – 5x = 0
Exemple 2 :
169 – x² = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre 169 – x².
169 – x² = 13² – x² = (13 – x)(13 + x) quelle que soit la valeur donnée à x
donc l’équation 169 – x² = 0 est équivalente à (13 – x)(13 + x) = 0
‘L’un des facteurs est nul’
d’où les nombres 13 et – 13 sont les seules solutions de l’équation 169 – x² = 0
Exemple 3 :
16 + x² = 0 est une équation de degré 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x².
L’équation 16 + x² = 0 est équivalente à x² = – 16
‘Le carré d’un réel est positif ou nul’
d’où l’équation 16 + x² = 0 n’a pas de solution dans l’ensemble des réels
Exemple 4 :
– 2x² + 16x – 32 = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre – 2x² + 16x – 32.
– 2x² + 16x – 32 = – 2(x² – 8x + 16) = – 2 (x – 4)² quelle que soit la valeur donnée à x
Ici on a reconnu une identité remarquable : ‘a² – 2ab + b² = (a – b)²’
donc l’équation -2x² + 16x – 32 = 0 est équivalente à -2(x – 4)² = 0
‘L’un des facteurs est égal à 0’
seul l’un des facteurs (x – 4) peut être égal à 0; donc x = 4 et il n’y a pas d’autre solution.
Le nombre 4 est donc la seule solution de l’équation -2x² + 8x – 32 = 0
Remarque : si on avait calculé le discriminant de – 2x² + 16x – 32, on aurait trouvé Δ = 0.
Retenir : à chaque fois que l’on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !
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Le polynôme x² – 5x + 4 a pour discriminant
L’équation x² – 5x + 4 = 0 a pour ensemble de solutions
Le polynôme x² – 5x a pour discriminant
Le polynôme 2x² – 5x – 7 a pour discriminant
L’équation 2x² – 5x – 7 = 0 a pour solutions
L’équation x² – 6x + 8 = 0 a pour solutions
L’équation x² + 1 = 0 admet solution(s)
L’équation x² = x – 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ?
L’équation 4- x² = 2x² + x – 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ?
Le nombre d’or, , est-il la seule solution positive de l’équation x² = x + 1 ?
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