Cours maths 4ème
Triangle rectangle
Ce cours a pour objectif d’utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle ou non. Il permet d’entraîner l’élève à la rédaction d’une démonstration. Ce cours requiert une bonne capacité de réflexion et de calcul.
Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en B :
Rappel:
L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA < AC
BC < AC
Réflexion sur le triangle rectangle …
Monsieur Mathenfolie propose le triangle suivant :
Soit le triangle MAP tel que MA = 4,9 cm , AP = 5 cm et MP = 1,4 cm.
Quelle est sa nature ?
Grâce aux données, nous pouvons, dans un premier temps, affirmer que ce triangle n’est ni isocèle, ni équilatéral car ses trois côtés ont des mesures différentes. 
Ce triangle est-il rectangle ?
Si nous construisions en vraie grandeur ce triangle, nous pourrions faire l’hypothèse suivante : le triangle MAP semble être rectangle en M.
Le théorème de Pythagore nous permettrait d’écrire : PA² = MA² + MP².
MAIS, dans la pratique, d’une part : PA² = 5² = 25 d’autre part : MA² + MP² = 4,9² + 1,4² = 25,97.
Donc PA² ≠ MA² + MP².
Nous obtenons une contradiction avec notre hypothèse, ce qui veut dire que celle-ci est fausse. Le triangle MAP n’est pas rectangle. Il est donc quelconque.
Exemple 1:
Je sais que ABC est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés : AB = 1,70 dm , AC = 1,50 dm et BC = 0,81 dm.
Réfléchissons:
Si nous supposons que le triangle ABC est rectangle, alors son hypoténuse est [AB] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : AB² et AC² + BC². 
Calculons:
D’une part AB² = 1,70² = 2,89 et d’autre part AC² + BC² = 1,50² + 0,81² = 2,9061
Conclusion:
Comme AB² ≠ AC² + BC² , le théorème de Pythagore nous permet de dire que le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exemple 2:
Je sais que IJK est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés: IK = 4,40 cm , IJ = 2,79 cm et JK = 5,21 cm.
Réfléchissons :
Si nous supposons que le triangle IJK est rectangle, alors son hypoténuse est [JK] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : JK² et IK² + IJ². 
Calculons:
D’une part JK² = 5,21² = 27,1441 et d’autre part IK² + IJ² = 4,40² + 2,79² = 27,1441
Conclusion:
Comme JK² = IK² + IJ² , nous pourrons dire que le triangle IJK est bien un triangle rectangle en I. Son hypoténuse est [JK].
En effet…
Résumons: Si a, b et c sont des nombres positifs tels que :
Que pouvons-nous dire de la nature du triangle dont les trois côtés mesurent respectivement a, b et c ?
La réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle:
Si le carré de la mesure de son plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.
Ainsi, la réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, tandis que le théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ? Entre mathématique, géométrie et trigonométrie, la réponse réside toujours dans la méthode. N’est-ce pas, Monsieur Pythagore ?
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Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est droit, c’est-à-dire à 90°. C’est aussi une figure plane à trois côtés dont le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Voici, en mode abrégé, ce qu’énonce le fameux théorème attribué au savant grec Pythagore de Samos, 400 ans avant J.-C. Partons d’un triangle aux trois sommets ABC dont le côté le plus long, BC, mesure 10 cm, et les deux autres côtés, AB et AC, respectivement 8 cm et 6 cm. Le carré de BC = 100 cm², celui de AB = 64 cm², et celui de AC = 36 cm². Ce triangle est-il rectangle ? Oui, puisque 100 = 64 + 36, soit BC² = AB² + AC². Mais au fait, pourquoi cette appellation de triangle rectangle ? Parce qu’un rectangle scindé en deux depuis l’une de ses diagonales forme toujours deux triangles rectangles.
Démontrer qu’un triangle est rectangle par la trigonométrie
Observons maintenant la question via la trigonométrie, cette branche des mathématiques spécialisée dans les relations angles-distances, une science très ancienne, qui faisait déjà ses preuves sous l’Égypte antique, la Mésopotamie et la vallée de l’Indus, plus de 2 000 ans avant J.-C. En trigonométrie donc, le grand côté du triangle est l’hypoténuse et les deux autres côtés sont appelés cathètes. Notons par ailleurs que la somme des angles de tout triangle mesure 180°. De fait, tout triangle dont la somme de deux angles mesure 90° est nécessairement un triangle rectangle. Un triangle rectangle comportant deux côtés égaux est isocèle. Tout triangle comportant deux angles de 45° chacun est un triangle rectangle isocèle. Un triangle rectangle isocèle étant aussi un demi-carré.
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Démontrer qu’un triangle est rectangle par la géométrie
Il existe bien d’autres méthodes pour démontrer qu’un triangle est rectangle. L’une des plus usuelles nous est fournie par la géométrie euclidienne (travaux du mathématicien grec Euclide) qui utilise cette fois l’aire du triangle. Soit a et b les deux cathètes d’un triangle, c son hypoténuse et A son aire, si A = ab/2, alors on a affaire à un triangle rectangle. On pourrait aussi faire un petit tour du côté du triangle rectangle de Kepler ou encore visiter les solutions offertes par des formes classiquement connues comme la pyramide ou le cône… Mais concluons plutôt avec la méthode ludique dite du triangle 3-4-5. Simple et efficace, elle était autrefois utilisée par les maçons dépourvus d’équerre. On fabriquait une corde à 13 nœuds équidistants, donnant donc 12 intervalles égaux, que l’on maintenait en 3 points par 3 maçons, le 1er tenant les 2 extrémités, le 2e le 4e nœud (3 intervalles) et le 3e le 8e nœud (4 intervalles). Il restait donc 5 intervalles entre le 1er et le 3e maçon. Une fois la corde bien tendue, apparaissait systématiquement un angle droit au niveau du 2e maçon.
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Vous l’aurez compris, démontrer qu’un triangle est rectangle reste relativement simple et ne nécessite aucune calculatrice !
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Un triangle rectangle est un triangle dont deux côtés des trois côtés sont perpendiculaires, formant un angle droit de 90°. Connaître les propriétés d’un triangle rectangle et savoir les appliquer font partie des principes essentiels à maîtriser en mathématiques au collège.
Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en A :
Les côtés [AC] et [AB] forment l’angle droit du triangle tandis que le côté [BC] forme l’hypoténuse, le plus grand côté se situant face à l’angle droit.
Rappel : l’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA < BC
AC < BC
Les deux autres côtés (AB et AC), adjacents à l’angle droit, sont les cathètes. Selon l’angle considéré (B ou C), les cathètes deviendront sinus pour l’une et cosinus pour l’autre; c’est la base de la trigonométrie.
cours de 3e sur les relations trigonométriques
Les angles
Ses trois angles sont A, B et C. Les angles B et C sont complémentaires. Si B = C = 45°, le triangle est rectangle-isocèle.
Périmètre et aire
Périmètre
P = AB + BC + AC
Aire
A = b x h / 2 où b et h sont la base et la hauteur. Autrement dit, les deux autres côtés du triangle qu’on nomme cathètes.
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
Théorème de Pythagore
D’après le théorème de Pythagore, si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors c’est un triangle rectangle.
Si BC2 = AC2 + AB2 alors le triangle ABC est rectangle en A.
comment appliquer le théorème de Pythagore ?
Exemple : On a un triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 10 cm et AC = 6 cm. ABC est-il rectangle ?
Le côté le plus long ici est bien [BC] avec 10cm.
D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC².
Autrement dit :
BC² = 10² = 100
AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC².
Alors, le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC].
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Réciproque du cercle circonscrit d’un triangle rectangle
Le théorème du cercle circonscrit démontre que, si le triangle ABC est rectangle en A, alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [BC], qui est l’hypoténuse.
Démonstration :
Soit O le milieu de [BC] et A’ le symétrique de A par rapport à O.
- Les diagonales du quadrilatère ABA’C se coupent en leur milieu O, ce quadrilatère est donc un parallélogramme.
- Or le parallélogramme ABA’C a par hypothèse un angle droit en A, c’est donc un rectangle.
- On sait que les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc OA = OB = OC = OA’.
- Par conséquent O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. [BC] est donc le diamètre du cercle circonscrit.
Ainsi, dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Réciproque du théorème
Mais ce qui nous intéresse ici, c’est la réciproque du théorème : si le triangle ABC est inscrit dans un cercle et si le côté [BC] est un diamètre de ce cercle alors le triangle ABC est rectangle en A.
Démonstration :
Soit O, le milieu du segment [BC]. Par hypothèse, le point O est aussi le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. On note β l’angle B, 𝜸 l’angle C. Il s’agit de montrer que 𝜶, l’angle A = 90°.
Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC (rayon du cercle circonscrit), donc CÂO = 𝜸 = angle C
De plus, le triangle AOB est isocèle en O donc BÂO = β = angle B
Ainsi : 𝜶 = BÂO + CÂO = β + 𝜸
Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180° :
𝜶 + β + 𝜸 = 180
⟺ 𝜶 + 𝜶 = 180
⟺ 2𝜶 = 180
⟺ 𝜶 = 90
De ce fait, le triangle ABC est rectangle en A.
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