Comment trouver la longueur d'un triangle

Théorème de Pythagore: « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés ».

Table des matières

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, à condition de connaitre la longueur des 2 autres côtés.

1

Mettre en équation le théorème de Pythagore

La 1ère étape est d’écrire le théorème de Pythagore sous la forme d’une équation.

Pour cela, tu as besoin de la longueur de chaque côté:
- Longueur de l’hypoténuse: 10 cm.
- Longueur des 2 autres côtés: x (valeur inconnue) et 9 cm.
Pythagore: Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés.

Équation: 102 = x2 + 92.

Si tu as besoin de plus d’explications pour la mise en équation, consulte la fiche ci-dessous.

Fiche de Synthèse

Mettre en équation le théorème de Pythagore
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Isoler l’inconnue

L’exercice consiste maintenant à résoudre l’équation de Pythagore.

Commence par isoler l’inconnue (x2) en déplaçant le terme indépendant à ses côtés (92) de l’autre côté du signe égal.

Lorsqu’un terme se déplace de l’autre côté du signe égal, son signe change (+92 devient -92).

« +92 » se déplace de l’autre côté du signe égal et devient « -92 ».

L’inconnue « x2 » est ainsi isolée à droite du signe égal.

Si tu as besoin de plus d’explications pour isoler l’inconnue, consulte la fiche ci-dessous.

Fiche de Synthèse

Résoudre une équation du premier degré
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Effectuer les calculs

L’étape suivante est d’effectuer les calculs au sein de l’équation de Pythagore.

Calcule d’abord le carré de chaque longueur (102 et 92).

Effectue ensuite la soustraction des 2 résultats obtenus (100 – 81).

Calcule les puissances, puis soustrais les résultats.

Si tu as besoin de plus d’explications pour calculer le carré d’un nombre, consulte la fiche ci-dessous.

Fiche de Synthèse

Calculer la puissance d’un nombre
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Trouver la solution de l’équation de Pythagore

Pour résoudre l’équation de Pythagore, il ne reste plus qu’à transformer « x2 » en « x« .

Cette transformation s’effectue en faisant apparaître une racine carrée.

Tu obtiens ainsi la valeur de « x », et donc la longueur du côté du triangle rectangle.

La solution de l’équation de Pythagore est √19.

La longueur du côté BC du triangle rectangle est donc de √19 cm.

En règle générale, une équation dont l’inconnue est au carré (x2) possède 2 solutions: l’une positive, l’autre négative.

Toutefois, l’inconnue dans une équation de Pythagore est une longueur, elle ne peut donc pas être négative.

La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

Si tu as besoin de plus d’explication pour trouver la valeur d’une inconnue au carré, consulte la fiche ci-dessous.

Fiche de Synthèse

Résoudre une équation dont l’inconnue est au carré

Si on connaît un angle et un côté d’un triangle rectangle, on peut calculer les autres côtés.

On donne : = 30° et AC = 5.
On veut calculer BC et AB.
[AC] étant le côté opposé à l’angle , on peut calculer BC avec ; puis calculer AB avec

Soit ABC un triangle rectangle en A.On donne := 30° et AC = 5.On veut calculer BC et AB.[AC] étant le côté opposé à l’angle, on peut; puis

Calcul de BC :
$sin~hat{b}~=~frac{mathrm{AC}}{mathrm{BC}}$ ; donc $displaystyle mathbf{BC~=~frac{AC}{mathit{sin~hat{b}}}}$

; donc

BC = 5 ÷ sin 30° = 5 ÷ 0,5 = 10

Calcul de AB :
$tan~hat{b}~=~frac{mathrm{AC}}{mathrm{AB}}$ ; donc $displaystyle mathbf{AB~=~frac{AC}{mathit{tan~hat{b}}}}$

; donc

AB = 5 ÷ tan 30° = 8,66

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

Rappelons qu’un rapport trigonométrique est un rapport des longueurs de deux côtés différents d’un triangle rectangle et que le groupe de tous les rapports trigonométriques représente la trigonométrie des triangles rectangles. Quand il s’agit de la trigonométrie des triangles rectangles, il est utile de se rappeler de l’acronyme « SOH CAH TOA ». Il nous aide à nous souvenir des définitions des rapports trigonométriques – sinus, cosinus et tangente – en fonction des côtés par rapport à un angle que nous appelons le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Indiquons ces rapports ici.

Définition : Rapports trigonométriques

L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle (directement opposé à l’angle droit), le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle en question, et le côté adjacent est le côté à côté de l’angle (qui n’est pas l’hypoténuse).

Quand on nous donne la longueur d’un côté du triangle rectangle et un angle 𝜃 dans le triangle rectangle, différent de l’angle droit, on peut utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer les longueurs des côtés restants. Nous avons trois choix différents pour les rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. En fonction des informations données d’un angle et d’un côté, nous devrons décider le rapport trigonométrique à utiliser. Par exemple, considérons une situation où nous devons déterminer la longueur de l’hypoténuse lorsqu’on nous donne un angle 𝜃 et la longueur du côté opposé du triangle rectangle ; dans ce cas, nous devrons utiliser le rapport trigonométrique qui relie l’hypoténuse et les côtés opposés du triangle rectangle, qui est le sinus.

Lorsque nous effectuons ces calculs, nous avons souvent besoin d’utiliser des calculatrices pour déterminer les valeurs des rapports trigonométriques. Mais, si l’unité de la calculatrice pour l’angle est définie en radians quand on utilise un angle donné en degrés , alors la calculatrice donnera une valeur incorrecte pour le rapport trigonométrique. La plupart des calculatrices scientifiques capables de calculer les rapports trigonométriques auront un paramètre par défaut pour les unités angulaires et aussi une option pour échanger entre radians et degrés. Nous devons toujours nous assurer que notre calculatrice est réglée sur la même unité que celle utilisée pour chaque problème.

Dans notre premier exemple, nous allons trouver la longueur du côté opposé étant donnés un angle et la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Exemple 1: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez 𝑥 au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs des triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas, l’angle mesurant 55∘.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté adjacent car notre but n’est ni de connaître sa longueur ni de chercher à la trouver. Les côtés dont on a besoin sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient ce qui suit : sin55=𝑥10.∘

Pour résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 10 pour obtenir ce qui suit : 𝑥=10×55.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=8,19(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle lorsqu’on nous a donné un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un autre côté du triangle rectangle. Notez que nous avons commencé par étiqueter chaque côté du triangle rectangle comme O (Opposé), A (Adjacent) et H (Hypoténuse), puis par rappeler le rapport trigonométrique approprié. Nous résumons ces étapes générales pour identifier une longueur manquante en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle.

Comment trouver une longueur de côté manquante en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles

Lorsqu’on nous donne un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’un autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes :

Identifier les côtés du triangle comme côté opposé, côté adjacent et hypoténuse selon l’angle connu.
Choisir le rapport trigonométrique correct qui relie le côté connu au côté inconnu.
Réarranger la formule du rapport pour isoler le côté inconnu.
Substituer les valeurs du côté et de l’angle connus.

Étudions un deuxième exemple où nous pouvons appliquer cette méthode pour trouver une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle.

Exemple 2: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au numérateur de la fraction

Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant la réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs dans des triangles rectangles consiste à identifier les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas ∠𝐵𝐴𝐶. À ce stade, il est également utile de se référer à la longueur 𝐵𝐶 comme 𝑥.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’identifier le côté adjacent car on ne connaît pas sa longueur et on ne la recherche pas. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin47=𝑥15.∘

Afin de résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 15 pour avoir 𝑥=15×47.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=10,97(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Maintenant, passons aux exemples de questions où l’inconnue est au dénominateur de la fraction. Avec les questions de ce type, nous avons une étape supplémentaire dans notre démarche, donc nos calculs doivent être effectués avec précision.

Exemple 3: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au dénominateur de la fraction

Déterminez 𝑥 au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre tout problème impliquant la recherche de longueurs de triangles rectangles consiste à étiqueter les côtés par rapport à l’angle connu, dans ce cas, l’angle de mesure 20∘.

Nous pouvons noter ici que nous n’avons pas besoin d’étiqueter le côté adjacent car nous ne connaissons ni sa longueur ni ne cherchons à le trouver. Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin20=12𝑥.∘

On multiplie les deux côtés par 𝑥 pour obtenir 𝑥×20=12.sin∘ Ensuite, on divise chaque côté par sin20∘ pour obtenir 𝑥=1220.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=35,09(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Maintenant, regardons quelques questions qui sont des problèmes de la vie courante. Celles-ci contiennent l’étape supplémentaire consistant à dessiner un diagramme associé en prenant soin d’interpréter correctement les informations de la question.

Exemple 4: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au nominateur de la fraction

Une échelle de 23 ft est appuyée contre un bâtiment de sorte que l’angle entre le sol et l’échelle est 80∘. À quelle hauteur l’échelle atteint-elle le côté du bâtiment ? Donne ta réponse au centième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer un diagramme, en marquant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse dans le processus.

Les côtés qui nous intéressent sont le côté opposé et l’hypoténuse, ce qui, si on se souvient des trois rapports trigonométriques, signifie que nous devons utiliser le sinus. Rappelons que sinOH𝜃=.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin80=𝑥23.∘

Pour résoudre ce problème, nous multiplions les deux côtés par 23 pour écrire 𝑥=23×80.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=22,65(2,).d.p.arrondiaucentièmeprès

Exemple 5: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle rectangle où l’inconnue est au nominateur de la fraction

Un cerf-volant, qui est à une hauteur de 44 m , est attaché à une corde inclinée de 60∘ à l’horizontale. Déterminez la longueur de la corde au dixième près.

Réponse

Notre première étape pour résoudre ce problème consiste à tracer une figure, en désignant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse dans le schéma.

Si on substitue nos valeurs à O, H et 𝜃, on obtient sin60=44𝑥.∘

Pour résoudre ce problème, nous commençons par multiplier les deux côtés par 𝑥 pour obtenir 44=𝑥×60,sin∘ puis en divisant chaque côté par sin60∘, on trouve que 𝑥=4460.sin∘

En déterminant cette valeur à l’aide d’une calculatrice et en vérifiant que l’unité d’angle est définie en degrés, on trouve que 𝑥=50,8(1,).d.p.arrondiaudixièmeprès

Terminons en rappelant quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Lorsqu’il s’agit de triangles rectangles, nous utilisons les termes côté opposé, côté adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle.
Rappelez-vous l’acronyme « SOH CAH TOA », où O signifie le côté opposé, A représente le côté adjacent, H représente l’hypoténuse et 𝜃 est l’angle. Les rapports trigonométriques sont sinOHcosAHettanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.
Lorsqu’on nous donne un angle (différent de l’angle droit) et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur d’un autre côté du triangle rectangle en suivant ces étapes

:
- Identifier les côtés du triangle comme le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse selon l’angle connu.
- Choisir le rapport trigonométrique qui relie le côté connu au côté inconnu.
- Réarranger la formule du rapport pour isoler le côté inconnu.
- Remplacer les valeurs du côté et de l’angle connus.