Comment trouver une longueur manquante dans un triangle

Théorème de Pythagore: « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés ».

Table des matières

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, à condition de connaitre la longueur des 2 autres côtés.

1. 1

   Mettre en équation le théorème de Pythagore

   La 1ère étape est d’écrire le théorème de Pythagore sous la forme d’une équation.

   Pour cela, tu as besoin de la longueur de chaque côté:

   • Longueur de l’hypoténuse: 10 cm.
   • Longueur des 2 autres côtés: x (valeur inconnue) et 9 cm.

   

   Pythagore: Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés.

   Équation: 102 = x2 + 92.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour la mise en équation, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Mettre en équation le théorème de Pythagore

2. 2

   Isoler l’inconnue

   L’exercice consiste maintenant à résoudre l’équation de Pythagore.

   Commence par isoler l’inconnue (x2) en déplaçant le terme indépendant à ses côtés (92) de l’autre côté du signe égal.

   Lorsqu’un terme se déplace de l’autre côté du signe égal, son signe change (+92 devient -92).

   

   « +92 » se déplace de l’autre côté du signe égal et devient « -92 ».

   L’inconnue « x2 » est ainsi isolée à droite du signe égal.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour isoler l’inconnue, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Résoudre une équation du premier degré

3. 3

   Effectuer les calculs

   L’étape suivante est d’effectuer les calculs au sein de l’équation de Pythagore.

   Calcule d’abord le carré de chaque longueur (102 et 92).

   Effectue ensuite la soustraction des 2 résultats obtenus (100 – 81).

   Calcule les puissances, puis soustrais les résultats.

   Si tu as besoin de plus d’explications pour calculer le carré d’un nombre, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Calculer la puissance d’un nombre

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   Trouver la solution de l’équation de Pythagore

   Pour résoudre l’équation de Pythagore, il ne reste plus qu’à transformer « x2 » en « x« .

   Cette transformation s’effectue en faisant apparaître une racine carrée.

   Tu obtiens ainsi la valeur de « x », et donc la longueur du côté du triangle rectangle.

   

   La solution de l’équation de Pythagore est √19.

   La longueur du côté BC du triangle rectangle est donc de √19 cm.

   En règle générale, une équation dont l’inconnue est au carré (x2) possède 2 solutions: l’une positive, l’autre négative.

   Toutefois, l’inconnue dans une équation de Pythagore est une longueur, elle ne peut donc pas être négative.

   La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

   La longueur d’un côté d’un triangle rectangle est toujours positive.

   Si tu as besoin de plus d’explication pour trouver la valeur d’une inconnue au carré, consulte la fiche ci-dessous.

   Fiche de Synthèse

   Résoudre une équation dont l’inconnue est au carré

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

Les rapports trigonométriques associés au sinus, au cosinus et à la tangente sont trois outils fondamentaux pour travailler avec les triangles rectangles et les cercles. Pour comprendre ce que sont ces rapports, nous allons d’abord considérer quelques propriétés géométriques qui établissent leurs définitions.

Premièrement, nous rappelons que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180∘. Cela signifie que si nous avons un triangle rectangle avec un angle non droit de 𝜃, alors l’autre angle non droit aura une mesure de 90−𝜃∘.

Deuxièmement, nous rappelons le critère de similitude qui nous dit que si deux triangles ont les mêmes angles alors ils sont semblables. Si deux triangles sont semblables, alors ils ont la même forme et leurs côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles. En d’autres termes, les longueurs de leurs côtés sont des multiples les unes des autres.

Ces deux faits nous permettent de noter une propriété intéressante des triangles rectangles : la valeur du rapport des longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle dépend uniquement de l’angle et du choix des deux côtés. En d’autres termes, nous pouvons déterminer la valeur du rapport des longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle uniquement à partir de la mesure de l’angle.

Pour nous aider à comprendre cela, remarquons d’abord que tous les triangles rectangles sont semblables dès lors qu’ils possèdent un angle intérieur non droit de même mesure. En effet, si deux triangles rectangles ont deux angles de 𝜃 et 90∘, le troisième angle a obligatoirement une mesure de 90−𝜃∘, de sorte que les triangles sont semblables d’après le critère de similitude. Or, si deux triangles sont semblables, nous rappelons que les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux.

Par exemple, étant donné que tous les triangles rectangles ayant un angle de 60∘ sont semblables, considérons les triangles suivants, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴′𝐵′𝐶′.

Comme ces triangles sont semblables, le rapport des longueurs de leurs côtés correspondants doit être égal, c’est-à-dire : 𝐵′𝐶′𝐵𝐶=𝑎𝑘𝑎=𝑘,𝐴′𝐶′𝐴𝐶=𝑏𝑘𝑏=𝑘.

Par conséquent, 𝐵′𝐶′𝐵𝐶=𝐴′𝐶′𝐴𝐶.

En réarrangeant, on obtient 𝐵′𝐶′𝐴′𝐶′=𝐵𝐶𝐴𝐶.

Par conséquent, tous les triangles rectangles avec un angle de 60∘ ont les mêmes rapports de longueurs entre cotés correspondants. Bien sûr, le choix de 60∘ est arbitraire ; ce résultat serait vrai quel que soit l’angle que nous choisissons.

Avant d’énoncer ce résultat et de discuter de ses utilisations, nous devons préciser exactement ce que l’on entend par « côtés correspondants ». Dans notre exemple ci-dessus, les côtés correspondants étaient faciles à déterminer car nous pouvions voir facilement quels côtés étaient proportionnels. Cependant, en général, ce n’est pas si facile. Ainsi, afin de faciliter leurs identifications, nous désignons chacun des côtés du triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle d’étude.

Puisqu’il y a trois côtés, nous aurons besoin de trois noms pour les côtés du triangle. Tout d’abord, nous rappelons que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long et qu’il est toujours opposé à l’angle droit. Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, on voit que 𝐴𝐵 est le côté opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. Enfin, nous pouvons désigner les côtés restants en considérant leurs positions par rapport à ∠𝐵 ; on voit que 𝐴𝐶 est opposé à l’angle, nous l’appellerons donc le côté opposé. 𝐵𝐶 est le côté adjacent à l’angle qui n’est pas l’hypoténuse, nous l’appellerons donc le côté adjacent. Cela nous donne donc : 

D’après ce qui précède, nous savons que le rapport de la longueur du côté opposé à l’angle de 60∘ et de la longueur du côté adjacent à l’angle de 60∘ est le même pour tout triangle rectangle avec un tel angle. On peut donc définir des fonctions qui prennent, en entrée, un angle entre 0∘ et 90∘ et qui nous donnent, en sortie, les valeurs de ces rapports trigonométriques.

Définition : Rapports trigonométriques

Les rapports trigonométriques d’un angle 𝜃 sont les rapports des longueurs des côtés dans un triangle rectangle avec un tel angle. Ainsi, soit : hypoténuse, opposé et adjacent les côtés d’un triangle rectangle ayant un angle non droit  𝜃, alors sinopposéhypoténusecosadjacenthypoténusetanopposéadjacent𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Il peut être assez difficile de se rappeler exactement quels côtés correspondent à quel rapport trigonométrique. Ainsi, pour nous y aider, nous utilisons l’acronyme SOH CAH TOA.

Acronyme : SOH CAH TOA

On peut se rappeler quel couple de côtés correspond à quelle fonction trigonométrique en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA. La première lettre de chaque triplet correspond à la fonction trigonométrique, la deuxième au numérateur du rapport, et la troisième au dénominateur.

Une fois que nous avons identifié les bons côtés et par conséquent le bon rapport dans notre triangle rectangle, nous pouvons substituer n’importe quelle valeur dans la formule et résoudre l’équation pour trouver la longueur d’un côté ou la mesure d’un angle.

Regardons un premier exemple où nous devrons désigner les côtés d’un triangle et utiliser les fonctions trigonométriques pour déterminer la longueur d’un côté.

Exemple 1: Déterminer une longueur manquante dans un triangle rectangle en utilisant la trigonométrie

Déterminez 𝑥 sur la figure donnée. Donnez la réponse arrondie au centième.

Réponse

Nous cherchons à déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en utilisant la longueur d’un autre coté et la mesure d’un angle. Pour cela, nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques. Nous devons commencer par déterminer quelle fonction trigonométrique relie la longueur manquante à celle de longueur 11. Pour cela, on désigne les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de 68∘. L’hypoténuse est opposée à l’angle droit, 𝑥 est opposé à l’angle de 68∘ et est donc le côté opposé, et enfin, le côté restant est donc le côté adjacent.

Nous avons donc la longueur du côté adjacent, et nous cherchons celle du côté opposé. Cela signifie que nous devons utiliser le rapport trigonométrique qui relie ces deux côtés. Pour savoir quelle fonction trigonométrique fait intervenir quels côtés, on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.

Cela nous permet d’identifier que la fonction tangente est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent. Ainsi, nous avons : tanOAtan68=68=𝑥11.∘∘

Pour trouver 𝑥 on multiplie par 11 : 𝑥=1168.tan∘

On obtient la valeur recherchée, en utilisant une calculatrice, en nous assurant bien, au préalable, que la calculatrice est sur le mode degrés : 𝑥=27,2259….

En arrondissant cette valeur au centième, on obtient 𝑥≈27,23.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé une fonction trigonométrique pour déterminer une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en utilisant une autre longueur et la mesure d’un angle. Nous pouvons suivre ce même raisonnement pour déterminer des longueurs dans n’importe quel triangle rectangle.

Comment : Trouver la longueur manquante d’un côté dans un triangle rectangle dont on connait la mesure d’un angle et la longueur d’un côté

1. Si aucune figure n’est donnée, faire une figure à partir des informations disponibles.
2. Désigner les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle connu.
3. Utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour déterminer quel rapport trigonométrique fait intervenir la longueur du côté connue et celle que l’on recherche.
4. Substituer les valeurs connues et résoudre l’équation puis déterminer la longueur recherchée en utilisant une calculatrice.

Voyons maintenant un exemple où nous devons trouver les longueurs manquantes de deux côtés d’un triangle rectangle dont on connait une longueur et un angle.

Exemple 2: Utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer les longueurs manquantes de deux cotés d’un triangle rectangle

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en arrondissant au millième.

Réponse

Nous cherchons à déterminer les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle dont on connait une longueur et un angle. Pour cela, nous utiliseront les fonctions trigonométriques.

Nous devons commencer par déterminer les fonctions trigonométriques qui relient les longueurs recherchées au côté de longueur 28 cm. Pour cela, on désigne les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de 47∘.

On rappelle que l’hypoténuse est le côté le plus long et qu’il est opposé à l’angle droit. C’est donc le côté de longueur 𝑦. Le côté opposé est le côté de longueur 28 cm, et le côté adjacent est le côté de longueur 𝑥. Cela nous donne : 

On peut maintenant chercher les rapports trigonométriques qui impliquent les longueurs 𝑥 et 𝑦 dans ce triangle. Pour cela, on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.

Nous cherchons le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et le côté adjacent pour déterminer 𝑥 et le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et l’hypoténuse pour déterminer 𝑦. Nous voyons que ce sont respectivement les fonctions : tangente et sinus.

Commençons par déterminer la valeur de 𝑥 : tanOAtan47=47=28𝑥.∘∘

Pour isoler 𝑥, nous réarrangeons en multipliant par 𝑥 et en divisant par tan47∘, ce qui donne : 𝑥=2847.tan∘

A l’aide d’une calculatrice, après d’être assuré que la calculatrice est sur le mode degrés, on obtient : 𝑥=26,1104….cm

En arrondissant cette valeur au millième, on a 𝑥≈26,110.cm

Il y a maintenant plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer la valeur de 𝑦 ; nous en passerons deux en revue. Une première méthode consiste à utiliser la fonction sinus comme suit : sinOHsin47=47=28𝑦.∘∘

On multiplie par 𝑦 et on divise par sin47∘ pour obtenir 𝑦=2847.sin∘

Avec la calculatrice, on obtient : 𝑦=38,2851….cm

Arrondie au millième, cela donne : 𝑦≈38,285.cm

La deuxième méthode pour trouver 𝑦 est d’utiliser le théorème de Pythagore, selon lequel, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Cela nous donne : 𝑦=𝑥+28.

Nous avons constaté que 𝑥=2847tan∘ et il est important d’utiliser la valeur exacte pour éviter les erreurs d’arrondi. En substituant cela dans l’équation et en simplifiant, on obtient : 𝑦=2847+28𝑦=2847+784𝑦=1465,7541….∘∘tantan

Pour trouver 𝑦, on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, car 𝑦 est une longueur et doit donc être positive ce qui donne : 𝑦=√1465,7541…=38,2851…, ce qui est cohérent avec la valeur de 𝑦 trouvée précédemment.

Ainsi, arrondies au millième, 𝑥=26,110cm et 𝑦=38,285cm.

Voyons maintenant comment appliquer cela à un problème concret.

Exemple 3: Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour résoudre un problème concret

Un cerf-volant, qui est à une hauteur de 44 m, est attaché à une corde inclinée de 60∘ par rapport à l’horizontale. Déterminer la longueur de la corde, arrondie au dixième.

Réponse

On commence par faire une figure pour représenter les informations qui nous sont données. L’angle par rapport à l’horizontale est de 60∘ et la hauteur du cerf-volant est de 44 m, ce qui nous donne : 

Nous voulons déterminer la longueur de la corde, que nous avons nommée 𝑥 ; il s’agit de la longueur manquante d’un triangle rectangle dont on connait la longueur d’un côté et la mesure d’un angle. Nous pouvons utiliser la trigonométrie.

On commence par désigner les côtés du triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle de 60∘. Le côté de longueur 𝑥 est opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. Le côté de longueur 44 m est le côté opposé à cet angle et le sol est le côté adjacent.

Nous connaissons la longueur du côté opposé et nous cherchons la longueur de l’hypoténuse. On utilise l’acronyme SOH CAH TOA pour trouver le bon rapport.

Nous avons donc besoin du rapport trigonométrique qui fait intervenir le côté opposé et l’hypoténuse. C’est donc le sinus.

On peut écrire : sinOH60==44𝑥.∘

En multipliant par 𝑥, on obtient 𝑥60=44.sin∘

La division par sin60∘ donne 𝑥=4460.sin∘

En utilisant une calculatrice on obtient : 𝑥=50,806….m

Enfin, arrondie au dixième, cela donne : 𝑥≈50,8.m

Dans le prochain exemple, nous déterminerons toutes les longueurs manquantes et l’angle d’un triangle rectangle dont on ne connait qu’une seule longueur et un seul des angles non droit.

Exemple 4: Déterminer toutes les grandeurs manquantes dans un triangle rectangle

Soit la figure suivante, déterminez les longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶 et la mesure de ∠𝐵𝐴𝐶 en degrés. Donnez vos réponses arrondies au centième.

Réponse

Pour déterminer la mesure de ∠𝐵𝐴𝐶, on rappelle que la somme des angles d’un triangle est 180∘. Par conséquent, 𝑚∠𝐵𝐴𝐶+𝑚∠𝐴𝐵𝐶+𝑚∠𝐴𝐶𝐵=180𝑚∠𝐵𝐴𝐶+90+22=180𝑚∠𝐵𝐴𝐶=180−90−22𝑚∠𝐵𝐴𝐶=68.∘∘∘∘∘∘∘∘

Pour déterminer les longueurs des côtés, nous utiliserons la trigonométrie. On commence par désigner les côtés du triangle, 𝐴𝐶 est le côté le plus long (car il est opposé à l’angle droit), c’est donc l’hypoténuse. Ensuite, nous désignons les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de 22∘. On voit que 𝐴𝐵 est opposé à l’angle et 𝐵𝐶 est adjacent à l’angle, ce qui nous donne : 

Ensuite on trouve la fonction trigonométrique appropriée en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA.

On connaît la longueur du côté opposé à l’angle 𝐶, nous avons donc besoin des deux rapports utilisant cette valeur pour déterminer les autres longueurs.

Premièrement, nous avons sinOH22==𝐴𝐵𝐴𝐶=4𝐴𝐶.∘

On multiplie par 𝐴𝐶 et on divise par sin22∘ pour obtenir 𝐴𝐶=422.sin∘

Avec la calculatrice, en arrondissant au centième, on obtient 𝐴𝐶≈10,68.cm

Deuxièmement, nous avons tanOA22==𝐴𝐵𝐵𝐶=4𝐵𝐶.∘

On multiplie par 𝐵𝐶 et on divise par tan22∘ pour obtenir 𝐵𝐶=422.tan∘

Avec la calculatrice, en arrondissant au centième, on obtient 𝐵𝐶≈9,90.cm

Ainsi, avec deux décimales après la virgule, nous avons 𝐴𝐶=10,68cm, 𝐵𝐶=9,90cm et 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=68,00∘.

Dans le prochain exemple, il faudra d’abord faire une figure puis utiliser la trigonométrie pour déterminer des longueurs d’un triangle rectangle dont on connait un angle et une longueur.

Exemple 5: Utiliser la trigonométrie pourdéterminer des grandeurs dans un triangle rectangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐵 avec 𝑚∠𝐶=62∘ et 𝐴𝐶=17cm. Déterminez les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 en donnant la réponse au centième près et la mesure de ∠𝐴 en donnant la réponse au degré près.

Réponse

On commence par rassembler les informations sur une figure. On sait que l’angle droit est en 𝐵 et que 𝑚∠𝐶=62∘ et 𝐴𝐶=17cm. Cela nous donne : 

On peut trouver 𝑚∠𝐴 en utilisant le fait que la sommes des mesures des angles d’un triangle vaut 180∘. Ce qui nous donne 𝑚∠𝐴+𝑚∠𝐵+𝑚∠𝐶=180𝑚∠𝐴+90+62=180𝑚∠𝐴=180−90−62𝑚∠𝐴=28.∘∘∘∘∘∘∘∘

Ensuite, on détermine les longueurs des deux côtés en utilisant la longueur connue et la mesure d’un angle. Nous rappelons que nous pouvons le faire à l’aide des fonctions trigonométriques.

Pour cela, il faut d’abord déterminer quelle fonction trigonométrique relie les longueurs manquante et la longueur de 17 cm. On commence par désigner les cotés en fonction de leur position par rapport à l’angle de mesure 62∘.

L’hypoténuse est le côté le plus long et est opposée à l’angle droit, c’est 𝐴𝐶. Le côté opposé est 𝐴𝐵, et le côté adjacent est 𝐵𝐶. Ainsi, on a : 

Nous pouvons désormais identifier les fonctions impliquant 𝐵𝐶 et 𝐴𝐵 en regardant les rapports trigonométriques dans ce triangle. On utilise pour cela les acronymes SOH CAH TOA.

Nous cherchons le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et l’hypoténuse pour déterminer 𝐴𝐵 et le rapport trigonométrique impliquant l’hypoténuse et le côté adjacent pour déterminer 𝐵𝐶. Nous voyons que ce sont respectivement les fonctions sinus et cosinus.

Commençons par déterminer la valeur de 𝐴𝐵 : sinOH62==𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵17.∘

On isole 𝐴𝐵 en multipliant par 17 : 𝐴𝐵=1762.sin∘

Avec la calculatrice, après s’être bien assuré d’être en mode degrés, on obtient : 𝐴𝐵=15,010….cm

En arrondissant au centième, on obtient 𝑥≈15,01.cm

On passe ensuite à la longueur de 𝐵𝐶 en utilisant le rapport du cosinus : cosAH62==𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐵𝐶17.∘

Après multiplication par 17, avec la calculatrice on obtient : 𝐵𝐶=1762=7,981….coscm∘

On peut arrondir cette valeur au centième pour obtenir : 𝐵𝐶≈7,98.cm

Ainsi, arrondi au centième, 𝐴𝐵=15,01cm, 𝐵𝐶=7,98cm, et, au degré près, 𝑚∠𝐴=28∘.

Dans notre prochain exemple, nous étudierons un triangle isocèle comme deux triangles rectangles afin de déterminer la longueur de sa base en utilisant la trigonométrie dans un triangle rectangle.

Exemple 6: Utiliser la trigonométrie pour déterminer la longueur de la base d’un triangle isocèle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle isocèle avec 𝐴𝐵=𝐴𝐶=9cm, 𝐴𝐷⟂𝐵𝐶 et 𝑚∠𝐶=34∘. Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant la réponse au dixième près.

Réponse

On remarque déjà que 𝑚∠𝐴𝐷𝐶=90∘ puisque un angle plat vaut 180∘. On remarque également que les angles opposés aux côtés de même longueur dans un triangle isocèle sont égaux, de sorte que 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=34∘. Cela signifie que 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐷𝐵 sont deux triangles rectangles avec les mêmes angles, et 𝐴𝐶=𝐴𝐵. Ainsi, d’après le critère de superposition 𝐴𝑆𝐴, ces triangles sont superposables.

Puisque 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷, et comme ces deux segments ont les mêmes longueurs, il suffit de déterminer la longueur de l’un de ces segments. En particulier, nous avons 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=𝐶𝐷+𝐶𝐷=2𝐶𝐷.

Puisque 𝐶𝐷 est le côté d’un triangle rectangle dont on connait un angle et une longueur, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour déterminer sa longueur. On commence par désigner les côtés du triangle 𝐴𝐷𝐶. L’hypoténuse est le côté le plus long qui est opposé à l’angle droit, c’est donc 𝐴𝐶. Le côté opposé à l’angle 34∘ est 𝐴𝐷 et le côté adjacent à cet angle est 𝐶𝐷. Ce qui nous donne : 

Nous pouvons maintenant utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous identifier quel rapport trigonométrique est le quotient du côté adjacent et de l’hypoténuse.

On voit que c’est la fonction cosinus. La substitution de l’angle et des côtés dans la formule nous donne cosAH34==𝐶𝐷9.∘

En multipliant par 9 on obtient 𝐶𝐷=934.cos∘

Nous pourrions évaluer cela à la calculatrice mais, nous cherchons à trouver le double de cette valeur pour obtenir la longueur 𝐵𝐶, donc on multiplie d’abord par 2 pour obtenir 𝐵𝐶=2𝐶𝐷=1834.cos∘

A la calculatrice on obtient : 𝐵𝐶=14,92….cm

Enfin, en arrondissant cette valeur au dixième, on a : 𝐵𝐶≈14,9.cm

Dans le dernier exemple, dans un triangle quelconque, nous utiliserons deux angles et une longueur pour déterminer une autre longueur.

Exemple 7: Diviser un triangle en triangles rectangles pour calculer une longueur inconnue

Soit la figure ci-dessous avec 𝐴𝐶=3,5.

Que vaut 𝐴𝐵 ? Donnez la réponse arrondie au centième.

Réponse

Commençons par mettre à jour la figure en utilisant le fait que 𝑚∠𝐴𝐷𝐶=90∘.

Nous voulons déterminer 𝐴𝐵, mais nous n’avons pas de côtés dans le triangle 𝐴𝐷𝐵. On remarque que nous pouvons utiliser la longueur du côté connue dans le triangle rectangle 𝐴𝐷𝐶 pour déterminer 𝐴𝐷 en utilisant la trigonométrie. On pourra alors utiliser 𝐴𝐷 pour trouver 𝐴𝐵.

Commençons donc par calculer 𝐴𝐷 en utilisant la trigonométrie. On désigne d’abord les côtés du triangle 𝐴𝐷𝐶. 𝐴𝐶 est le côté le plus long car opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. 𝐴𝐷 est opposé à l’angle de 41∘ et 𝐴𝐶 est finalement le côté adjacent à cet angle.

Pour déterminer 𝐴𝐷 nous devons utiliser la fonction trigonométrique qui est le quotient du côté opposé et de l’hypoténuse. Pour l’identifier on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.

C’est donc la fonction sinus qui est le rapport entre la longueur du côté opposé à et la longueur de l’hypoténuse. En substituant les valeurs du triangle rectangle, on obtient sinOH41==𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐷3,5.∘

On peut alors résoudre pour trouver 𝐴𝐷 en multipliant par 3,5 : 𝐴𝐷=3,541.sin∘

Nous pourrions évaluer cette expression à la calculatrice ; cependant, comme nous allons l’utiliser pour calculer une autre longueur, il vaut mieux conserver sa valeur exacte.

Pour appliquer la trigonométrie au triangle rectangle 𝐴𝐷𝐵, on commence par désigner ses côtés. 𝐴𝐵 est l’hypoténuse car opposée à l’angle droit, 𝐴𝐷 est le côté opposé à l’angle de 63∘, et 𝐵𝐷 est le côté adjacent.

Nous voulons déterminer la longueur de l’hypoténuse, et nous connaissons la longueur du côté opposé, alors nous allons utiliser la fonction sinus : sinOHsin63==𝐴𝐷𝐴𝐵=3,541𝐴𝐵.∘∘

Pour trouver 𝐴𝐵 on multiplie par 𝐴𝐵 puis on divise par sin63∘ : 𝐴𝐵=3,54163.sinsin∘∘

La calculatrice nous donne 𝐴𝐵=2,577….

En arrondissant à deux décimales, nous obtenons : 𝐴𝐵≈2,58.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

• Lorsque nous travaillons avec des triangles rectangles, nous utilisons les termes

   

  :

   

  opposé, adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle. L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit et représente le côté le plus long. Les côtés opposé et adjacent sont repérés par rapport à un angle donné, souvent noté

  𝜃.

  L’opposé est le côté opposé à l’angle

  𝜃.

  Enfin, l’adjacent est le côté voisin de l’angle 𝜃 différent de l’hypoténuse.

• Les rapports trigonométriques d’un angle 𝜃 sont les rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle. En particulier, si on désigne les côtés d’un triangle rectangle à partir d’un angle 𝜃 par

   

  :

   

  hypoténuse, opposé et adjacent, alors

   

  :

   

  sinopposéhypoténusecosadjacenthypoténusetanopposéadjacent𝜃=,𝜃=,𝜃=.

• Nous pouvons déterminer les longueurs des côtés manquants dans un triangle rectangle en utilisant un angle non droit et une longueur de côté en respectant les étapes suivantes.
  1. Si aucune figure n’est donnée, faire une figure à partir des informations disponibles.
  2. Désigner les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle connu.
  3. Utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour déterminer quel rapport trigonométrique comprend la longueur du côté connue et la longueur du côté recherchée.
  4. Substituer les valeurs connues et réarranger pour résoudre l’équation et déterminer la longueur en utilisant une calculatrice.