Conjecturer la limite d une suite

Définition

Table des matières

Soit u une suite et l un réel.
Dire que la suite u admet pour limite l signifie que tout intervalle ouvert ]a ; b[ contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Exemple : Soit la suite u définie par : pour tout n ∈ , un =
Ci-dessous, une représentation graphique sur un tableur des termes de la suite pour 0 ≤ n ≤ 20. On peut conjecturer que la limite de la suite u est 1 :

Soit l’intervalle I = ] 1 – a ; 1 + a [, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.

un ∈ I ⇔ 1 – a < un < 1 + a ⇔ –a < un – 1 < a ;
un – 1 = , donc un ∈ I ⇔ –a < < a ;

< 0 donc pour tout n, < a ;

–a < ⇔ n + 1 > ⇔ n > – 1.
Donc, si N est le plus petit entier tel que N > + 1, alors pour tout n ≥ N, un ∈ I.
L’intervalle ]1 – a ; 1 + a[ contient tous les termes de la suite u à partir du rang N, donc la suite u admet pour limite I.

Vocabulaire et notation

Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu’elle est convergente vers I (ou qu’elle converge vers I ou qu’elle tend vers I). On note : ou lim u = I.

Si une suite admet pour limite le nombre réelon dit qu’elle est convergente vers(ou qu’elle converge versou qu’elle tend vers). On note :ou

Théorème 1

La limite d’une suite est unique.

Théorème 2

Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.

Les suites, où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.

Soit la suitedéfinie par : pour toutCi-dessous, une représentation graphique sur un tableur des termes de la suite pour 0 ≤≤ 20. On peut conjecturer que la limite de la suiteest 1 :Soit l’intervalle= ] 1 -; 1 +[, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.⇔ 1 -< 1 +⇔ — 1 <- 1 =, donc∈ I ⇔ -< 0 donc pour tout+ 1 >- 1.Donc, siest le plus petit entier tel que+ 1, alors pour toutL’intervalle ]1 -; 1 +[ contient tous les termes de la suiteà partir du rang, donc la suiteadmet pour limite

Exercices 1:d’une suite du type u(n)=f(n) et du type u(n+1)=f(u(n))

On a tracé ci-dessous la courbe d’une fonction (f):

Exercices 2:- Rang à partir duquel …

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2) A partir de quel rang (N) a-t-on (|u_n|<0.01)?

1) Conjecturer la limite de ((u_n)).

On considère la suite définie pour tout entier (nge 1) par (u_n=frac 1n). 1) Conjecturer la limite de ((u_n)). 2) A partir de quel rang (N) a-t-on (|u_n|<0.01)?

Corrigé en vidéo!

Exercices 3: Conjecturer limite – A partir de quel rang a-t-on …

On considère la suite définie pour tout entier $nge 0$ par $u_n=frac {3}{n+1}$.

1) Conjecturer la limite de ((u_n)).

2) A partir de quel rang (N) a-t-on (|u_n|<0.01)?

Exercices 3:- A partir de quel rang a-t-on …

Limites des suites et représentations graphiques

Une suite se présente comme une liste de termes « numérotés ». Si elle est définie sur (mathbb{N}), elle est infinie. Et à l’infini, quelles valeurs prennent ses termes ? That is the question. Pour connaître la réponse, il faut déterminer sa limite.

Note : cette page est destinée aux élèves de terminale (maths complémentaires). La page sur les limites de suites traite du même sujet mais adapté à la spécialité maths.

Limites

La limite d’une suite peut être un réel. Celui-ci n’est atteint qu’à l’infini. C’est-à-dire que, dans la plupart des cas, les valeurs de la suite progressent vers lui sans jamais l’atteindre (comme la fonction inverse progresse vers 0 sans jamais lui être égale). On dit alors que la suite est convergente. Sinon elle est divergente, soit que la limite est infinie, soit qu’elle n’existe pas (voir la page d’initiation aux suites convergentes et divergentes).

À titre d’exemple, la célèbre suite ((u_n)) définie sur (mathbb{N}) par (u_n = (-1)^n) est périodique, majorée et minorée mais divergente.

Définition de la convergence : la suite ((u_n)) admet pour limite le réel (ell) si tout intervalle ouvert contenant (ell) contient aussi toutes les valeurs de ((u_n).)

Écriture : (mathop {lim }limits_{n to infty } {u_n} = ell )

Définition de la divergence vers (+ infty) : la suite ((u_n)) admet pour limite (+ infty) si tout intervalle de la forme (]a,;+infty[) (avec (a in mathbb{R})) contient toutes les valeurs de (u_n) à partir d’un certain rang.

Écriture : (mathop {lim }limits_{n to infty } {u_n} = +infty )

Vous l’aurez deviné sans mal, toute suite strictement croissante non majorée tend vers (+ infty) et toute suite strictement décroissante non minorée tend vers (- infty.) A contrario, les croissantes majorées ainsi que les décroissantes minorées convergent (Cf. le théorème de la convergence monotone, qui permet de déceler des comportements asymptotiques). Attention toutefois à la distinction entre limite et majorant (ou minorant). Une suite n’est pas toujours monotone et peut dépasser sa limite puis tendre vers elle, comme un encéphalogramme qui devient progressivement plat.

Si l’expression de la suite se présente comme celle d’une fonction, on utilise la panoplie d’outils permettant de déterminer la limite d’une fonction. Bien entendu, la seule limite recherchée est celle de (+ infty) (voir la page d’opérations sur les limites de suites).

La recherche d’une limite de suite arithmétique ne mérite aucun calcul. Soit la raison est positive et c’est (+ infty,) soit elle est négative et c’est (- infty.)

De même, une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre -1 et 1 converge à coup sûr vers zéro. Attention, si elle est égale à 1, la suite est constante (converge vers (u_0)) mais si elle est inférieure ou égale à -1, la suite diverge et n’admet pas de limite. Voir les différents cas en page limites de suites géométriques.

Représentations graphiques

Il existe une façon graphique de représenter une suite, du moins si elle converge (la représentation d’une suite divergente n’étant pas d’un intérêt majeur). Les étapes de construction figurent en page représentation d’une suite et sont brièvement rappelées ci-dessous. Pourquoi évoquer ces représentations ? Parce qu’elle permettent très souvent de conjecturer une limite. En effet, il peut être judicieux de procéder à cette étape préalablement au calcul.

Prenons l’exemple simple d’une suite arithmético-géométrique, donc de type (u_{n+1} = au_n + b) avec (a) compris entre -1 et 1 exclus pour qu’elle converge. Imaginons ((u_n)) définie sur (mathbb{N}) par (u_{n+1}=0,3u_n+2) avec (u_0 = 1.) Graphiquement, la limite est visualisée comme le point de rencontre entre la première bissectrice ((y = x)) et la courbe représentative de la suite.

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Traçons la droite de la fonction affine d’équation (y = 0,3x + 2) et la droite d’équation (y = x.) Lorsque les deux se croisent, c’est que (x = 0,3x + 2,) soit (x = 2,85714…)

Une fois la suite initialisée, ici au point d’abscisse 1, on « rebondit » horizontalement sur la droite (ou la courbe) représentant la fonction jusqu’à la première bissectrice. Le point d’impact nous donne la valeur de u1. Même technique pour trouver les valeurs suivantes. Comme on s’en doute, la limite est au croisement des deux droites, au point d’abscisse 2,85714…

Un tableur constitue un outil merveilleux pour lister les premiers termes d’une suite :

Notons que si u0 avait été supérieur à 2,85714…, la suite aurait été décroissante et serait parvenue au même point mais, graphiquement, en arrivant du nord-est.

Deuxième exemple où (u_{n+1}) est la racine carrée de (u_n.) C’est donc une suite géométrique de raison 0,5. On initie la suite n’importe où. Prenons 4. Les premières valeurs de (u_n) sont alors les suivantes :

Le graphe montre que la suite converge vers 1 (courbe représentative de la fonction racine carrée en rouge).

Parcours PYTHON en autonomie

Voici quelques vidéos afin de vous familiariser avec le langage PYTHON.
Le mieux est d’ouvrir le logiciel EduPYTHON ou le logiciel JUPYTER et de pratiquer en même temps que la vidéo

Utilisation de la console EDUPYTHON :

Les fonctions (en mode console EDUPYTHON) :

Les boucles

Présentation de JUPYTER :

Exercices en Python

Limites de suites

Le but est de travailler sur la limite d’une suite lorsque $n$ tend vers $+infty$.

Par exemple, en langage Python :

# Calcul des 1 000 premiers termes d'une suite pourr conjecturer la limite de la suite.from math import * # importer la bibliothèque mathdef u(n): return n**2-1/(n+1) # Définition de la suite.# Pour calculer les 1000 premiers termes.for i in range(1000): print("u(",i,")=",u(i))

Rappels du cours.

. Une suite $(u_n)$ peut être

convergente : $limlimits_{n rightarrow +infty} u_n = « un,nombre « $
divergente : $limlimits_{n rightarrow +infty} u_n = +ou – infty ,ou,u_n,n’a,pas,de,limite. $

. Une suite $(u_n)$ peut être

Une aide sur la fonction range utilisée. range(i,j) permet de créer un compteur de la valeur i à la valeur j-1. Par exemple, range(10,100) permet de créer un compteur de 10 à 99.

Voici une liste de suites définies par leur expression explicite :

$u_n=n²-4$
$v_n=sqrt{n²+1}$
$w_n=frac{n+1}{n²+4}$
$t_n=frac{n²}{n+2}$
$l_n=frac{n+1}{n+4}$
$z_n= -4^n$
$a_n= 0,5^n$
$y_n=5-frac{1}{n}$
$c_n=(-1)^n$
$c_n=cos (n) $

Utiliser le langage Python afin de visualiser un nombre importants de temes afin de conjecturer la limite de la suite proposée.

Penser à alimenter votre fichier « cahier de TP » avec des commentaires et des copier-collers.

Suite définie par récurrence

On souhaite calculer les termes de la suite $(u_n)$ définie par $left{ begin{array}{ll} u_{n+1} = 3u_n + 1\ u_0=2 end{array}right.$

from math import *def u(n) : u=2 for i in range(n): u=3*u+1 return u # Afficher 1000 valeurs.for i in range(1000): print("u(",i,")=",u(i))# Vous pouvez créer une fonction affichage si vous voulezdef affichage(u,n): for i in range(n): print("u(",i,")=",u(i)) return None # Il faudra appeler la fonction affichage par affichage(u,100) dans la console, par exemple.

Faire des tests sur les premiers termes de la suite pour vérification.

Que pensez-vous de la limite de la suite $(u_n)$ ?

Transformez votre code pour afficher les 1000 premiers termes de la suite $v_n$ définie par $left{ begin{array}{ll} v_{n+1} = -v_n + 2\ v_0=-1 end{array}right.$

Que pensez-vous de la limite de la suite $(v_n)$ ?

Algorithme de seuil

On donne une suite $u_{n}$ définie par sa relation de récurrence :

$left{ begin{array}{ll} u_{n+1} = 3u_n + 1\ u_0=2 end{array}right.$

$left{ begin{array}{ll} u_{n+1} = 3u_n + 1\ u_0=2 end{array} right.$

On cherche l’indice $n$ tel que $u_{n} ge 300 $

On a l’algorithme en pseudocode suivant :

u ← 0n ← 0tant que u < 300 faire n ← n+1 u ← u+1

Cet algorithme donne le programme suivant :

from math import *u=0n=0while u <300: n=n+1 u=3*u+1print(n, u)

Exécuter le programme en Python afin de trouver la valeur de $n$ cherchée.

Sur le même modèle, on cherche l’indice $n$ tel que $v_{n}<100 $ pour $v_{n}$ définie par :

READ Je joue du piano

$left{ begin{array}{ll} v_{n+1} = 0.95u_n\ u_0=200 end{array}right.$

$left{ begin{array}{ll} v_{n+1} = 0.95u_n\ u_0=200 end{array} right.$

Ecrire un programme python pour l’algorithme suivant :

u ← 300n ← 0tant que 0.9^n > 150 faire n ← n+1 afficher(n)

Que recherche cet algorithme ?

Vous pouvez transsformer votre programme Python en un ensemble de fonctions :

from math import *def u(n): return ......... # A compléter def seuil(u,s) : # u est une suite et s est une valeur de seuil # A compléter return ndef affichage(): s=float(input("Entrer votre valeur de seuil : ")) n=seuil(u,s) print(n) return None

Algorithme de somme

Le but est de calculer la somme des termes d’une suite numérique.

On donne une suite $u_{n}$ définie par sa relation de récurrence :

$left{ begin{array}{ll} u_{n+1} = 3u_n + 1\ u_0=2 end{array}right.$

$left{ begin{array}{ll} u_{n+1} = 3u_n + 1\ u_0=2 end{array} right.$

On considère l’algorithme suivant :

// u est définie à l'aide d'une fonctions ← 0pour i ← 0 à n faire s=s+u(i)afficher(s)

Cela donne le programme suivant en langage Python :

from math import *def u(n): u=2 for i in range(i): u=3*u+1 return u s=0n=5for i in range(n+1): # Penser qu'il écrire n+1 pour aller jusqu'à n s=s+u(i)print(n, s)

Tester ce code.

Transformer ce code pour que la somme devienne une fonction def somme(u,n) .

Les fonctions.

Un exemple de définition de fonctions avec Python

from math import * # Importation d'une bibliothèque pour faire de maths.def f(x): return x**2+3*x+1 print(f(10)) # Une seule valeur.# Plusieurs valeursfor x in range(100): # range(100) génère une liste d'entiers de 0 à 99. print(f(x))

Définir des fonctions en lien avec le cours actuel pour conjecturer des limites.

valeurs_x=[x for x in range(30)] # permet de créer une liste de 30 valeurs.valeurs_f=[f(x) for x in range(30)] # permet de créer un tableau de valeurs. # valeurs_f=[f(x) for x in valeurs_x] donne le même tableau de valeurs, à tester.

Donner la tableau de valeurs de la fonction définie par $f(x)=x²+3x-1$ pour les valeurs de $x$ comprise entre 0 et 50 (avec un pas de 1)

from math import *import numpy as nplx=np.linspace(-10,10,100)

Dans la console, éditer les valeurs de lx. Que représente cette liste de valeurs ?

Compléter votre programme pour afficher la table des valeurs pour les valeurs de $x$ contenues dans lx

Tester le code suivant :

a=-30b=50n=1000lx=np.linspace(a,b,n)# Penser à afficher lx dans la console

Ecrire une fonction tableau_valeurs(f,a,b,n) qui affiche le tableau des $n$ valeurs comprises entre $a$ et $b$.

def tableau_valeurs(f,a,b,n) : lx = # A compléter valeurs_f = # A compléter return lx,valeurs_f

Affichage des points

On peut facilement tracer les nuages de points correspondants, en utilisant les fonctions du module matplotlib.

On importe le sous-module pyplot de matplotlib qu’on renomme au passage plt

import matplotlib.pyplot as plt(v_x, v_y) = tableau_valeurs(f ,-10,10,100)plt.plot(v_x , v_y , ' . ' , color='red')plt.show()

Faire des tests avec des fonctions utilisées en classe.

Le second degré

Il s’agit d’implémenter le cours sur les formules que vous connaissez sur le second degré. Vous pourrez structurer votre document avec de nombreuses fonctions. Reprenez le cours afin d’avoir toutes vos formules avec vous.

Ecrire une fonction delta avec comme arguments a,b,c et qui retourne le discriminant du pôlynome. Faire des tests avec des exxemples traités en cours.

Ecrire une fonction nombre_racines avec comme arguments a,b,c et qui retourne le nombre de racines du polynôme. Faire des tests avec des exxemples traités en cours.

Ecrire une fonction racines avec comme arguments a,b,c et qui retourne les racines du polynôme. Faire des tests avec des exxemples traités en cours.

Essayer de construire un programme complet qui traite toutes les formules du cours.

Quelques aides :

from math import *# Calcul de deltadef delta(a,b,c): return b**2-4*a*c# calcul des racinesdef racines(a,b,c) : dis=delta(a,b,c) if dis < 0 : return None elif dis==0 : return -b/(2*a) # Attention aux parenthèses else : return ((-b-sqrt(dis))/(2*a),(-b+sqrt(dis))/(2*a)) # Attention aux parenthèses

Faire des tests avec votre programme.

print(racines(1,1,1))print(racines(1,-2,1)print(racines(1-3,-4)

Compléter votre code avec une fonction nombre_racines(a,b,c) qui retourne le nombre de racines du polynôme

Ecrire une fonction utilsateur() qui demande en lecture les valeurs de a,b,c et qui affiche les racines du polynôme si elles existent.

Par exemple :

# Une idée de représentation d'un polynôme.def eval_p(p,x): return p[0]*x**2+p[1]*x+P[2]# p[0] correspond à a, p[1] correspond à b, p[2] correspond à c.p=(2,3,1) # p(x)=2x²+3x+1, p est codé par ses coefficients# Pour calculer p(4)eval_p(p,4)