Définition du radian
La mesure d’un angle en radians est égale au rapport de (la longueur de l’arc intercepté par l’angle) au (rayon du cercle).
sαr
Mesure de l’angle en radians
[ alpha = frac{s}{r} = frac{text{longueur de l’arc}}{text{rayon}} ]
[ alpha = frac{s}{r} = frac{text{longueur de l’arc}}{text{rayon}} ]
Le radian étant un nombre pur, l’«unité» [rad] ne s’écrit pas. Autrement dit, quand aucune unité d’angle n’est indiquée, la valeur numérique donnée est implicitement exprimée en radians. Si [rad] est parfois rajouté, c’est pour aider les personnes qui ne sont pas familières du domaine.
Sur le cercle trigonométrique (cas particulier ( r = 1 ), on peut visualiser la mesure de l’angle en radians : ( alpha = s ).
α1
En mots : «La mesure d’un angle en radians est égale à la longueur de l’arc intercepté par l’angle sur le cercle trigonométrique.»
La définition du radian est motivée par la simplicité avec laquelle s’exprime le calcul des longueurs d’arc sur un cercle quelconque :
[ s = r cdot alpha ]
[ s = r cdot alpha ]
(longueur d’arc) = (rayon)×(angle en radians)
α1rs = r α
Correspondance entre radians et degrés
La mesure de l’angle en radians qui correspond à 360 ° est égale à la longueur du cercle divisé par le rayon :
[ alpha = frac{s}{r} = frac{2 pi r}{r} = 2 pi [mathrm{rad}] = 360 ^circ ]
[ alpha = frac{s}{r} = frac{2 pi r}{r} = 2 pi [mathrm{rad}] = 360 ^circ ]
Retenons la correspondance suivante qui représente un demi-tour, c’est-à-dire un angle plat :
[ pi [mathrm{rad}] = 180 ^circ ]
[ pi [mathrm{rad}] = 180 ^circ ]
[ begin{align} 2 pi &= 360 ^circ \ pi / 2 &= 90 ^circ \ pi / 3 &= 60 ^circ \ pi / 4 &= 45 ^circ \ pi / 6 &= 30 ^circ end {align} ]
π = 180 °
En valeurs approximatives
$$ begin{array}{rcl}3.14159 mbox{[rad]} & approx & 180,^{circ}\1 mbox{[rad]} & approx & 57.29578,^{circ}\1,^{circ} & approx & 0.0174533 mbox{[rad]} \end{array} $$
$$ begin{array}{rcl} 3.14159 mbox{[rad]} & approx & 180,^{circ}\ 1 mbox{[rad]} & approx & 57.29578,^{circ}\ 1,^{circ} & approx & 0.0174533 mbox{[rad]} \ end{array} $$
Pour convertir les degrés en radians
on multiplie la mesure de l’angle par π, puis on divise le résultat par 180°.
Exemple: conversion de 27 ° en radians :
( 27 ^circ = (27 ^circ) times pi / (180 ^circ) = 0.4712389 )
Pour convertir les radians en degrés
on multiplie la mesure de l’angle par 180°, puis on divise le résultat par π.
Exemple 1: conversion de 0.35 en degrés :
( 0.35 = 0.35 times (180 ^circ) / pi = 20.053523 ^circ )
Si π apparaît dans l’expression de l’angle, on remplace π par 180°.
Exemple 2: conversion de π/5 en degrés :
( pi / 5 = (180 ^circ) /5 = 36 ^circ )
Correspondance entre radians et grades
Avant 1982, le symbole du grade était gr. Aujourd’hui, son symbole est gon (du grec gônia qui signifie angle).
Le grade, aussi appelé degré centésimal, est la centième partie de l’angle droit :
( 100 mathrm{gon} = pi / 2 )
Retenons la correspondance suivante qui représente un demi-tour, c’est-à-dire un angle plat :
( pi [mathrm{rad}] = 200 mathrm{gon} )
[ begin{align} 2 pi &= 400 mathrm{gon} \ pi / 2 &= 100 mathrm{gon} \ pi / 4 &= 50 mathrm{gon} \ pi / 5 &= 40 mathrm{gon} \ pi / 8 &= 25 mathrm{gon} end{align} ]
π = 200 gon
En valeurs approximatives
$$ begin{array}{rcl}3.14159 mbox{[rad]} & approx & 200 mbox{gon}\1 mbox{[rad]} & approx & 63.6619772 mbox{gon}\1 mbox{gon} & approx & 0.01570796 mbox{[rad]} \end{array} $$
$$ begin{array}{rcl} 3.14159 mbox{[rad]} & approx & 200 mbox{gon}\ 1 mbox{[rad]} & approx & 63.6619772 mbox{gon}\ 1 mbox{gon} & approx & 0.01570796 mbox{[rad]} \ end{array} $$
L’expression des angles en grades donne une formule simple pour calculer les longueurs d’arcs :
[ (text{longueur d’arc}) = frac{(text{angle en grades}) times (text{circonférence})}{400} ]
[ (text{longueur d’arc}) = frac{(text{angle en grades}) times (text{circonférence})}{400} ]
ou
[ (text{longueur d’arc}) = frac{(text{angle en grades}) times (text{quart de circonférence})}{100} ]
[ (text{longueur d’arc}) = frac{(text{angle en grades}) times (text{quart de circonférence})}{100} ]
Pour convertir les grades en radians
on multiplie la mesure de l’angle par π, puis on divise le résultat par 200 gon.
Exemple: conversion de 27 gon en radians :
( 27 mathrm{gon} = (27 mathrm{gon}) times pi / (200 mathrm{gon}) = 0.4241150 )
Pour convertir les radians en grades
on multiplie la mesure de l’angle par 200 gon, puis on divise le résultat par π.
Exemple 1: conversion de 0.35 en grades :
( 0.35 = 0.35 times (200 mathrm{gon}) / pi = 22.2816920 mathrm{gon} )
Si π apparaît dans l’expression de l’angle, on remplace π par 200 gon.
Exemple 2: conversion de π/5 en grades :
( pi / 5 = (200 mathrm{gon}) / 5 = 40 mathrm{gon} )
Remarque
Sur les calculatrices, les modes «Deg/Rad/Grad» se rapportent au calcul des fonctions trigonométriques cos, sin, tan, mais ne concernent pas les conversions d’unités d’angles ci-dessus.
Des degrés aux radians
Définition :
La radian est une unité permettant de mesurer un angle au centre dans un cercle, quand cet angle intercepte un arc de même longueur que le rayon de ce cercle.
Mesure d’un angle en radians
Pour convertir des degrés en radians (ou inversement), on utilise le fait que : pi radians=180 degrés.
Exemple : convertir 60° en radians.
Il suffit de réaliser un produit en croix :
180*x=60*pi
x=(60/180)*pi=pi/3 radians
La mesure en radians d’un angle de 60° est pi/3 radians en cours de math.
Valeurs importantes en radians :
En seconde, il faut connaître les mesures en radians des angles les plus souvent rencontrés.
0 degrés=0 radians
30 degrés=pi/6 radians
45 degrés=pi/4 radians
60 degrés=pi/3 radians
90 degrés=pi/2 radians
180 degrés=pi radians
Mesure principale d’un angle
Définition :
Un angle a plusieurs mesures en radians qui diffèrent entre elles d’un multiple de 2pi. La mesure principale d’un angle est la mesure en radians qui appartient à l’intervalle ]-pi ;pi]
Exemple :
Déterminer la mesure principale d’un angle qui mesure (9pi)/2 radians.
Soit
(9pi)/2=(8pi)/2+pi/2
=4pi+pi/2
=2*2pi+pi/2
Donc la mesure principale de l’angle est pi/2 car pi/2 appartient à ]-pi ;pi] et que 2pi=360=un tour complet. Donc on ne tient pas compte de 2*2pi qui constituent deux tours complets du cercle et donc ne changent pas l’angle final obtenu.
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Angles et cercle trigonométrique
Définition :
Soit (O,i,j) un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens inverse du sens des aiguilles d’une montre.
Mesure d’un angle sur le cercle trigonométrique
sur le cercle trigonométrique, on part du point O et l’on se déplace autour du cercle.
NB :
1 quart de tour=pi/2 radians (90°)
1 demi tour=pi radians (180°)
1 tour complet= 2pi radians (360°)
2 tours=4pi (720°)
etc…
Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
L’axe horizontal est l’axe des cosinus et l’axe vertical est celui des sinus. Donc pour tout point M placé sur le cercle on peut lire ses coordonnées sachant que les valeurs prises sur chaque axe sont comprises dans l’intervalle [-1 ;1]
D’après le théorème de Pythagore, on a :
sin²(a)+cos²(a)=OM²
On retrouve donc la propriété suivante:
sin²(a)+cos²(a)=1 car le rayon est égal à 1 (OM=1)
Relations trigonométriques entre les sinus et cosinus
– Angles supplémentaires :
Cos(pi-x)=-cos( x)
Sin(pi-x)=sin( x)
-Angles de différence pi:
cos(pi+x)=-cos( x)
sin(pi+x)=-sin( x)
– Angles complémentaires
cos((pi/2)-x)=sin(x)
sin((pi/2)-x)=cos(x)
– Angles opposés:
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin( x)
Remarque:
On retrouve ces différentes relations en plaçant les différents angles sur le cercle trigonométrique.
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