Formules fondamentales :
- sin² x + cos² x = 1
- tg x . cotg x = 1
- tg x = sin x / cos x
- cotg x = cos x / sin x
- 1 + tg² x = 1 / cos² x
- 1 + cotg² x = 1 / sin² x
- sec x = 1/cos x
- cosec x = 1/sin x
Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques prises en des points remarquables :
Décomposition des arguments composés :
- sin (a
b) = sin a . cos b cos a . sin b - cos (a
b) = cos a . cos b sin a . sin b - tg (a b) = (tg a tg b) / (1 tg a . tb b)
Angles associés :
Grands associés
f_trigo[grand_associé_de_alpha]
=
signe_quadrant . f_trigo[alpha]
Petits associés
f_trigo[petit_associé_de_alpha]
=
signe_quadrant . f_trigo_complementaire[alpha]
Exemples :
- tg[
+ a] = – tg a - sin[(3/ 2) – a] = – cos a
Développements selon les arguments doubles (cas de décomposition d’arguments composés quand a = b) :
- sin 2a = 2 sin a . cos a
- cos 2a = cos² a – sin² a
- tg 2a = 2 tg a / (1 – tg² a)
Développements selon les arguments triples :
- sin 3a = 3 sin a – 4 sin³ a
- cos 3a = – 3 cos a + 4 cos³ a
- tg 3a = (3 tg a – tg³ a) / (1 – 3 tg² a)
Formules de Carnot (formulation pratique du développement selon les arguments doubles) :
- 1 + cos 2a = 2 cos² a
- 1 – cos 2a = 2 sin² a
Formules de Simpson pour le produit (diminution d’ordre 1 du degré polynomial) :
- cos a . cos b =
[ cos(a-b) + cos(a+b) ] - sin a . sin b = [ cos(a-b) – cos(a+b) ]
- sin a . cos b = [ sin(a-b) + sin(a+b) ]
- cos a + cos b = 2 cos
. cos 
- cos a – cos b = -2 sin . sin
- sin a + sin b = 2 sin . cos
- sin a – sin b = 2 cos . sin
Développements tangentiels :
(cas particulier de la formule précédente quand a = b)Changement de variables dans le cadre du calcul d’intégrales de fonctions trigonométriques rationnelles :
- fonction de degré impair en sin x : poser t = cos x
- fonction de degré impair en cos x : poser t = sin x
- fonction (sin x , cos x) = fonction (- sin x , – cos x) : poser t = tg x
- autres fonctions trigonométriques rationnelles : poser t = tg x/2
[avec dx = 2 dt / (1 + t²) ; sin x = 2 t / (1 + t²) ; cos x = (1 – t²) / (1 + t²)] - fonctions trigonométriques irrationnelles : se ramener à une forme rationnelle en effectuant un changement de variable de la forme t = a . f_trigonométrique(x), ou encore en exploitant des relations polynomiales ou tangentielles (en considérant des polynômes de tg x ou tg x/2 favorables)
Développements selon tg x/2 :
- sin x = (2 tg x/2) / (1 + tg² x/2)
- cos x = (1 – tg² x/2) / (1 + tg² x/2)
- tg x = (2 tg x/2) / (1 – tg² x/2)
Quelques intégrales trigonométriques particulièrement intéressantes :
- Produit par une exponentielle
- Quotient de sinus x par x
- Dénominateur en x²+a² (1)
- Dénominateur en x²+a² (2) (dérivée paramétrique de la précédente)
- Relation de Fresnel
- Polynôme en (sin,cos) sur le premier quadrant
- Polynôme en (sin,cos) sur le cercle trigonométrique [nommé ‘Truc de Chevalier’ par les étudiants de 2CI et 2CINF (ULg) suivant le cours d’Analyse Vectorielle (dans le cadre du cours ‘Analyse Mathématique II’) dispensé par le professeur du même nom lors de l’année académique 1998-1999]
- Quotient polynomial en (sin,cos) sur le premier quadrant
Note : la fonction B(m,n) est la fonction Beta (2ème intégrale eulérienne). On peut la calculer aisément : B(m,n) = G(m) G(n) / G(m+n). En effet, G(n) est la fonction Gamma (1ère intégrale eulérienne). Elle vaut (n-1) G(n-1) par relation de récurrence, avec G(0) fixé à 1. On notera que m,n doivent être nécessairement entiers ou demi-entiers (dans ce cas, on a G()=
).
Tableau comparatif des fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques : cos x = [exp(ix) + exp(-ix)] ch x = [exp(x) + exp(-x)] sin x = 
[exp(ix) – exp(-ix)] sh x = [exp(x) – exp(-x)] cos² x + sin² x = 1 ch² x – sh² x = 1 1 + tg² x = 1 / cos² x 1 – th² x = 1 / ch² x 1 + cotg² x = 1 / sin² x 1 – coth²x = -1 / sh² x exp(ix) = cos x + i sin x exp(x) = ch x + sh x exp(-ix) = cos x – i sin x exp(-x) = ch x – sh x
Forme logarithmique des fonctions hyperboliques réciproques [utile dans le cadre du calcul intégral] :
- arcsh x = ln [x + (x²+1)]
- arcch x = ln [x + (x²-1)]
ln [(1+x) / (1-x)] ln [(x+1) / (x-1)]Etude sommaire des fonctions usuelles : f (x) f ‘ (x) Dom x Dom y Zéro sin x cos x [ 0 ; +2 ] + 2k [ -1 ; +1 ] 0 + k cos x -sin x [0 ; +2 ] + 2k [ -1 ; +1] / 2 + k tg x 1 / cos² x ] –/ 2 ; +/ 2 [ + k ] –
; +[ 0 + k cotg x -1 / sin² x ] 0 ; + [ + k ] – ; +[ / 2 + k arcsin x 1 / (1 – x²) [ -1 ; +1 ] [ –/ 2 ; +/ 2 ] 0 arccos x -1 / (1 – x²) [ -1 ; +1 ] [ + ; 0 ] 1 arctg x 1 / (1 + x²) ] – ; + [ ] –/ 2 ; +/ 2 [ 0 arccotg x -1 / (1 + x²) ] – ; + [ ] +/ 2 ; –/ 2 [ / 2 sh x ch x ] – ; +[ ] – ; +[ 0 ch x sh x ] – ; +[ [ +1 ; +[ 
th x 1 / ch² x ] – ; +[ ] -1 ; +1 [ 0 coth x 1 / sh² x ] – ; -1 [ U ] +1 ; +[ ] – ; -1 [ U ] +1 ; +[ arcsh x 1 / (x² + 1) ] – ; +[ ] – ; +[ 0 arcch x 1 / (x² – 1) [ +1 ; +[ [ 0 ; +[ 1 arcth x 1 / (1 – x²) [*1*] ] -1 ; +1 [ ] – ; +[ 0 arccoth x 1 / (1 – x²) [*2*] ] – ; -1 [ U ] +1 ; +[ ] – ; 0 [ U ] 0 ; +[
Remarques
- Chaque fois qu’un scalaire multiplicateur k est cité, il est supposé entier.
- Lorsqu’on ajoute une quantité nk donnée (n naturel) à un scalaire, le résultat reste scalaire. Lorsque cette même quantité est ajoutée à un domaine de R², on considère qu’elle est en fait ajoutée à chacune des composantes, celles-ci restant individuellement scalaires de R, après addition.
- [*1*] : sur l’ouvert ] -1 ; +1 [
- [*2*] : sur l’ouvert ] – ; -1 [ U ] +1 ; + [, complémentaire de l’ouvert ] -1 ; +1 [ sur R{(-1,+1)}
Calcul des fonctions trigonométriques des demi-angles d’un triangle en fonction des cotés :
- Sinus de l’angle-demi
- Cosinus de l’angle-demi
- Pour obtenir la tangente de l’angle-demi, il suffit d’effectuer le quotien des 2 résultats précédents.
Remarques
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
- p = demi-perimetre du triangle = (a+b+c)/2
- Pour obtenir les resultats pour beta et gamma, il suffit d’effectuer une permutation circulaire des cotés
Calcul des hauteurs d’un triangle
Remarques
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
- ha = hauteur associée à l’angle alpha, hb = hauteur associée à l’angle beta, hc = hauteur associée à l’angle gamma
- Pour obtenir les resultats pour hb et hc, il suffit d’effectuer une permutation circulaire des cotés et des angles
Calcul des bissectrices d’un triangle
- Bissectrice interieure
- Bissectrice extérieure
Remarques
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
- da = bissectrice intérieure associée à l’angle alpha, db = bissectrice intérieure associée à l’angle beta, dc = bissectrice intérieure associée à l’angle gamma
- d’a = bissectrice extérieure associée à l’angle alpha, d’b = bissectrice extérieure associée à l’angle beta, d’c = bissectrice extérieure associée à l’angle gamma
- Pour obtenir les resultats pour db et dc (d’b et d’c), il suffit d’effectuer une permutation circulaire des cotés et des angles
Calcul des médianes d’un triangle
Remarques
- Relation découlant de Pythagore généralisé
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
- ma = médiane associée à l’angle alpha, mb = médiane associée à l’angle beta, mc = médiane associée à l’angle gamma
- Pour obtenir les resultats pour mb et mc, il suffit d’effectuer une permutation circulaire des cotés et des angles
Calcul du rayon du cercle inscrit d’un triangle
Remarque
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
Aire d’un triangle (diverses méthodes de calcul) :
- méthode basée sur la hauteur
- méthode basée sur un angle et ses côtés adjacents
- méthode basée sur le demi-perimètre et le rayon du cercle inscrit
- méthode basée sur le demi-perimètre, un angle et son côté associé
- méthode basée sur les côtés
- méthode basée sur le demi-perimètre et les côtés
Remarques
- a = coté associé à l’angle alpha, b = coté associé à l’angle beta, c = coté associé à l’angle gamma
- ha = hauteur associée à l’angle alpha, hb = hauteur associée à l’angle beta, hc = hauteur associée à l’angle gamma
- p = demi-perimetre du triangle = (a+b+c)/2
- r = rayon du cercle inscrit
- Ces resultats sont evidemment également valables lorsqu’on effectue une permutation circulaire des cotés et des angles (et de la hauteur)
Dessiner des segments de droites de longueur irrationnelle algébrique à la règle et au compas :
Calcul (généralement on prend a et b appartenant à Q, l’ensemble des rationnels)
- longueur[diametre(cercle)] = a + b
- longueur[droite_a_dessiner] =
Exemple
- longueur[diametre(cercle)] = 3 + 4
- longueur[droite_a_dessiner] =
Un plus un = deux :
Très tôt, l’étudiant en Sciences Appliquées se rend compte qu’il n’est jamais de bon goût d’écrire l’égalité triviale 1 + 1 = 2 sous une forme aussi naïve (n’est-ce pas ?). Dès lors, grâce à une utilisation astucieuse des relations hyperboliques, de développements en série et de techniques avancées d’intégration réelle, nous pouvons nous émerveiller de l’embellissement suivant, que le lecteur averti appréciera pour sa clarté exemplaire. On exhibe ainsi qu’il est évident que le texte présenté est de loin plus clair et plus lisible sous sa nouvelle forme.
Merci à Cyril Briquet
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