Courbe des fréquences cumulées

De Schum_lionel_wiki

Avant de représenter des données à l’aide d’une courbe des fréquences relatives cumulées, il faut réaliser un tableau de fréquences. Vous devez exprimer les fréquences en pourcentage cumulé.

• Dans «Paramètres des champs de valeur…», sélectionnez l’onglet «Afficher les valeurs»
• Dans le menu déroulant, sélectionnez «% résultat cumulé dans»
• Cliquez sur «OK»

Une courbe des fréquences relatives cumulées s’obtient en reliant les points associés aux coordonnées (borne supérieure de la classe ; pourcentage cumulé). Les fréquences doivent être exprimées en valeur relative.

Vous devez, avant tout, produire un tableau comprenant trois colonnes: «Classes», «Borne supérieure de classe» et «Pourcentage cumulé (%)». C’est à partir de ce tableau que la courbe des fréquences relatives cumulées est construite.

• Dans la colonne «Classes», il faut copier les classes du tableau de fréquences. Il faut aussi ajouter une classe supplémentaire avant de façon à ce que la courbe débute sur l’axe des x.
• Dans la colonne «Borne supérieure de classe», il inscrire la borne supérieur de chaque classe (ex. 0-5 = 5).
• Dans la colonne «Pourcentage cumulé (%)», il faut copier les fréquences cumulées associées à chaque classe. La fréquence associée à la classe ajoutée est nulle.

Il faut exprimer la fréquence associée à la première classe en pourcentage:

• Sélectionnez la cellule
• Sur l’onglet «Accueil», cliquez sur l’icône «%»

Nous pouvons maintenant construire la courbe des fréquences relatives cumulées:

• Sélectionnez l’ensemble des cellules associées aux colonnes «Borne supérieure de classe» et «Pourcentage cumulé (%)» en incluant le nom des colonnes.
• Sur l’onglet «Insertion», cliquez sur l’icône «Nuage de points»
• Choisissez «Nuage de points avec lignes droites et marqueurs».

• Effectuez la mise en forme du graphique:
  • Écrivez le titre du graphique (Il prend la forme suivante: «Répartition cumulative de…».)
  • Écrivez le titre de chaque axe (L’axe des y prend le nom: «Pourcentage cumulé».)
  • Supprimez la légende (sauf si le graphique comporte plusieurs groupes)
  • Si nécessaire, cliquez sur le «+» afin de modifier les «Éléments du graphiques» (axes, titres des axes, étiquettes de données, quadrillage, légende…)
  • Si nécessaire, cliquez sur l’icône «pinceau» afin de modifier le style et la couleur du graphique

1. Donner l’étendue et la classe modale de cette série statistique. L’étendue d’une série est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de cette série. Ici :

   E = 185 – 150 = 35.

   Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, la classe modale correspond à la classe ayant le plus grand effectif. Dans cet exercice, la classe modale est donc [165 ; 170[ (effectif 7).

2. Combien d’élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m. Le nombre d’élèves mesurant entre 1,55m et 1,70m s’obtient en additionnant les effectifs des classes [155 ; 160[, [160 ; 165[ et [165 ; 170[. 4+6+7=17.

   Il y a 17 élèves qui mesurent entre 1,55m et 1,70m.

3. Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près). Les fréquences s’obtiennent en divisant les effectifs par l’effectif total et en multipliant ce résultat par 100 si on souhaite présenter ce résultat sous forme d’un pourcentage.

   L’effectif total est :

   N = 3 + 4 + 6 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30

   La fréquence de la classe [150 ; 155[ est donc 3/30 = 0.1 = 10%. En procédant de façon similaire pour toutes les classes on obtient le tableau des fréquences suivant :

   Tailles (en cm) [150;155[ [155;160[ [160;165[ [165;170[ [170;175[ [175;180[ [180;185[ Effectifs 3 4 6 7 5 3 2 Fréquences (en

   % %

   %

   ) 10 13 20 23 17 10 7

   La fréquence cumulée croissante (fcc) associée à une valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales. Par exemple, la fcc associée à la classe [165;170[ sera : 10 + 13 + 20 + 23 = 66. On obtient alors le tableau ci-dessous :

   Tailles (en cm) [150;155[ [155;160[ [160;165[ [165;170[ [170;175[ [175;180[ [180;185[ Effectifs 3 4 6 7 5 3 2 Fréquences (en

   % %

   %

   ) 10 13 20 23 17 10 7 FCC (en

   % %

   %

   ) 10 23 43 66 83 93 100

4. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. Sur le tableau précédent on voit que :

   • Il n’y a aucun élève qui mesure moins de 150 cm donc on place le point de coordonnées (150 ; 0)

   • 10% des élèves mesurent moins de 155 cm donc on place le point de coordonnées (155 ; 10)

   • 23% des élèves mesurent moins de 160 cm donc on place le point de coordonnées (160 ; 23)

   • etc.

   Pour des raisons de commodité, on gradue l’axe des abscisses en partant de 150.

   On obtient le graphique suivant :

   

5. À l’aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique. La médiane (Méd) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 50% (puisque par définition de la médiane, 50% des élèves mesurent moins de la médiane).

   Le premier quartile (Q1) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 25%.

   Le troisième quartile (Q3) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 75%.

   

   Le graphique ci-dessus donne approximativement : Méd = 166; Q1=160; Q3=172.

6. Donner une approximation du pourcentage d’élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m. À l’aide du graphique on voit que :

   • environ 57% des élèves mesurent moins de 1,68m

   • environ 18% des élèves mesurent moins de 1,58

   Le pourcentage d’élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m est donc d’environ 57% – 18% = 39%

L’écart entre deux distributions de mesures est estimé globalement par Vaire comprise entre les deux courbes de fréquences cumulées correspondantes. Cette aire équivaut à la différence réduite entre les moyennes des distributions. Les valeurs de Vécart pour les divers niveaux de performance constituent deux courbes, correspondant respectivement aux largeurs et aux hauteurs de cette aire. Une classification des courbes facilite l’interprétation de quelques types caractéristiques de différences entre répartitions. L’application du procédé aux distributions asymétriques réclame un traitement particulier. The distance between two frequency distributions is estimated globally by the area lying between the two cumulative relative frequency curves. This area is equivalent to the reduced difference between the means of the two distributions. Variations of the distance as a function of the relative level are made concrete by two curves, one corresponding to the breadths and the other to the heights of this area. A classification of the curves into a few characteristic types makes comparisons and interpretation easier. Applying this procedure to asymetrical distributions calls for some reserves.

V.1.4 – Dernière mise à jour : 15/12/2005

Contexte :

Objectif :

Réalisation :

– Classer les individus du plus petit au plus grand ;

– Calcul des fréquences relatives simples fi

– Calcul de la somme des fréquences relatives Fj cumulée :

où

– Calcul des fréquences cumulées ascendantes ou descendantes

– Tracé des courbes des fréquences cumulées ascendantes ou descendantes

Signification :

– Permet de répondre graphiquement à la question :

ou

– Permet, tout comme l’histogramme, de repérer les zones de concentration et de dispersion des individus

Lorsque la pente est :

Lorsqu’il y a un replat, la distribution est discontinue* (multimodale*)

– L’intersection des courbes de fréquences cumulées croissantes et décroissantes indique que l’on a atteint 50% de l’effectif, c’est la médiane*.

Exemple : Télécharger le Tableau 1 – Les précipitations du mois de septembre au Mont Aigoual (1896-1925) – (Sources : Météo France, in SAINT-JULIEN 1999, p.17).

A partir du tableau élémentaire :

– Trier les années par ordre croissant de précipitations (colonne A et B, tab. 1)

– Compléter les colonnes :

– Compléter la colonne des précipitations exprimées sous forme de fréquences relatives simples (I)

– Compléter les colonnes des fréquences relatives cumulées :

– Construire les courbes de fréquences cumulées

– En dessous de quels seuils de précipitations se trouvent :

– Quelle proportion de mois de septembre a eu moins de 100 mm (F14) de précipitations ?

– Quel volume de précipitations est dépassé 9 années sur 10 ?

– Quelle est la probabilité pour qu’un mois de septembre ait des précipitations comprises entre 60 (F11) et 120 mm (F16) au Mont Aigoual ?

Attention c’est bien une proportion d’année qui est calculée ici !

Figure 1 : Courbe des débits classés du Rhône (1920-1961)

– Que vous apprennent les courbes de la figure 1 sur le débit du Rhône ?

La courbe annuelle des débits classés (DC) d’un cours d’eau en un point de celui-ci est obtenue en rangeant les débits quotidiens (vol. d’eau écoulé en m3/s) par ordre décroissant. On porte en abscisse le nombre de jours de l’année (0 à 365 j 1/4) et en ordonnée les débits classés ( en m3/s). On obtient pour chaque lieu (ici Beaucaire, La Mulatière et Valence) une courbe des effectifs cumulés des jours de l’année en fonction des DC atteints durant l’année. Chaque courbe présente les débits classés des plus élevés aux plus faibles.

Classiquement on distingue :