Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite qui passe par l’intersection de deux autres droites
Quelle est l’équation de la droite qui passe par 𝐴(−1;3) et l’intersection des droites d’équations 3𝑥−𝑦+5=0 et 5𝑥+2𝑦+3=0 ?
- 23𝑥+17𝑦+17=0
- 8𝑥+𝑦+8=0
- 17𝑥−2𝑦+23=0
Réponse
On commence par rappeler que le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où elles se coupent.
On peut écrire l’équation cartésienne d’une droite qui passe par le point d’intersection de deux droites d’équations 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 et 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 comme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐+𝑘(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐)=0, pour tout 𝑘∈ℝ.
En remplaçant les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 comme étant les valeurs de la droite d’équation 3𝑥−𝑦+5=0, et les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 comme étant celles de la droite 5𝑥+2𝑦+3=0, on obtient
3𝑥−𝑦+5+𝑘(5𝑥+2𝑦+3)=0.(5)
Comme la droite passe par le point de coordonnées (−1;3), on peut remplacer 𝑥=−1 et 𝑦=3 dans l’équation (5) ci-dessus. Cela nous donne 3(−1)−3+5+𝑘[5(−1)+2(3)+3]=0−1+4𝑘=04𝑘=1𝑘=14.
On peut maintenant remplacer 𝑘=14 dans l’équation (5). Cela nous donne 3𝑥−𝑦+5+14(5𝑥+2𝑦+3)=03𝑥−𝑦+5+54𝑥+24𝑦+34=0174𝑥−24𝑦+234=017𝑥−2𝑦+23=0.
Par conséquent, l’équation de la droite passant par 𝐴(−1;3) et l’intersection des droites d’équations 3𝑥−𝑦+5=0 et 5𝑥+2𝑦+3=0 est 17𝑥−2𝑦+23=0.
En tant qu’approche alternative, on peut déterminer l’équation d’une droite à l’aide de deux points distincts appartenant à la droite. Alors, on utilise le point d’intersection et le point 𝐴 pour déterminer l’équation de la droite.
On peut trouver l’intersection des droites d’équations 3𝑥−𝑦+5=0 et 5𝑥+2𝑦+3=0 en résolvant simultanément les équations à l’aide de la méthode d’élimination. Utilisons la méthode d’élimination. On peut numéroter nos équations comme suit
3𝑥−𝑦+5=0,5𝑥+2𝑦+3=0.(6)(7)
Pour éliminer soit la variable 𝑥 ou la variable 𝑦, leurs valeurs absolues doivent être égales dans les deux équations. On remarque qu’on peut multiplier l’équation (6) par 2 pour avoir la même valeur absolue de 2𝑦 dans chaque équation. Ainsi, on a
6𝑥−2𝑦+10=0,5𝑥+2𝑦+3=0.(8)(9)
On élimine ensuite 𝑦 en additionnant les deux équations (8) et (9) : 6𝑥−2𝑦+10=0+5𝑥+2𝑦+3=011𝑥+13=0
Ensuite, réarrangeons 11𝑥+13=0 en soustrayant 13 aux deux membres de l’équation, puis en divisant par 11, on obtient 11𝑥=−13𝑥=−1311.
On a maintenant trouvé la coordonnée 𝑥 du point d’intersection, remplacer cette valeur à l’une des équations (6) ou (7) nous permettrait de trouver la coordonnée 𝑦. En remplaçant 𝑥=−1311 dans l’équation (6), et en simplifiant, on obtient 3−1311−𝑦+5=0−3911−𝑦+5=01611−𝑦=0𝑦=1611.
Cela nous donne le point d’intersection −1311,1611.
Maintenant, on veut déterminer l’équation de la droite qui passe par les points 𝐴(−1;3) et −1311;1611.
On rappelle que l’équation d’une droite qui passe par un point (𝑥;𝑦), et qui a pour pente 𝑚, est donnée sous la forme obtenue à l’aide d’un point et d’une pente par 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥).
Pour utiliser cette forme, il faut calculer la pente, 𝑚, d’une droite reliant deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), qui est donné par 𝑚=𝑦−𝑦𝑥−𝑥.
On peut désigner −1311;1611 par (𝑥;𝑦), et (−1;3) par (𝑥;𝑦). En les substituant, on obtient 𝑚=3−−1−=3−−1+=−+==172.
On a maintenant la pente de la droite qui est égal à 172, ainsi que deux points appartenant à la droite. En plus de la pente, on a juste besoin d’un de ces points pour pouvoir utiliser l’équation de la droite sous la forme obtenue à l’aide d’un point et d’une pente.
Alors, en substituant 𝐴(−1;3) pour le point (𝑥;𝑦) et la pente 𝑚=172 dans l’équation 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥), on obtient 𝑦−3=172(𝑥−(−1))𝑦−3=172(𝑥+1).
En distribuant 172 à chacun des termes entre parenthèses dans le membre droit, et en ajoutant 3 aux deux membres de l’équation, on a 𝑦−3=172𝑥+172𝑦=172𝑥+232.
C’est une équation valide pour la droite. Toutefois, on peut aussi exprimer cela par la forme cartésienne de l’équation d’une droite, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, où 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝet.
On multiplie tous les termes par 2 puis on soustrait 2𝑦 aux deux membres de l’équation, ce qui donne 2𝑦=17𝑥+230=17𝑥−2𝑦+23.
Cela confirme la réponse qu’on a trouvée à l’aide de la première méthode ; l’équation de la droite est 17𝑥−2𝑦+23=0.
Cours maths 6ème
Droites parallèles et perpendiculaires
Après avoir défini les droites parallèles et les droites perpendiculaires, on montre comment utiliser les propriétés des droites parallèles et des droites perpendiculaires pour démontrer que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. On apprend également à tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.
Droites parallèles
Définition: Définition : Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles n’ont aucun point en commun.
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
On note (d) // (d)
Remarque : Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
Attention : Deux droites qui ne se coupent pas sur une figure, ne sont pas forcément parallèles.
Il faut imaginer leur prolongement.
Les deux droites (d1) et (d2) se coupent en un point M qui n’était pas sur la figure initiale.
Elles ne sont donc pas parallèles, elles sont sécantes.
Droites perpendiculaires
Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit.
.svg)
Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires.
On note (d1) 
(d2)
Propriété
Propriété 1 :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles :
(d1) // (d2)
La droite (d) est perpendiculaire à la droite (d1) :
(d) (d1)
La droite (d) est aussi perpendiculaire à la droite (d2) :
(d) (d2)
Propriété 2 :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires à la droite (d) :
(d) (d1) et (d) (d2)
Les droites (d1) et (d2) sont donc parallèles : (d1) // (d2)
Propriété 3 :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles :
(d1) // (d2)
La droite (d) est parallèle à la droite (d1) :
(d) // (d1)
Donc la droite (d) est parallèle à la droite (d2) :
(d) // (d2)
Application : tracer une perpendiculaire
Nous allons voir comment tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
On se donne une droite (d) et un point A.
♦ Comment faire pour tracer la droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) et passant par A ?
♦ Pour cela on utilise une équerre. On place un des bords de l’angle droit de l’équerre sur (d) et l’autre sur A. On commence le tracé de la droite (d’) …
♦ On prolonge ensuite avec une règle pour obtenir la droite (d’) en entier.
Application : tracer une parallèle
Nous allons voir maintenant comment tracer la parallèle à une droite passant par un point.
On se donne une droite (d) et un point A.
♦ On peut tracer une seule droite parallèle à la droite (d) et passant par A. Comment faire ?
♦ Pour cela, il faut une règle et une équerre. On place un des bords de l’angle droit de l’équerre sur (d). On place la règle contre l’autre bord de l’angle droit de l’équerre.
♦ Sans bouger la règle, on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’au point A. On trace la droite (d’). La droite (d’) passe par le point A.
Les droites (d) et (d’) sont toutes les deux perpendiculaires au bord de la règle donc elles sont parallèles.
https://www.youtube.com/watch?v=
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