Les informations recueillies sont destinées à CCM Benchmark Group pour vous assurer l’envoi de votre newsletter.
Elles seront également utilisées sous réserve des options souscrites, par CCM Benchmark Group à des fins de ciblage publicitaire et prospection commerciale au sein du Groupe Le Figaro, ainsi qu’avec nos partenaires commerciaux.
Le traitement de votre email à des fins de publicité et de contenus personnalisés est réalisé lors de votre inscription sur ce formulaire. Toutefois, vous pouvez vous y opposer à tout moment
Plus généralement, vous bénéficiez d’un droit d’accès et de rectification de vos données personnelles, ainsi que celui d’en demander l’effacement dans les limites prévues par la loi.
Vous pouvez également à tout moment revoir vos options en matière de prospection commerciale et ciblage. En savoir plus sur notre politique de confidentialité ou notre politique Cookies.
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu perpendiculairement.
Autrement dit, la médiatrice est une droite qui passe par le milieu d’un segment et qui forme un angle droit avec ce segment.
Comme vous pouvez le constatez sur la figure ci-contre, la droite rouge coup le segment en C, milieu de [AB] et l’angle ACD mesure 90°.
La droite rouge est donc la médiatrice du segment [AB]
Cette droite peut donc se tracer à l’aide d’une règle graduée et d’une équerre. Mais je vous propose plutôt de réaliser la construction au compas. C’est plus simple, ne nécessite aucune mesure et la méthode permet beaucoup de précision.
Cours maths 6ème
Médiatrice d’un segment
Après avoir défini la médiatrice d’un segment, ce cours caractérise les points de la médiatrice par la propriété d’être équidistants des extrémités du segment. Ce cours explique comment construire la médiatrice avec une règle graduée et une équerre ou avec un compas et une règle non graduée.
Milieu d’un segment
Définition : Le milieu d’un segment [AB] est le point I du segment [AB] tel que les segments [IA] et [IB] aient la même longueur.
I est le milieu du segment [AB].
Médiatrice d’un segment
Définition : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire au segment [AB].
Remarque :
La médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie de ce segment. Cela signifie que si l’on plie la feuille de papier suivant la médiatrice, les deux parties du segment se superposent.
.svg)
Propriétés de la médiatrice
Propriété 1 : Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à la même distance des deux extrémités du segment.
Le point M appartient à la médiatrice de [AB].
On a donc :
Remarque :
Le point I du segment [AB] appartient à la médiatrice de [AB] et il est bien à la même distance de A et de B :
Propriété 2 : Si un point est à égale distance des deux extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Le point M est à égale distance de A et de B.
On a donc :
Le point M appartient à la médiatrice de [AB].
Construction de la médiatrice d’un segment
Première méthode : avec une règle graduée et une équerre
On commence par placer le milieu I du segment avec la règle.
Puis on trace la perpendiculaire à [AB] passant par I avec l’équerre.
Puis on trace la perpendiculaire à [AB] passant par I avec l’équerre.
Deuxième méthode : avec un compas et une règle non graduée
Pour tracer la médiatrice du segment [AB], il faut en connaître deux points.
On sait que les points de la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B.
Pour tracer un point à égale distance de A et de B, on utilise le compas en traçant deux arcs de cercle de centre A et B respectivement et de même rayon.
Leur point d’intersection C est un point de la médiatrice de [AB].
En renouvelant l’opération, on obtient un deuxième point D.
On peut alors tracer la médiatrice de [AB] avec une règle.
En géométrie plane, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment.
Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment. Dans un rectangle, les médiatrices des côtés sont également des axes de symétries du rectangle.
La médiatrice d’un segment [AB] divise le plan en deux demi-plans : celui des points plus proches de A que de B et celui des points plus proches de B que de A. Ainsi, les frontières d’un diagramme de Voronoï sont des segments de médiatrices.
Une illustration de la notion de distance de Hausdorff en géométrie élémentaire :
Soit [AB] un segment et C un point. Si C appartient au demi-plan des points plus proches de A que de B, alors dH(C,[AB])=CB sinon c’est CA.
Construction à la règle graduée et à l’équerre
[
modifier
|
modifier le code
]
Soit le segment [AB].À l’aide de la règle graduée, on mesure la longueur du segment [AB]. On met un marque à la moitié de sa longueur, soit à son milieu I.Avec l’équerre, on trace la perpendiculaire au segment [AB] passant par I.
Construction à la règle et au compas
[
modifier
|
modifier le code
]
Construction d’une médiatrice au compas et à la règle non graduée.
Cette construction est attribuée à Œnopide de Chios. Elle permet de construire la médiatrice d’un segment à l’aide d’une règle et d’un compas. On n’utilise donc pas d’équerre ou de règle graduée.
Soit le segment [AB]. On règle d’abord le compas à un rayon quelconque, supérieur à la moitié de la longueur AB. Avec cet écartement de compas, on trace un cercle centré sur A, puis un cercle de même rayon centré sur B. Ces deux cercles se coupent en deux points C et D. On trace enfin la droite (CD) qui est la médiatrice de [AB].
En effet, comme les rayons des cercles CA = CB et DA = DB. Les points C et D sont donc deux points distincts de la médiatrice. La droite passant par C et D est nécessairement la médiatrice de [AB].
Intérêt de cette construction
[
modifier
|
modifier le code
]
Construction d’une perpendiculaire à une droite passant par un point donné.
Cette construction est habituellement privilégiée pour sa meilleure précision en comparaison à l’utilisation de la règle et de l’équerre puisqu’il n’est pas nécessaire de mesurer le segment pour en trouver le milieu.
Cette construction permet de tracer la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ainsi toute construction à l’équerre est réputée réalisable à la règle et au compas seulement.
Considérons une droite (D) et un point C extérieur à cette droite. On commence par tracer un cercle de centre C qui va couper la droite (D) en deux points A et B. Grâce à la construction précédente, on construit la médiatrice de [AB]. Comme C est à égale distance de A et B, C est sur cette médiatrice. Ainsi la médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (D) et passant par C.
Sur les autres projets Wikimedia :
Vocabulaire de base de la géométrie
Médiatrice d’un segment
- Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment ?
- Quelles sont ses propriétés ?
- Quelle est la propriété caractéristique de la médiatrice ?
- et enfin, comment construire une médiatrice à la règle et au compas ?
1. Définition
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.
Construction de la médiatrice à la règle et l’équerre
Construction
Je construis un segment [AB] et je place le milieu I de ce segment, puis à l’aide d’une équerre, je trace la droite Delta, perpendiculaire à [AB] et passant par son milieu comme ceci.
Maintenant, quelles sont les propriétés de la médiatrice ?
2. Propriétés
Propriété 1.
Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB], alors il est équidistant, c’est-à-dire situé à égale distance, des deux extrémités de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si; Min Delta,; alors; MA=MB$$
$M$ équidistant des deux extrémités $A$ et $B$.
Réciproquement, c’est-à-dire « dans l’autre sens » :
Propriété 2.
Si un point M est équidistant des deux extrémités d’un segment $[AB]$, alors $M$ appartient à la médiatrice de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si; MA=MB,; alors; Min Delta$$
3. Propriété caractéristique de la médiatrice
En fusionnant ces deux propriétés, on obtient la propriété caractéristique de la médiatrice, c’est-à-dire, une propriété qui permet de déterminer si un point $M$ appartient ou non à la médiatrice dun segment $[AB]$.
Propriété caractéristique de la médiatrice (1ère version)
Un point M appartient à la médiatrice d’un segment $[AB]$ si et seulement si, $M$ est équidistant des deux extrémités de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si; Min Delta; équivaut; à; MA=MB$$
Propriété caractéristique de la médiatrice (2ème version)
La médiatrice d’un segment $[AB]$ est l’ensemble formé de tous les points $M$ du plan, équidistants des deux extrémités $A$ et $B$ de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si; Min Delta;Longleftrightarrow; à; MA=MB$$
4. Construction de la médiatrice à la règle et au compas
Voyons maintenant comment construire une médiatrice à la règle et au compas. D’après la propriété caractéristique, il suffit de construire deux points équidistants des deux extrémités du segment.
4.1. une première méthode rapide (2 arcs de même rayon)
Pour construire la médiatrice d’un segment, on place la pointe sèche du compas en $A$, puis on construit un arc de cercle de rayon plus grand que la moitié du segment. Puis, on trace un deuxième arc de cercle avec la même ouverture.
Les deux arcs se coupent en deux points $M$ et $N$ qui sont équidistants de $A$ et de $B$.
Par conséquent, la droite $(MN)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
Construction de la médiatrice à la règle et au compas avec 2 arcs
b) une méthode générale
Pour construire la médiatrice d’un segment, on construit deux points $M$ et $N$ équidistants de $A$ et de $B$, mais pas nécessairement avec la même ouverture, ni de part et d’autre du segment.
Construction de la médiatrice à la règle et au compas avec 4 arcs
On prend une première ouverture du compas et on trace deux arcs de cercle à partir des deux sommets $A$ et $B$, de rayon plus grand que la moitié du segment. Les deux arcs se coupent en un point $M$ équidistant de $A$ et de $B$.
Ensuite, on recommence de l’autre côté, avec une deuxième ouverture, on obtient un deuxième point $N$ équidistant de $A$ et de $B$.
Par conséquent, la droite $(MN)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
Soyez le premier a laisser un commentaire