Accueil > Mathématiques > Dérivée de fonction > Dérivée de racine de x
Dérivée de racine de x
Toutes les versions de cet article : <English> <français> <italiano>
La dérivée f’ de la fonction racine carré de x f(x)=√x est pour tout x strictement postif : f’(x)=1 / 2√x
Dérivée de la fonction racine de x
La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=sqrt{x}$ est :
$$ forall x in ]0,+infty[ ,quad f’(x) = frac{1}{2sqrt{x}} $$
Preuve/Démonstration
$$ begin{aligned} frac{df}{dx}=&lim _{h rightarrow 0} frac{sqrt{x+h}-sqrt{x}}{h}\ =&lim _{h rightarrow 0} frac{sqrt{x+h}-sqrt{x}}{h} cdot frac{sqrt{x+h}+sqrt{x}}{sqrt{x+h}+sqrt{x}} \ =&lim _{h rightarrow 0} frac{(sqrt{x+h}-sqrt{x})(sqrt{x+h}+sqrt{x})}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})}\ =&lim _{h rightarrow 0} frac{x+h-x}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})}\ =&lim _{h rightarrow 0} frac{h}{h(sqrt{x+h}+sqrt{x})}\ =&lim _{h rightarrow 0} frac{1}{sqrt{x+h}+sqrt{x}}=frac{1}{2 sqrt{x}} end{aligned} $$
On conclut que :
$$ forall x in ]0,+infty[ ,quad f’(x) = frac{1}{2sqrt{x}} $$
Dans la même rubrique
Dérivée d’une racine carrée
Table des matières
- Exemples de dérivés de racine carrée
La dérivée d’une racine carrée est égale à 1 divisé par la base multipliée par deux. Ceci, au cas où la base est inconnue.
Pour le prouver, il faut se rappeler que la racine carrée est équivalente à l’exposant 1/2. Ainsi, nous nous souvenons que la dérivée d’une puissance est égale à l’exposant multiplié par la base élevée à l’exposant moins 1.
Pour mieux le comprendre, voyons la preuve mathématique :
Ce qui précède peut même être généralisé pour toutes les racines :
En revenant à la racine carrée, si elle affectait une fonction, la dérivée serait calculée comme suit : f'(x) = nyn-1Y’. C’est-à-dire qu’il faut ajouter au calcul précédent la dérivée de la fonction sur laquelle la racine carrée est calculée (voir notre article sur la dérivée d’une puissance).
Exemples de dérivés de racine carrée
Voyons quelques exemples de dérivée d’une racine carrée :
Maintenant, regardons un autre exemple :
Il faut tenir compte du fait que la dérivée du cosinus d’une fonction est égale au sinus de ladite fonction, multiplié par sa dérivée et par moins 1.
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Remplacez toutes les occurrences de par .
La dérivée de par rapport à est .
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Ce site utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web.
Veuillez vous assurer que votre mot de passe comporte au moins 8 caractères et contient chacun des caractères suivants :
- un nombre
- une lettre
- un caractère spécial : @$#!%*?& @$#!%*?&
Dans ce cours de maths, le calcul de la dérivée Racine Carrée d’ une fonction est expliquée à l’aide de plusieurs exemples détaillés.
Dérivée Racine Carrée d’ une fonction :
Prenons la fonction f suivante :
L’ ensemble de définition de la fonction f sont les valeurs pour lesquelles g ( x ) est supérieur ou égal à 0.
La fonction f est dérivable sur son domaine de définition sans oublier d’ exclure les valeurs pour lesquelles g ( x ) s’annule.
La dérivée de ce type de fonction, a la forme suivante :
Exemples de Calcul de Dérivée :
Exemple 1 :
Fonction racine carrée :
x est un polynôme. Donc, il est dérivable sur R. ( Voir Cours sur le Calcul Dérivée d’un Polynôme )
L’ ensemble de définition de f sont les valeurs ou x est supérieur ou égal à 0
Df = R+ = [ 0 ; +∞ [
La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 ( on exclut la valeur 0 ou x s’ annule )
Pour tout x ∈ ] 0 ; +∞ [, la dérivée de f est :
Exemple 2 :
x + 5 est un polynôme. Donc, il est dérivable sur R. ( Voir Cours sur le Calcul Dérivée d’un Polynôme )
Le domaine de définition de f sont les valeurs ou x + 5 est supérieur ou égal à 0.
Df = [ -5 ; +∞ [
La fonction f n’est pas dérivable en -5 ( On exclut la valeur -5 ou x + 5 s’ annule ).
Pour tout x ∈ ] -5 ; +∞ [, la dérivée de f est :
Exemple 3 :
– x – 3 est un polynôme. Donc, il est dérivable sur R. ( Voir Cours sur le Calcul Dérivée d’un Polynôme )
Le domaine de définition de f sont les valeurs ou – x – 3 est supérieur ou égal à 0.
Df = ] -∞ ; -3 ]
La fonction f n’est pas dérivable en -3 ( On exclut la valeur -3 ou – x – 3 s’ annule ).
Pour tout x ∈ ] -∞ ; -3 [, la dérivée de f est :
Exercice à Faire :
Dérivée Racine Carrée d’ une fonction
Nous vous invitons à calculer la dérivée des fonctions ci-dessous et tu peux laisser tes réponses en bas en commentaire :
Racine( 5x + 1 ) ; Racine( 3x² – x – 4 ) ; Racine( 1 + cos 3x ) ; Racine( 3x -4/ 2x -5 )
Autres liens utiles :
Si ce n’est pas encore clair sur le Calcul de la Dérivée de la racine carrée d’ une fonction, n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible :).
Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête
Page Facebook Pigerlesmaths
Dérivée de la Racine Carrée d’ une Fonction
Soyez le premier a laisser un commentaire