Determiner une fonction affine

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s’entrainer.
Des liens pour découvrir

Table des matières

Définition

où:
– « a » est une constante réelle positive ou négative appelée coefficient directeur.
– « b » est une constante réelle positive ou négative appelée ordonnée à l’origine. « b » doit être non nul sinon la formule devient f(x) = ax ce qui caractérise les fonctions linéaires.

Ensemble de définition

Toutes les fonctions affines sont définies sur la totalité de l’ensemble des nombres réels.

Courbe représentative

Il s’agit d’une droite ne passant pas par l’origine (sinon c’est une fonction linéaire) montante ou descendante. Pour la tracer il est nécessaire de connaître deux points qui lui appartiennent. Le premier point que l’on choisit en général (car il ne nécessite pas de calcul) est le point d’abscisse nul, d’après la formule générale d’une fonction affine f(0) = a.0 + b soit f(0) = b donc ses coordonnées sont (0;b). Le deuxième point est souvent l’un de ceux dont l’abscisse est un entier, on choisit donc parmi les points (1 ; a+b), (2 ; 2a +b), (3 ; 3a +b) etc.

Aspect général de la représentation d’une fonction affine

Déterminer la formule d’une fonction affine à partir de la droite qui la représente

Une fonction affine est toujours associée à une formule de type f(x) = ax + b, pour déterminer cette formule il faut donc trouver la valeur de « a » et celle « b ».
La valeur la plus simple à trouver est celle de « b » car, comme son nom l’indique, elle correspond à l’ordonnée à l’origine, il suffit donc de repérer sur le graphique le point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées: l’ordonnée de ce point correspond à « b ».

Il est également possible de trouver « a » à partir des coordonnées de deux points M1(x1;y1) et M2(x2;y2) de la droite :
a = (y2 – y1)/(x2 – x1)

Autres méthodes pour trouver « a » et « b »

– Lorsque b à été trouvé on peur déterminer la valeur de « a » à partir des coordonnées d’un point M1(x1;y1) de la droite en résolvant l’équation y1 = ax1 + b, on en tire alors a = (y1 – b)/a.
– De même lorsque « a » à été trouvé on peur déterminer la valeur de « b » à partir des coordonnées d’un point M1(x1;y1) de la droite en résolvant l’équation y1 = ax1 + b, on en tire alors b = y1- ax1.
– On peut également choisir de trouver « a »et « b » à partir des coordonnées de deux points de la droite, en résolvant un système de deux équations à deux inconnues:
* y1 = ax1 + b
* y2 = ax2 + b

Antécédent

Par une fonction affine chaque nombre de l’ensemble des réels possède un seul et unique antécédent qui peut être trouvé à partir de la formule dela fonction. Si l’on recherche l’ancédent x1 d’un nombre y1 alors:
y1 = ax1 + b
y1 – b = ax1
ax1 = y1 – b
x1 =

y1 – b

Variations

Si le coefficient directeur est positif (a>0) alors la fonction affine est croissante sur la totalité de l’ensemble des nombres réels

Aspect de la courbe

Tableau de variation

Si le coefficient directeur est négatif (a<0) alors la fonction affine est décroissante sur la totalité de l’ensemble des nombres réels

READ Combien de palette dans un camion

Aspect de la courbe

Tableau de variation

Signe

La fonction affine s’annule pour x0 tel que:
ax0 + b = 0
ax0 = -b
x0 =

– b

a
Si le coefficient directeur est positif alors la fonction est négative sur l’intervalle ] ; x0] puis positive sur [ x0 ; [

Si le coefficient directeur est négatif alors c’est l’inverse, elle est positive sur l’intervalle ] ; x0] puis négative sur [ x0 ; [

Une fonction est dite affine si est caractérisée par une formule de type f(x) = ax + boù:- « a » est une constante réelle positive ou négative appelée coefficient directeur.- « b » est une constante réelle positive ou négative appelée ordonnée à l’origine. « b » doit être non nul sinon la formule devient f(x) = ax ce qui caractérise les fonctions linéaires.Toutes les fonctions affines sont définies sur la totalité de l’ensemble des nombres réels.Il s’agit d’une droite ne passant pas par l’origine (sinon c’est une fonction linéaire) montante ou descendante. Pour la tracer il est nécessaire de connaître deux points qui lui appartiennent. Le premier point que l’on choisit en général (car il ne nécessite pas de calcul) est le point d’abscisse nul, d’après la formule générale d’une fonction affine f(0) = a.0 + b soit f(0) = b donc ses coordonnées sont (0;b). Le deuxième point est souvent l’un de ceux dont l’abscisse est un entier, on choisit donc parmi les points (1 ; a+b), (2 ; 2a +b), (3 ; 3a +b) etc.Une fonction affine est toujours associée à une formule de type f(x) = ax + b, pour déterminer cette formule il faut donc trouver la valeur de « a » et celle « b ».La valeur la plus simple à trouver est celle de « b » car, comme son nom l’indique, elle correspond à l’ordonnée à l’origine, il suffit donc de repérer sur le graphique le point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées: l’ordonnée de ce point correspond à « b ».Le coefficient directeur « a » peut être obtenu en déterminant la variation d’ordonnée correspondant à une augmentation d’une unité des abscisses, cette valeur est celle de « a » (méthode déjà utilisée pour les fonctions linéaires).Il est également possible de trouver « a » à partir des coordonnées de deux points M1(x1;y1) et M2(x2;y2) de la droite :a = (y2 – y1)/(x2 – x1)- Lorsque b à été trouvé on peur déterminer la valeur de « a » à partir des coordonnées d’un point M1(x1;y1) de la droite en résolvant l’équation y1 = ax1 + b, on en tire alors a = (y1 – b)/a.- De même lorsque « a » à été trouvé on peur déterminer la valeur de « b » à partir des coordonnées d’un point M1(x1;y1) de la droite en résolvant l’équation y1 = ax1 + b, on en tire alors b = y1- ax1.- On peut également choisir de trouver « a »et « b » à partir des coordonnées de deux points de la droite, en résolvant un système de deux équations à deux inconnues:* y1 = ax1 + b* y2 = ax2 + bPar une fonction affine chaque nombre de l’ensemble des réels possède un seul et unique antécédent qui peut être trouvé à partir de la formule dela fonction. Si l’on recherche l’ancédent x1 d’un nombre y1 alors:y1 = ax1 + by1 – b = ax1ax1 = y1 – bx1 =Si le coefficient directeur est positif (a>0) alors la fonction affine est croissante sur la totalité de l’ensemble des nombres réelsSi le coefficient directeur est négatif (a<0) alors la fonction affine est décroissante sur la totalité de l’ensemble des nombres réelsLa fonction affine s’annule pour xtel que:ax+ b = 0ax= -bSi le coefficient directeur est positif alors la fonction est négative sur l’intervalle ]; x] puis positive sur [ xSi le coefficient directeur est négatif alors c’est l’inverse, elle est positive sur l’intervalle ]; x] puis négative sur [ x; [

En mathématiques, parmi les différentes fonctions, il existe les fonctions affines. D’ailleurs, au programme de 3e au collège, on te demande de bien les connaître et de savoir les déterminer dans des exercices. Mais alors, comment déterminer une fonction affine ? Ça tombe bien, c’est justement le sujet de cette petite fiche de cours !

READ Développement construit espace productif

Pour commencer : un peu de vocabulaire

Tu as normalement appris qu’une fonction f est un procédé mathématique associant à chaque nombre x un unique nombre y. On note f(x) = y (ce qui se lit « f de x égal y »).

x s’appelle la variable et les valeurs prisent par x s’appellent les antécédents.

👉 y est le résultat de la transformation d’un antécédent x par la fonction f : il s’appelle l’image de x par la fonction f et se note f(x). On écrit alors que : y = f(x).

Définition de la fonction affine

Une fonction affine est une fonction représentée par une droite (elle est linéaire). Sa particularité par rapport aux autres fonctions est que son taux d’accroissement est constant.

m et p sont deux nombres donnés. La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s’écrit : f(x) = mx + p.
m est le coefficient directeur de la fonction et on ajoute p au résultat.
Par une fonction affine, chaque image a
un seul antécédent

.

👉 La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

Les
antécédents

d’une valeur se lisent sur l’axe des abscisses
L’image

d’une valeur se lit sur l’axe des ordonnées

Exemple : La représentation graphique de : f(x) = 3x + 2 est :

On a bien l’image de 0 qui est 2, soit le point A(0 ; 2) et celle de 1 qui est 5, donc le point B(1 ; 5).

Comment représenter une fonction affine ?

À l’aide de deux points

Traçons la courbe représentative de la fonction affine f(x) = 2x + 1 dans un repère.

Méthode :

La représentation graphique d’une fonction affine est une
droite

.
Donc on détermine deux points de la droite pour pouvoir la tracer.
Pour cela, on choisit deux nombres quelconques et on calcule leur image.

Solution :

Une fonction affine est représentée par une droite.

On choisit deux nombres quelconques, par exemple –2 et 3. Puis on calcule leur image :

f(–2) =2(–2) + 1 = –4 + 1 = –3 donc la droite passe par le point A(–2 ; -3).
f(3) = 23 + 1 = 6 + 1 = 7 donc la droite passe par le point B(3 ; 7).

La droite (AB) est donc la courbe représentative f.

NB : Choisis des valeurs de x dont la différence est significative afin d’obtenir des points espacés.

Avec le coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine

Traçons dans un repère la courbe représentative de la fonction affine f de paramètre m = –2 et p = 4.

Méthode :

On place le point A(0 ; p)
À partir du point A, on place le point suivant à l’aide du coefficient directeur
Pour cela, on avance d’une unité sur l’axe des abscisses et on monte de p sur l’axe des ordonnées si p est positif ou on descend de p si p est négatif.

Solution :

Une fonction affine est représentée par une droite.

m est le coefficient directeur de la droite et p est l’ordonnée à l’origine de la droite.

Ici, p = 4, la droite passe donc par le point A(0 ; 4).

Ici, m = –2 , or –2 < 0 donc on descend de 2 sur l’axe des ordonnées quand on avance de 1 sur l’axe des abscisses. La droite passe donc par le point A(1 ; 2)

Comment déterminer une fonction affine ?

À partir de deux points sur un graphisme

Prenons le graphique ci-dessous comme exemple.

💡 Méthode

Pour déterminer l’ordonnée à l’origine : on regarde la valeur au point d’intersection entre l’axe des ordonnées et la droite
On détermine le signe du coefficient directeur : si f est croissante alors m > 0 et si f est décroissante alors m < 0
Pour déterminer la valeur du coefficient directeur : on part d’un point sur la droite et on avance d’une unité sur l’axe des abscisses, puis on regarde de combien il faut monter ou descendre sur l’axe des ordonnées pour rejoindre la droite.

Solution :

On regarde la valeur du point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées :

f(0) = 4 = p

La droite est décroissante, donc on sait que m < 0

Quand on augmente x de 1, on constate que pour rejoindre la courbe, on descend de 3, donc : m = – 3

On en déduit que l’expression de f est : f(x) = –3x + 4

Les maths, quelle galère ! Tu veux guérir ta phobie de la matière ? Regarde cette vidéo 👇

Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir d’un calcul

Prenons la fonction f ci-dessous dont la droite passe par les points A(2 ; 2) et B(6 ; 3).

Méthode :

Solution :

On détermine maintenant la valeur de l’ordonnée à l’origine, on a :

On peut donc en déduire l’expression de f 👇

Louise

Mines ParisTech

24€/h

Nicolas

CentraleSupélec

17€/h

Fabien

Télécom Paris

20€/h

Clémence

HEC Paris

21€/h/h

Bastien

Polytechnique

26€/h

Pierre

ESSEC

16€/h

Simon

4e année de médecine

26€/h

Jade

Sciences Po Paris

21€/h

Besoin d’un prof particulier de maths ? ✨

Nos Sherpas sont là pour t’aider à progresser et prendre confiance en toi.

PRENDRE UN COURS GRATUIT

Cas particulier de la fonction affine : la fonction linéaire

Définition de la fonction linéaire

Une fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine.
Pour un nombre m, la fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx est une fonction linéaire. Son expression algébrique s’écrit : f(x) = mx
Elle se caractérise par une
droite passant par l’origine du repère
Elle représente une situation de proportionnalité avec comme coefficient de proportionnalité le coefficient directeur de la fonction linéaire, m.
Par une fonction linéaire, chaque image a
un seul antécédent

.

Exemple : La représentation graphique de f(x) = 3x est :

👉 On a bien l’image de 1 qui est 3, soit le point (1 ; 3)

Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire

On considère la fonction linéaire f telle que f(4) = 2. Déterminons son coefficient directeur m.

Méthode :

f est une fonction linéaire donc f(x) = mx
On peut donc exprimer f(3) en fonction de m grâce à son expression algébrique
Or on connaît la valeur de f(3) donc on peut résoudre une équation d’inconnu m.

Solution :

La fonction f est linéaire donc f(4) = 2 peut s’écrire sous la forme f(x) = mx

Donc on peut remplacer les x dans l’expression algébrique par 4, donc on a :

f(4) = m*4 or f(4) = 2 donc m*4 = 2

Représenter une fonction linéaire 🔍

Représentons dans un repère la fonction linéaire f telle que f(x) = 2x.

Méthode :

Une fonction linéaire se caractérise par une
droite passant par l’origine

du repère.
Donc on considère l’origine du repère comme un premier point, et il suffit de trouver un second point de cette droite pour pouvoir la tracer.
Pour cela, on choisit un nombre quelconque et on calcule son image.

Solution :

Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine O du repère. On choisit un nombre quelconque, par exemple 1 et on calcule son image :

f(1) = 21 = 2 donc la droite passe aussi par le point A(1 ; 2).

La droite (OA) est donc la courbe représentative f.

Tips 💡

Selon l’échelle de ton graphique, tu peux choisir des points plutôt éloignés pour plus de précision. Tu peux aussi placer un troisième point pour vérifier l’alignement.

Synthèse sur les fonctions affines 💭

Pour conclure cet article, voilà un petit rappel sur les fonctions. Car souviens-toi bien que pour déterminer une fonction affine, il faut d’abord bien connaître son sujet ! 😉