Diviser des nombres relatifs

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Division de nombres relatifs

Division de nombres relatifs

Pour diviser deux nombres relatifs il faut d’abord regarder les signes ( + ou – )

1er cas : les signes sont identiques :

On divise les deux nombres sans prêter attention aux signes et le résultat aura obligatoirement le signe + .

Exemples :
( – 9 ) / ( – 3 ) = + (9 / 3) = + 3
( + 8 ) / ( + 4 ) = + ( 8 / 4 ) = + 2

2e cas : Les signes sont différents :

On divise les deux nombres sans prêter attention aux signes et le résultat aura obligatoirement le signe – .

Exemples :
( – 9 ) / ( + 3 ) = – 3

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(- 27) / (- 3) =

(+ 9) / (- 9)=

(+ 33) / (- 3)=

(- 49) / (+ 7) =

(- 121) / (- 11) =

(+ 8,6) / (- 4,3) =

(+ 12) / (+ 6) =

(- 16) / (- 16) =

0 / (- 11) =

(+ 7) / (+ 1) =

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Nombres relatifs (6)- Multiplication et division – cours

I) La règle :

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante :

La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s’obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres.

Le signe du résultat s’obtient grâce à la fameuse ‘REGLE DES SIGNES’ :

PLUS par PLUS donne PLUS

PLUS par MOINS donne MOINS

MOINS par PLUS donne MOINS

MOINS par MOINS donne PLUS

‘par’ pour ‘multiplié par’ ou ‘divisé par’ : la règle des signes est la même pour les deux opérations.

Exemples :

(+ 3) x (- 5) = (- 15)

(+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5)

(- 11) x (- 6) = (+ 66)

(- 42) : (+ 7) = (- 6)

(- 21) : (- 6) = (+ 3,5)

II) Mais pourquoi ?

1) La multiplication.

La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres : par exemple :

• (+ 2) x (+ 3) c’est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
• (+ 3) x (- 5) c’est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)
• La multiplication est commutative (on peut changer l’ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15) aussi.

Ainsi se justifient les trois premières lignes de la ‘règle des signes’ pour la multiplication.

• C’est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs.

Considérons le calcul :

A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ]

A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés)

A = 0.

Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition, on a aussi

A = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3)

donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3)

Comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0.

Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l’opposé de (- 15) ! )

Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication.

2) La division.

Une division donne le résultat d’une multiplication à trou :

(+8) : (+2)= ? c’est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) : (+2) = (+4)

(-15) : (+3)= ? c’est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) : (+3) = (-5)

(+24) : (-6)= ? c’est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) : (-6) = (-4)

(-14) : (-7)= ? c’est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) : (-7) = (+2)

La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication…et la ‘règle des signes’ est la même.

EXERCICE : trouvez le bon résultat … Attention aux signes !

 

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Un nombre positif divisé par un nombre négatif donne un résultat négatif.

Un nombre positif divisé par un nombre positif donne un résultat positif.

Un nombre négatif divisé par un nombre négatif donne un résultat positif.

Un nombre négatif divisé par un nombre positif donne un résultat négatif.

Le signe du quotient de 2 nombres relatifs est:

La 1 ère étape est de déterminer le signe (positif ou négatif) du résultat de la division.

2

Effectuer la division

Tu peux ensuite effectuer tes calculs comme si les signes n’existaient pas !

La 2ème étape est de diviser les nombres relatifs sans prendre en compte leur signe.

Note le résultat derrière le signe trouvé à l’étape précédente.

15 : 3 = 5.

6 : 2 = 3.

20 : 4 = 5.

18 : 6 = 3.

Un nombre sans signe devant lui est considéré comme positif.

Il n’est donc pas obligatoire de noter le signe « + » devant un nombre positif.

3 et 5 sont des nombres positifs.

-3 et -5 sont des nombres négatifs.

Introduction :

En 5e, nous avons appris à additionner et à soustraire des nombres relatifs. Nous allons en 4e apprendre à les multiplier et à les diviser.

Rappel

Un nombre relatif est formé d’un signe +++ ou −-− et d’un nombre appelé distance à zéro.
L’ensemble des nombres positifs (comportant un signe +++) et des nombres négatifs (comportant un signe −-−) constitue l’ensemble des nombres relatifs.
L’opposé d’un nombre relatif est le même nombre mais avec le signe opposé. Par exemple, l’opposé de 222 est −2-2−2. L’opposé de −2-2−2 est 222.

Multiplication de nombres relatifs

Produit de deux nombres relatifs de même signe

Propriété

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

(+9)×(+7)=+63(+9) times (+7) = +63(+9)×(+7)=+63 s’écrit tout simplement 9×7=639 times 7 = 639×7=63
(−5)×(−6)=+30(-5) times (-6) = +30(−5)×(−6)=+30 s’écrit plus simplement −5×(−6)=30-5 times (-6) = 30−5×(−6)=30

• (−5)(-5)

  (

  −

  5

  )

  et

  (−6)(-6)

  (

  −

  6

  )

  sont de même signe, donc leur produit est positif.

Produit de deux nombres relatifs de signes contraires

Propriété

Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

(−9)×(+8)=−72(-9) times (+8) = -72(−9)×(+8)=−72 s’écrit plus simplement −9×8=−72-9 times 8 = -72−9×8=−72

• −9-9

  −

  9

  et

  +8+8

  +

  8

  sont de signes contraires, donc leur produit est négatif.

(+4,5)×(−3)=−13,5(+4,5) times (-3) = -13,5(+4,5)×(−3)=−13,5 s’écrit plus simplement 4,5×(−3)=−13,54,5 times (-3) = -13,54,5×(−3)=−13,5

• 4,54,5

  4

  ,

  5

  et

  −3-3

  −

  3

  sont de signes contraires, donc leur produit est négatif.

Cas particuliers

À retenir

• Le produit d’un nombre relatif par

  11

  1

  est égal à ce nombre.

aaa étant un nombre relatif : a×1=1×a=a a times 1 = 1 times a = aa×1=1×a=a

• Le produit d’un nombre relatif par

  −1-1

  −

  1

  est égal à son opposé.

aaa étant un nombre relatif : a×(−1)=(−1)×a=−a a times (-1) = (-1) times a = -aa×(−1)=(−1)×a=−a

Attention

−a-a−a n’est pas toujours un nombre négatif.
Si a=−2,3a=-2,3a=−2,3 alors −a=−(−2,3)=2,3-a=-(-2,3)=2,3−a=−(−2,3)=2,3

• Le produit d’un nombre relatif par

  00

  est égal à

  00

  .

aaa étant un nombre relatif : a×0=0×a=0atimes0=0times a=0a×0=0×a=0

Multiplication de plusieurs nombres relatifs différents de 000

À retenir

Dans un produit de plusieurs facteurs :

• si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est un nombre positif ;
• si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est un nombre négatif ;
• la distance à zéro du produit est égale au produit des distances à zéro de tous les facteurs.

Exemple

A=(−1)×(−2)×(−3)×4×(−5)A = (-1) times (-2) times (-3) times 4 times (-5)A=(−1)×(−2)×(−3)×4×(−5)

On compte le nombre de facteurs négatifs : A=(−1)×(−2)×(−3)×4×(−5)A = red{(-1)} times red{(-2)} times red{(-3)} times 4 times red{(-5)}A=(−1)×(−2)×(−3)×4×(−5)
Il y en a 444.

• Or

  44

  4

  est un nombre pair, donc le produit est positif.

On effectue le produit des distances à zéro :

A=(1×2×3×4×5)A=120begin{aligned}A& = (1 times 2 times 3 times 4 times 5)A& = 120end{aligned}AA​=(1×2×3×4×5)=120​

Exemple

B=(−1)×2×(−3)×4×(−5) B = (-1) times 2 times (-3) times 4 times (-5)B=(−1)×2×(−3)×4×(−5)

On compte le nombre de facteurs négatifs : B=(−1)×2×(−3)×4×(−5)B = red{(-1)} times 2 times red{(-3)} times 4 times red{(-5)}B=(−1)×2×(−3)×4×(−5)
Il y en a 333.

• Or

  33

  3

  est un nombre impair, donc le produit est négatif.

B=−(1×2×3×4×5)B=−120begin{aligned}B& = – (1 times 2 times 3 times 4 times 5)B& = -120end{aligned}BB​=−(1×2×3×4×5)=−120​

Division de deux nombres relatifs

Définition du quotient d’un nombre relatif aaa par un nombre relatif bbb non nul

Définition

Quotient d’un nombre relatif :

Le quotient d’un nombre relatif aaa par un nombre relatif bbb non nul est le nombre par lequel il faut multiplier bbb pour obtenir aaa.
Le quotient de aaa par bbb est noté abdfrac{a}{b}ba​ ou a÷ba div ba÷b.

Exemple

−639dfrac{-63}{9}9−63​ ou −63÷9-63div 9−63÷9 est le nombre qui multiplié par 999 est égal à −63-63−63.
Comme 9×(−7)=−639times(-7)=-639×(−7)=−63 alors −63÷9=−7 -63 div 9 = -7−63÷9=−7

Quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul

À retenir

• Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.

• Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif.

• La distance à zéro du quotient de deux nombres relatifs est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

75÷375div 375÷3757575 et 333 sont tous deux positifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule : 75÷3=753=2575div 3 = dfrac{75}{3} = 2575÷3=375​=25

−15÷(−2)-15div (-2) −15÷(−2)−15-15−15 et −2-2−2 sont tous deux négatifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule : −15÷(−2)=−15−2=7,5-15div (-2) = dfrac{-15}{-2}= 7,5−15÷(−2)=−2−15​=7,5

100÷(−4)100 div (-4)100÷(−4)100100100 et −4-4−4 sont de signes opposés. Le résultat sera donc un nombre relatif négatif.
On calcule :100÷(−4)=100−4=−25100 div (-4) = dfrac{100}{-4} = -25100÷(−4)=−4100​=−25

Astuce

Le quotient d’un nombre relatif par 111 est ce même nombre relatif.
a1=adfrac {a}{1} = a1a​=aLe quotient d’un nombre relatif par −1-1−1 est l’opposé de ce nombre relatif.a−1=−adfrac {a}{-1} = -a−1a​=−a

Le quotient d’un nombre relatif non nul par lui-même est égal 111.
bb=1dfrac {b}{b} = 1bb​=1 

Le quotient d’un nombre relatif non nul par son opposé est égal −1-1−1.
b−b=−bb=−1dfrac {b}{-b} = dfrac {-b}{b} = -1−bb​=b−b​=−1

Le quotient de 000 par un nombre relatif non nul est égal 000.
0b=0dfrac {0}{b} = 0b0​=0

Valeurs approchées du quotient de deux nombres relatifs et encadrements

On considère le quotient −3÷7-3 div 7−3÷7 qui se note −37dfrac{-3}{7}7−3​ ou −37-dfrac{3}{7}−73​

La division de 333 par 777 ne s’arrête pas, cela signifie que le reste de la division ne sera jamais zéro.
Le quotient obtenu n’est pas un nombre décimal (un nombre décimal a une suite décimale limitée).
Le quotient obtenu est un nombre réel (un nombre réel peut avoir une suite décimale illimitée).

• Par conséquent, nous ne pouvons pas donner une écriture décimale de ce quotient.

Nous pouvons par contre donner :

• des encadrements de ce quotient :

−0,5<−37<−0,4  →  -0,5<-dfrac{3}{7}<-0,4 ,, rightarrow ,,−0,5<−73​<−0,4→ c’est un encadrement au dixième près de −37-dfrac{3}{7}−73​ ;

−0,43<−37<−0,42  →  -0,43<-dfrac{3}{7}<-0,42 ,, rightarrow ,,−0,43<−73​<−0,42→ c’est un encadrement au centième près de −37-dfrac{3}{7}−73​ ;

• des valeurs approchées de ce quotient :

−0,5-0,5−0,5 est une valeur approchée par défaut au dixième près de −37-dfrac{3}{7}−73​ ;
−0,4-0,4−0,4 est une valeur approchée par excès au dixième près de −37-dfrac{3}{7}−73​ ;
−0,43-0,43−0,43 est une valeur approchée par défaut au centième près de −37-dfrac{3}{7}−73​;
−0,42-0,42−0,42 est une valeur approchée par excès au centième près de −37-dfrac{3}{7}−73​.

Méthode pour effectuer un calcul comportant les quatre opérations

On prend l’expression suivante :
C=−6+28÷[3×(−5)−(7−8)] C = -6 + 28div [3 times (-5) – (7 – 8)]C=−6+28÷[3×(−5)−(7−8)]

• On effectue d’abord le calcul entre les parenthèses les plus intérieures :

C=−6+28÷[3×(−5)−(7−8)]C=−6+28÷[3×(−5)−(−1)]begin{aligned}C& = -6+ 28div [3 times (-5) – red{(7 – 8)}]C& = -6 + 28div [3 times (-5) – red{(-1)}]end{aligned}CC​=−6+28÷[3×(−5)−(7−8)]=−6+28÷[3×(−5)−(−1)]​

• On respecte la priorité de la multiplication sur la soustraction :

C=−6+28÷[3×(−5)−(−1)]C=−6+28÷[−15−(−1)]begin{aligned}C& = -6+ 28div [red{3 times (-5)} – (-1)]C& = -6+ 28div [red{-15} – (-1)]end{aligned}CC​=−6+28÷[3×(−5)−(−1)]=−6+28÷[−15−(−1)]​

• On effectue le calcul entre crochets :

C=−6+28÷[−15−(−1)]C=−6+28÷(−15+1)C=−6+28÷(−14)begin{aligned}C& = -6+ 28div red{[-15 – (-1)]}C& = -6 + 28div red{(-15 + 1)} C& = -6 + 28div red{(-14)}end{aligned}CCC​=−6+28÷[−15−(−1)]=−6+28÷(−15+1)=−6+28÷(−14)​

• On respecte la priorité de la division sur l’addition :

C=−6+28÷(−14)C=−6+(−2)begin{aligned}C& = -6 + red{28 div (-14)} C& = -6 + red{(-2)}\end{aligned}CC​=−6+28÷(−14)=−6+(−2)​

• On effectue la dernière addition :

C=−6+(−2)C=−8begin{aligned}C& = red{-6 + (-2)}C& = red{-8}end{aligned}CC​=−6+(−2)=−8​

Conclusion :

La règle des signes pour un quotient est identique à la règle des signes pour un produit.