Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°43960 : Division : Dividende entier – Diviseur décimal – cours
Division : Dividende entier – Diviseur décimal – cours
Ce test fait suite au test N° 43757.
Aujourd’hui nous allons poursuivre l’étude de la technique de la division en abordant le cas du
DIVIDENDE ENTIER & DIVISEUR DECIMAL
2,5 m de tissu coûtent 15 €.
Quel est le prix d’1 m de tissu?
15:2,5 =?
Je ne sais pas diviser un entier par un nombre décimal, mais si je fais appel à la proportionnalité, je peux dire que 25 m de tissu coûteraient 150€=> le prix du mètre de tissu serait de 150/25 =6€
Posons la division:
On va rendre le diviseur entier .
Etape 1 : Je multiplie le diviseur par 10 pour le rendre entier.
Etape 2 : Je multiplie le dividende par 10 en écrivant un zéro à sa droite.
Etape 3 :J’effectue la division.
9:2,25=?
On va rendre le diviseur entier .
Etape 1 : Je multiplie le diviseur par 100 pour le rendre entier.
Etape 2 : Je multiplie le dividende par 100 en écrivant 2 zéros à sa droite.
Etape 3 :J’effectue la division.
Dans tous les cas, je commence par rendre le diviseur entier.
Si j’avais un diviseur avec 3 chiffres après la virgule, je procéderais de même en le multipliant par 1 000 et en ajoutant 3 zéros au dividende.
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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°44280 : Division: Dividende et diviseur décimaux – cours
Division: Dividende et diviseur décimaux – cours
Ce test fait suite au N° 43960 test
Aujourd’hui, nous allons poursuivre l’étude de la technique de la division en abordant le cas où le dividende et le diviseur sont des nombres décimaux.
DIVIDENDE ET DIVISEUR DECIMAUX
Une boîte de 2,5 kg de peinture pour plafond coûte 11,75€.
Quel est le prix d’1 kg de peinture?
11,75 : 2,5 = ?
Je ne sais pas diviser un nombre décimal par un nombre décimal, mais je sais diviser un nombre décimal par un nombre entier (test n°43757)
Si je fais appel à la proportionnalité, je peux dire que 25 kg de peinture coûteraient 117,50€ => le prix du kg de peinture est de 117,50/25 = 4,70€
Posons la division:
On va rendre le diviseur entier .
Etape 1 : Je multiplie le diviseur par 10 pour le rendre entier.
Etape 2 : Je multiplie le dividende par 10 en déplaçant la virgule d’un rang vers sa droite.
Etape 3: J’effectue la division.
Lorsque j’abaisse le 5 (1er chiffre décimal du dividende), je n’oublie pas de placer la virgule au quotient.
Je rends toujours le diviseur entier pour commencer.
Si la partie décimale du dividende n’a pas assez de chiffres, je la complète avec des zéros, puis je supprime les virgules et éventuellement les zéros inutiles.
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Effectuer la Division Décimale de 2 Nombres Entiers Fiche ❯ Sixième ❯ Opération
La division décimale est une technique de calcul qui permet de diviser 2 nombres entiers pour obtenir un quotient décimal:
- Le dividende est le nombre qui est divisé.
- Le diviseur est le nombre qui divise.
- Le quotient est le résultat de la division.
Le dividende est « 95 ».
Le diviseur est « 4 ».
Le quotient décimal est « 23,75 ».
On parle de quotient décimal car il possède une partie décimale (chiffres derrière la virgule).
Avant d’apprendre la division décimale, assure-toi de maîtriser la division euclidienne.
Fiche de Synthèse
Effectuer une division euclidienne avec reste
Comment effectuer la division décimale de 95 par 4 ?
-
1
Effectuer une division euclidienne
La division décimale commence par une division euclidienne.
Effectue la division euclidienne des 2 nombres entiers afin de trouver le quotient et le reste.
Le quotient de la division euclidienne est « 23 ».
Le reste de la division euclidienne est « 3 ».
-
2
Trouver le 1er chiffre décimal du quotient
Ajoute un « » derrière le reste et place une virgule derrière le quotient.
Tu peux alors trouver le 1er chiffre décimal du quotient en répondant à cette question:
Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste ?
Écris la réponse derrière la virgule du quotient.
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 30 est obtenu en multipliant le diviseur par 7.
Le 1er chiffre décimal du quotient est donc 7.
-
3
Calculer un nouveau reste
La suite des opérations s’effectue comme une division euclidienne.
Multiplie le diviseur par le chiffre derrière la virgule, puis effectue une soustraction pour obtenir un nouveau reste.
Le nouveau reste de la division décimale est « 2 ». -
4
Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul
Ajoute un « 0 » derrière le reste et recommence les 2 étapes précédentes.
La division décimale est terminée lorsque tu obtiens un reste égal à .
La division décimale est terminée car le reste est nul (0).
Le quotient exact est « 23,75 ».
Valeur Approchée
Certaines divisions décimales ne s’arrêtent jamais (le reste n’est jamais nul).
Cette situation apparaît lorsque le quotient possède une partie décimale infinie !
La division décimale de 10 par 3 ne s’arrête jamais car le reste n’est jamais nul (0).
La partie décimale du quotient est infinie.
Dans ces circonstances, il est impossible de calculer le quotient exact de la division décimale.
Par contre, tu peux donner une valeur approchée du quotient:
- La valeur approchée au dixième près possède 1 chiffre décimal.
- La valeur approchée au centième près possède 2 chiffres décimaux.
- La valeur approchée au millième près possède 3 chiffres décimaux.
3,3 est la valeur approchée au dixième près du quotient.
3,33 est la valeur approchée au centième près du quotient.
3,333 est la valeur approchée au millième près du quotient.
Cas Particulier
Lorsque le dividende est plus petit que le diviseur, la division décimale est un peu particulière.
La 1ère étape est de trouver le quotient et le reste de la division euclidienne.
Ce quotient est toujours « 0 » car la diviseur est plus grand que le dividende.
Le dividende (2) est plus petit que le diviseur (16).
Le quotient de la division euclidienne est « 0 ».
Le reste de la division euclidienne est « 2 ».
Les étapes suivantes sont les mêmes que pour une division décimale classique.
Ajoute un « 0 » derrière le reste, place une virgule derrière le quotient, et poursuis tes calculs normalement.
La division décimale se termine lorsque tu obtiens un reste nul.
Le reste de la division décimale est nul (0).
Le quotient exact de la division décimale est « 0,125 ».
Lorsque le dividende est plus petit que le diviseur, la partie entière du quotient est toujours « « .
Équation Mathématique
Il existe une équation mathématique qui unit les 3 éléments de la division décimale.
Le dividende est toujours égal au produit (multiplication) du diviseur par le quotient exact (le reste est égal à 0).
Cette équation mathématique unit le dividende, le diviseur et le quotient exact d’une division décimale.
Tu peux utiliser cette équation pour vérifier que le quotient exact est correct:
- Si l’égalité est vraie, la division décimale a bien été effectuée.
- Si l’égalité est fausse, la division décimale contient une erreur.
Le dividende (95) est égal au produit du diviseur (4) par le quotient exact (23,75).
L’égalité est vraie, la division décimale est donc correcte.
Exercice de Synthèse
Vérifiez si votre puissance mathématique a augmenté !
Effectuez la division décimale de ces 2 nombres entiers, puis comparez votre réponse avec la correction.
Exercice: Effectuer la division décimale de 789 par 8.
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<![if !supportLists]>
<![endif]>Avec une virgule de chaque côté, dividende et diviseur, comment procéder?
<![if !supportLists]> <![endif]>Le résultat de la division ne change pas si on multiplie par 10 de chaque côté.
Par exemple: 8/2 = 4 et 80/20 = 4.
<![if !supportLineBreakNewLine]>
<![endif]>
<![if !supportLists]> <![endif]>Alors multiplions par 10, ce qui donnera: 332,8 / 52
La virgule du diviseur est éliminée. Puis, on effectue la division comme indiqué ci-dessus.
<![if !supportLists]> <![endif]>Avec plus de chiffres derrière la virgule du diviseur, on multiplie par 10 autant de fois que nécessaire pour « faire sortir » la virgule.
<![if !supportLists]> <![endif]>Il est parfois utile d’employer les puissances de 10. Notamment pour calculer l’ordre de grandeur.
<![if !supportLists]> <![endif]>En reprenant le dernier exemple:
0,001 = 1 x 10-3
à diviser par 5,213
=> 1 / 5,2 … <![if !msEquation]> <![if !vml]>
<![endif]><![endif]> 0,2
& avec la puissance de 10:
=> 0,2 10-3
Nous retrouvons bien les trois 0 à intercaler derrière la virgule.
Rappel
Dividende
Diviseur
ss
Exemple
33,28
5,2
?
Multiplication par 10 de chaque côté:
332,8
52
332
6,4
-312
208
-208
00
Multiplication par 100 de chaque côté:
332,8
5,21
<![if !msEquation]> <![if !vml]>
<![endif]><![endif]>
33280
521
?
63,877…
Multiplication par 1000 de chaque côté:
<![if !vml]>
<![endif]>
<![if !supportMisalignedColumns]>
La division est l’une des quatre opérations — les quatre concepts mathématiques de base que les élèves doivent connaître — aux côtés de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Là où la multiplication consiste à combiner un nombre plusieurs fois, la division est l’inverse : déterminer combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Par exemple, diviser 10 par 2 revient à demander combien de fois 2 est contenu dans 10. Mais comment faire une division ?
Comment faire une division à un chiffre ?
Voici des exemples pour apprendre à faire la division facilement :
Exemple 1 :
On dit :
• « Dans 8 combien de fois 6 ; 1 fois. Je marque 1dans le quotient ».
• « 8 moins 6 est égal à 2 ; j’abaisse 4 ».
• « Dans 24 combien de fois 6 ; 4 fois. Je marque 4 dans le quotient ».
• « 24 moins 24 est égal à 0 ».
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• Donc dans 84 il y a 14 fois 6 et il reste 0 : le quotient est 12 et le reste est 0.
Exemple 2 :
On dit :
• « Dans 7 combien de fois 5 ; 1 fois. Je marque 1dans le quotient ».
• « 7 moins 5 est égal à 2 ; j’abaisse 9 ».
• « Dans 29 combien de fois 5 ; 5 fois. Je marque 5 dans le quotient ».
• « 29 moins 25 est égal à 4 ».
• Donc dans 79 il y a 15 fois 5 et il reste 4 : le quotient est 15 et le reste est 4.
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Comment faire une division à 2 chiffres ?
- On encadre le dividende par des multiples de 10.
On commence par trouver le nombre de chiffres du quotient pour éviter les erreurs, c’est le 1.
23 x 10 < 651 < 23 x 100
Le quotient a 2 chiffres (il est compris entre 10 et 99).
- On ne peut diviser 6 par 23.
Alors, on divise 65 dizaines par 23.
2 dizaines x 23 = 46 dizaines
On enlève donc 46 à 65 et il reste 19 (car 65 = 2 x 23 + 19)
Ensuite, on a effectué une opération, on peut abaisser le chiffre suivant
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- 19 dizaines et 1 unité font 191 unités.
Donc, on va diviser 191 par 23
8 x 23 = 184
On retire ces 184 de 191 : il reste 7.
On s’assure que 7 est bien inférieur au diviseur 23.
Comment faire une division à 3 chiffres ?
- On encadre le dividende par des multiples de 10.
On commence par trouver le nombre de chiffres du quotient pour éviter les erreurs, c’est le 1.
136 x 10 < 9 815 < 136 x 100
Le quotient a 2 chiffres (il est compris entre 10 et 99).
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- on divise 981 par 136.
7 x 136 = 952
On enlève donc 952 à 981 et il reste 29 (car 981 = 7 x 136 + 29)
Nous avons effectué une opération, nous pouvons abaisser le chiffre suivant
- 29 dizaines et 5 unités font 295 unités.
On va donc diviser 295 par 136
2 x 136 = 272
On retire ces 272 de 295 : il reste 23.
On s’assure que 23 est bien inférieur au diviseur 136.
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Comment faire une division avec virgule ?
Il existe 2 types de divisions à virgules.
- Type 1 : celles qui ont une virgule au dividende
- Type 2 : celles qui ont une virgule au diviseur
Et bien sûr, celles qui ont un nombre à virgule au dividende et au diviseur. Celles-ci se traitent comme une division de type 2.
une division avec virgule au dividende
Voici la division qui sera notre exemple : 589,7 : 13.
Étape 1
Pour le début, on procède comme pour une division sans virgule.
On écrit les nombres en « colonne » et on commence par utiliser le premier (ou les 2 premiers) chiffre du dividende.
On dit « combien de fois peut-on mettre 13 dans 58 ? »
Nous mettons le résultat en dessous du diviseur.
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(Nous pouvons mettre 4×13 dans 58).
Étape 2
Puis on multiplie le résultat trouvé et le diviseur.
On inscrit le produit (4×13=52) en dessous des chiffres utilisés du dividende.
On soustrait ensuite le produit obtenu du dividende pour obtenir un reste (58-52=6).
Le reste (6) doit toujours être plus petit que le diviseur, sinon c’est qu’il y a une erreur (6 < 13, alors ok).
Étape 3
On descend le chiffre suivant du dividende et on recommence dès l’étape 1.
Étape 4
On continue de même, mais quand on « passe par-dessus la virgule » pour descendre le chiffre suivant, on l’ajoute également au quotient.
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On continue ensuite normalement l’étape 1.
une division avec virgule au diviseur
Voici la division qui sera notre exemple : 762 : 2,3.
On transforme tout d’abord la division à virgule en division sans virgule en amplifiant le dividende et le diviseur autant que nécessaire pour ne plus avoir de virgule.
Dans notre exemple, on amplifie par 10.
762 x 10 = 7 620 2,3 x 10 = 23
On obtient donc un nouveau calcul : 7620 : 23 Le résultat de 762 : 2,3 sera le même que celui de 7620 : 23. Parce que si on a 10x plus de pommes et 10x plus d’élèves, chaque élève a le même nombre de pommes.
Étape 1
On procède ensuite comme une division « normale ».
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On écrit les nombres en « colonne » et on commence par utiliser le premier (ou les 2 ou 3 premiers) chiffre du dividende.
Donc, « combien de fois peut-on mettre 23 dans 76 ? »
On inscrit le résultat en dessous du diviseur. (Nous pouvons mettre 3 x 23 dans 76).
Étape 2
Puis on multiplie le résultat trouvé et le diviseur. On inscrit le produit (3 x 23 = 69) en dessous des chiffres utilisés du dividende.
On soustrait ensuite le produit obtenu du dividende pour obtenir un reste (76-69=7).
Le reste (7) doit toujours être plus petit que le diviseur, sinon c’est qu’il y a une erreur (7<23, alors ok).
Étape 3
On descend le chiffre suivant du dividende et on recommence dès l’étape 1.
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Étape 4
On continue de même, mais quand il n’y a plus de chiffre à baisser, on « baisse un 0 imaginaire ». Quand on « baisse un 0 imaginaire », on ajoute une virgule au quotient.
On continue ensuite en reprenant à l’étape 1autant de fois que nécessaire pour ne plus avoir de reste.
Certaines divisions ne se terminent jamais. Dans ce cas, dans notre classe, on décide de s’arrêter à 3 décimales et de garder un reste.
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