• Quand la recherche d’une valeur exacte est sans intérêt ou impossible, on donne un ordre de grandeur.
Exemple : la superficie de la France est de l’ordre de 550 000 km2.
• Donner un ordre de grandeur permet aussi de prévoir ou de vérifier le résultat d’un calcul.
Exemple : on doit calculer 1,9 × 3,1.
Ce produit est proche de : 2 × 3 = 6.
En effectuant, on trouve 5,89.
5,89 est effectivement proche de 6.
Autre exemple : en calculant (11 + 88) × 9, Paul a trouvé 8 191.
Il contrôle en cherchant l’ordre de grandeur du produit :
11 + 88 est proche de 10 + 90 = 100.
Le produit est proche de : 100 × 9 = 900.
Le résultat de Paul est donc faux car 8 191 n’est pas proche de 900.
Il refait le calcul et trouve 891.
Estimer un ordre de grandeur
6. Ordre de grandeur d’un nombre
Calculer un ordre de grandeur, c’est trouver une valeur « arrondie », facile à calculer pour déterminer rapidement une valeur approchée du résultat et éviter les erreurs grossières.
Il existe alors deux définitions d’un ordre de grandeur d’un nombre :
Définition 1. (du bon sens)
L’ordre de grandeur d’un nombre ou d’un résultat est égal au nombre le plus proche, arrondi à la position la plus élevée de ce nombre ou de ce résultat.
EXEMPLES
$bullet$ L’ordre de grandeur de $61,35$ est $60$.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $66,35$ est $70$ .
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des dizaines.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $0,348$ est $0,3$.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $0,352$ est $0,4$.
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des dixièmes.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $350$ est $400$.
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des centaines et le chiffre suivant est un $5$. Il fait partie du deuxième groupe parmi les dix chiffres : ${0;1;2;3;4}$ et ${5;6;7;8;9}$.
Définition 2. En physique-Chimie
Pour calculer l’ordre de grandeur d’une longueur, dans une unité donnée, est égal à la puissance de $10$ la plus proche de sa valeur dans cette unité.
La suite des puissances de 10 est :
$$ldots 0,001; ; ; 0,01; ; ; 0,1 ; ; ; color{red}{boxed{; 1;}} ; ; ; 10 ; ; ; 100 ; ; ; 1000 ; ; ; ldots$$
En physique-Chimie, l’ordre de grandeur d’une longueur, est égal à la valeur la plus proche parmi ces nombres.
On appelle cette liste « une échelle logarithmique ».
EXEMPLES. En physique-Chimie
Déterminer les ordres de grandeur des deux longueurs suivantes :
1°) $N=1315,95$ m.
2°) $M=0,079times 10^{-5}$ m.
Point méthode 1.
1°) On écrit le nombre $N$ en notation scientifique sous la forme $atimes 10^n$, avec $1leqslant a<10$.
2°) puis on distingue les deux cas :
$quadbullet$ Si $1leqslant a<5$, on arrondit $a$ à $1$. Alors l’ordre de grandeur de $N$ est : $$Nsimeq 10^n.$$
$quadbullet$ Si $5leqslant a<10$, on arrondit $a$ à $10$. Alors l’ordre de grandeur de $N$ est : $$Nsimeq 10^{n+1}.$$
Corrigé de l’exercice
1°) On commence par écrire $N=1315,95$ en notation scientifique :
$N=1315,95=1,31595times 10^3$, avec $a=1,31595$.
Comme $1leqslant 1,31595<5$, on arrondit $a$ à $1$. Donc, $Nsimeq1times 10^3$.
Par conséquent :
$$color{red}{boxed{;1315,95~text{m}simeq 10^3~text{m};}}$$
Corrigé de l’exercice
On commence par écrire $N=0,079times 10^{-5}$ en notation scientifique :
$M=7,9times 10^{-2}times 10^{-5}=7,9 times 10^{-2-5}=7,9times 10^{-7}$, avec $a=7,9$.
Comme $5leqslant 7,9<10$, on arrondit $a$ à $10$. Donc, $Msimeq 10times 10^{-7}$.
Par conséquent :
$$color{red}{boxed{;0,079times 10^{-5}~text{m}simeq 10^{-6}~text{m};}}$$
6.2. Estimer un ordre de grandeur dans un calcul
Point méthode 2.
Pour estimer l’ordre de grandeur d’un résultat dans un calcul, Il suffit de remplacer chacun des termes ou des facteurs par son ordre de grandeur et effectuer un calcul mental simple.
EXEMPLES
L’ordre de grandeur de $2,85times 61,35$ est $3times 60=180$.
L’ordre de grandeur de $5,78times 0,348$ est $6times 0,3=1,8$.
L’ordre de grandeur de $365times 1365$ est $400times 1000=400,000$.
APPLICATIONS
$color{red}{Dans; la; vie courante}$, à l’échelle ordinaire, Vincent achète $27,5~$m de tissu à $21,99~$€ le mètre. Un ordre de grandeur de chacun de ces deux nombres arrondis à la position la plus élevée est :
$27,5simeq 30$ et $21,99simeq 20$. On effectue un calcul mental de l’opération : $30times 20 =600$.
Ainsi, un ordre de grandeur du prix du morceau de tissu est d’environ $600~$€.
Le calcul exact donnerait : $27,5times 21.99 = 604,725$.
$color{red}{En; Astronomie}$, à l’échelle de l’infiniment grand, l’Univers est formé de systèmes solaires, d’étoiles, de galaxies,…
Notre système solaire est composé d’une étoile, le Soleil, de huit planètes qui gravitent autour du Soleil et d’autres corps : satellites, astéroïdes, comètes,…
L’unité de mesure est la distance Terre-Soleil qui est d’environ $150,000,000~$km « cent cinquante millions de kilomètres » et qui s’écrit en notation scientifique : $d_{TS}=1,5times 10^8~$km.
La distance Terre-Lune est de $384,000~$km, qu’on note $d_{TL}=384times 10^3~$km.
L’ordre de grandeur de $d_{TL}$ est d’environ $400times 10^3=400,000~$km.
$color{red}{En; physique}$, à l’échelle de l’infiniment petit, l’Univers est composé d’atomes, qui peuvent se regrouper en molécules, puis former des chaînes,…
Un atome est lui-même composé d’un noyau et d’électrons en mouvement qui gravitent autour du noyau. Le noyau lui-même est composé d’autres particules,etc…
L’ordre de grandeur d’un rayon atomique est de « un dix milliardième de mètre », soit $10^{-10}$.
L’ordre de grandeur d’un rayon d’un noyau d’un atome est de « un millionième de milliardième de mètre », soit $10^{-15}$.
Définition.
$1~a.l.$ se lit « Une année lumière ».
$1~a.l.$ = distance parcourue par une particule qui se déplace à la vitesse (célérité) de la lumière $c=300;000~$km/s (qu’on note km.s${}^{-1}$) pendant une année.
Une année = 365,25 jours $times$ 24 heures $times$ 60 minutes $times$ 60 secondes.
Calculer d’abord un ordre de grandeur de $C$ puis la valeur exacte, qu’on peut aussi arrondir.
Exercices
EXERCICE RÉSOLU n° 1. Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
$N = 65,732$ ; $M=0,0589$ et $P=325times 10^5$.
Corrigé.
Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
a) L’ordre de grandeur de $N = 65,732$ est $70,000$. On écrit $Nsimeq 70,000$.
b) L’ordre de grandeur de $M=0,0589$ est $0,06$. On écrit : $Msimeq 0,06$.
c) L’ordre de grandeur de $P=325times 10^5$ est $300times 10^5=30,000,000$ ou encore : $Psimeq 3times 10^5$.
EXERCICE RÉSOLU n°2. Déterminer les ordres de grandeur des résultats des calculs suivants :
$A=64,5+38,89$ ; $B= 69,5times38,89+458,56$ et $C=1 a.l.$ (Une année-lumière).
Corrigé.
Calcul des ordres de grandeur des résultats de calcul :
a) $A=64,5+38,89simeq 60+40 = 100$. Ainsi un ordre de grandeur de $A$ est égal à $100$.
b) $B= 69,5times38,89+458,56$
$quad B simeq 70times 40 + 500$
$quad Bsimeq 2800+500=3300$.
Ainsi un ordre de grandeur de $B$ est égal à $3300$.
c) $C=1 a.l.$= distance parcourue par une particule qui se déplace à la vitesse (célérité) de la lumière $c=300,000~$km/s (qu’on note km.s${}^{-1}$) pendant une année.
$quad C = 365,25times 24 times 60 times 60 times 300,000$
$quad Csimeq 400times 20 times 60 times 60 times 300,000$
$quad Csimeq 4times 2 times 6 times 6 times 3times 10,000,000,000$
$quad C simeq 48times 18times 10,000,000,000$, en regroupant les trois premiers facteurs puis les 2 suivants.
$quad C simeq 50times 20times 10,000,000,000$
$quad C simeq 1000times 10,000,000,000$
Par conséquent : $C simeq 10,000,000,000,000$, qu’on peut écrire en notation scientifique $color{red}{boxed{;1, a.l.simeq 1times 10^{13};}}$
Remarque
A la calculatrice, on obtient la valeur exacte à quelques décimales près : $color{red}{boxed{; 1, a.l. = 9,46728…times 10^{12};text{km};}}$.
En prenant un ordre de grandeur de $9,46728…simeq 10$, on obtient bien : $$1, a.l.simeq 1times 10^{13};text{km}$$
Liens connexes
- On choisit comme précision 1 : on donne le résultat à l’unité près.
- 17,04 est proche de 17 (c’est la valeur approchée de 17,04 par défaut) et 8,99 est proche de 9 (valeur approchée par excès).
- L’ordre de grandeur demandé est donc
1
7
×
9
=
1
5
3
.
- Si on effectue l’opération, on obtient 153,1896, qui est effectivement proche de 153.
Remarque :
On aurait aussi pu choisir une précision à la dizaine. Alors
1
7
≈
2
;
8
,
9
9
≈
1
. Un ordre de grandeur du résultat est alors 200. L’approximation est moins précise, mais plus facile à calculer !
On aurait aussi pu choisir une précision à la dizaine. Alors. Un ordre de grandeur du résultat est alors 200. L’approximation est moins précise, mais plus facile à calculer !
Généralités sur la notion d’ordre de grandeur
Ordre de grandeur et langage courant
L’expression « ordre de grandeur » est souvent utilisée comme un synonyme du terme « approximation« . Dans le langage courant, lorsqu’on demande de donner un ordre de grandeur pour une dimension, pour une distance ou pour une autre grandeur physique, on attend en général une valeur approchée. Cependant, lorsqu’on rentre dans le domaine scientifique, l’expression « ordre de grandeur » possède une signification bien définie.
Définition de l’ordre de grandeur
L’ordre de grandeur d’une valeur correspond à la puissance de dix se rapprochant le plus de cette valeur.
Il permet notamment de calculer des valeurs approchées sans avoir recours à la calculatrice.
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Méthode de détermination d’un ordre de grandeur
Quelle est la méthode à utiliser pour déterminer un ordre de grandeur ?
Afin de déterminer l’ordre de grandeur d’une valeur donnée, il est recommandé de suivre la méthode suivante : Etape 1 : commencer par écrire la valeur en notation scientifique, c’est à dire sous la forme a x 10b , et dans l’unité souhaitée, correspondant le plus souvent à l’unité du système international. Ici, « b » est un entier relatif. Etape 2 : arrondir le terme « a » de cette notation scientifique à la dizaine supérieure ou bien à l’unité inférieure. Le terme « a » doit donc être compris entre 1 et 10. Etape 3 :
- Si a est strictement inférieur à 5 alors l’ordre de grandeur de a x 10b est 10b
- Si a est supérieur ou égal à 5 alors l’ordre de grandeur de a x 10b est de 10b+1
Quelques exemples d’applications de la méthode permettant de déterminer un ordre de grandeur
-
Exemple n°1
: déterminer l’ordre de grandeur de la valeur 1055,8 m
Etape 1 : en notation scientifique, la valeur 1055,8 mètres s’écrit sous la forme suivante : 1,0558 x 10 3 m. Etape 2 : le terme décimal 1,0558 est arrondi à au chiffre 1. Etape 3 : 1 étant strictement inférieur à 5, alors l’ordre de grandeur de la valeur 1055,8 mètres est donc 10 3 m 
-
E
xemple n°2
: déterminer l’ordre de grandeur de la valeur 6,05 x 10 8 m
Etape 1 : la valeur pour laquelle il faut déterminer l’ordre de grandeur se trouve déjà en notation scientifique. Etape 2 : le terme décimal 6,05 étant supérieur à 5 alors il peut être arrondi au chiffre 10 Etape 3 : 10 étant supérieur à 5, alors l’ordre de grandeur de la valeur 6,05 x 10 8 est donc 10 8+1 = 10 9 m
-
Exemple n°3
: déterminer l’ordre de grandeur de la valeur 35,6 nm
Etape 1 : en notation scientifique, la valeur 35,6 nm s’écrit sous la forme 35,6 x 10-9 m ou encore 3,56 x 10-8 m. Etape 2 : le terme décimal 3,56 est inférieur à 5, il peut donc être arrondi à 1. Etape 3 : l’ordre de grandeur de la valeur 35,6 nm est donc 10-8 m.
-
Exemple n°4
: déterminer l’ordre de grandeur de la valeur 6,5 mm
Etape 1 : en notation scientifique, la valeur 6,5 mm s’écrit sous la forme 6,5 x 10 -3 m Etape 2 : le terme décimal 6,5 est supérieur à 5, il peut donc être arrondi à 10. Etape 3 : pour finir, on peut en déduire un ordre de grandeur pour la valeur 6,5 nm : 10 -3+1 = 10 -2 m.
Ordre de grandeur : multiples et sous-multiples des unités
Les tableaux des multiples de dix (puissances de 10 ayant un exposant positif) et des sous multiples de 10 (puissances de 10 ayant un exposant négatif) se trouvant ci-dessous peuvent avoir un réel intérêt lorsqu’il s’agit de convertir des unités dans d’autres unités.
Multiples
PréfixeSymboleValeur década10^1 hectoh10^2 kilok10^3 mégaM10^6 gigag10^9 téraT10^12
Sous-multiples
PréfixeSymboleValeur décid10^-1 centic10^-2 millim10^-3 microµ10^-6 nanon10^-9 picop10^-12 femtof10^-15
Ordre de grandeur : les unités de distance
En astronomie, différentes unités de distance sont utilisées pour mesurer des éléments dans des échelles différentes.
- Le mètre (m) et le kilomètre (km) sont les unités de référence pour exprimer les mesures de distances sur la Terre.
- L’unité astronomique (UA), à ne pas confondre avec « ua » qui désigne les unités arbitraires, sera employée pour la mesure des distances dans le système solaire.
1 UA = 1,496 x 1011 m soit environ 150 millions de km, ce qui correspond à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil. 
- L’année-lumière (al) quant à elle, est employée pour exprimer les distances dans la Galaxie et dans l’Univers.
On sait que la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, également connue sous l’appellation « célérité » et notée « c » est égale à 299792458 m.s-1 soit environ 3 x 108 m.s-1 en notation scientifique.
De plus, une année est équivalente à 3,15 x 107 s.
Selon la relation liant la vitesse et la distance, il est possible de déterminer une année lumière. En effet, une année lumière (1 al) est égale à la distance parcourue par la lumière en une année dans le vide. Ce qui donne donc 1 al =
[frac{3times10^{8}m.s^{-1}}{3,15times10^{7}s}approx9,45times10^{15}]
Soit environ 9500 milliards de km ou 65 000 UA.
- Le parsec (pc) est également utilisé pour exprimer la mesure des distances dans la Galaxie et dans l’Univers
Le parsec, diminutif de « parallaxe-seconde », correspond à la distance d’un astre dont la parallaxe annuelle serait de 1. Peu utilisée, cette unité vaut exactement [frac{648000}{pi}]soit 3,086 x 1016 m ou 3,26 al.
Ordre de grandeur de quelques objets
Objet Dimension Ordre de grandeur Univers (le notre !) Indéterminée (pour l’instant) ? IC 1101 (la plus grande galaxie connue) Diamètre de 5,68 x 1022m 1023m La voie lactée (notre galaxie) Diamètre de 9,4 x 1020m 1021m Segue 2 (la plus petite galaxie connue) Diamètre de 9,4 x 1019m 1020m Système solaire Diamètre de 2,0 x 1013m 1013m Soleil Diamètre de 1,4 x 109m 109 m Jupiter (la plus grande planète) Diamètre de 1,43 x 108m 108m La Terre Diamètre de 1,28 x 107 m 107 m Mercure (la plus petite planète) Diamètre de 4,88 x 106 m 106 m Ganymède (le plus grande satellite naturel) Diamètre de 5,26 x 106 m 107 m La Lune Diamètre de 3,47 x 106 m 106 m Tony Parker Taille de 1,88 m 100m Peter Dinklage (l’interprète de Tyrion Lannister dans Game of Throne) Taille de 1,35 m 100m Bactérie géante Thiomargarita Namibiensis Diamètre moyen de 2,0 x 10-4 m 10-4m Cellules végétales et animales Diamètre variant de 10-4 à 10-5 m 10-4 à 10-5 m Bactérie mycoplasma Diamètre moyen de 10-6 m 10-6 m Double hélice d’une molécule d’ADN Diamètre de 2,3 x 10-9m 10-9 m Molécule d’eau Diamètre moléculaire de 3,43 x 10-10 m 10-10 m Atome d’uranium Diamètre atomique de 3,5 x 10-10 m 10-10 m Atome d’hydrogène Diamètre atomique de 1,6 x 10-10 m 10-10 m Proton Diamètre de 1,8 x 10-15 m 10-15 m
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