Equation second degré complexe

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré dont les racines sont complexes.

L’introduction des nombres complexes ouvre la possibilité de trouver des solutions aux équations que l’on était auparavant dans l’impossibilité de résoudre. Par exemple, lorsque l’on rencontrait une équation qui nécessitait de prendre la racine carrée d’un nombre négatif, on ne pouvait pas la résoudre et on concluait à juste titre qu’elle n’avait pas de solution réelle. Utiliser les nombres complexes nous permet alors d’approfondir notre compréhension en explorant les solutions complexes de ces équations. Nous allons commencer par étudier un exemple d’équation qui n’a pas de solution si nous nous limitons aux nombres réels.

Exemple 1: Résoudre une équation avec des nombres complexes

Résolvez l’équation 5𝑥+1=−319.

Réponse

On commence par regrouper les termes semblables : 5𝑥=−320.

En divisant les deux membres par 5, on isole 𝑥 à gauche de l’équation : 𝑥=−3205=−64.

En prenant la racine carrée des deux membres et en se rappelant que l’on peut prendre les racines positives et négatives, on obtient 𝑥=±√−64.

En utilisant la propriété des nombres complexes pour un nombre positif 𝑎, √−𝑎=𝑖√𝑎, on peut le réécrire comme 𝑥=±𝑖√64=±8𝑖.

Comme nous l’avons vu dans l’exemple ci-dessus, les méthodes pour résoudre des équations à solutions réelles peuvent souvent être directement appliquées à une équation à solutions complexes. Pour des équations du second degré, les méthodes telles que la factorisation et la complétion du carré peuvent également être appliquées à des équations à solutions complexes. En particulier, on peut utiliser la formule des racines du second degré.

Formule : Racines du second degré

Pour une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 avec 𝑎≠0, ses racines sont 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Remarquez que ces racines sont parfois désignées par @𝐿 et @𝑀.

En utilisant la formule des racines du second degré, nous pouvons résoudre toutes les équations du second degré, y compris celles avec des solutions complexes. En utilisant la formule des racines du second degré, on peut rencontrer trois cas distincts. Pour les distinguer, on a introduit la notion de discriminant.

Définition : Discriminant

Le discriminant d’une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 est défini par 𝑏−4𝑎𝑐. Le symbole Δ est souvent utilisé pour le désigner.

Grâce au discriminant, on peut identifier trois cas d’équations du second degré : 

1. Discriminant strictement positif

    

   :

    

   𝑏−4𝑎𝑐>0,

   deux racines réelles

    

   ;

    

2. Discriminant nul

    

   :

    

   𝑏−4𝑎𝑐=0,

   une racine réelle double

    

   ;

    

3. Discriminant strictement négatif

    

   :

    

   𝑏−4𝑎𝑐<0,

   pas de racines réelles.

Les graphiques ci-dessous illustrent ces trois cas.

Nous allons principalement nous concentrer sur le graphique (3), où l’équation du second degré n’a pas de racines réelles. L’introduction des nombres complexes nous permet de considérer cela comme le cas nous avons des racines complexes. Bien que les nombres réels soient aussi des nombres complexes, lorsque l’on dit qu’une équation du second degré possède des racines complexes, on se réfère au cas où les racines sont des nombres complexes non réels. Dans cette fiche explicative, nous allons explorer ce cas ainsi que les propriétés des racines complexes.

Étudions un exemple où nous devons utiliser la formule des racines du second degré pour déterminer les racines complexes d’une équation du second degré.

Exemple 2: Résoudre une équation du second degré à racines complexes

Résolvez l’équation du second degré 𝑥−4𝑥+8=0.

Réponse

On rappelle la formule des racines du second degré permettant de résoudre équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 : 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

L’équation du second degré pour coefficients 𝑎=1, 𝑏=−4 et 𝑐=8. En substituant ces valeurs dans la formule des racines du second degré, on a 𝑥=−(−4)±√(−4)−4×1×82×1.

En simplifiant, on obtient 𝑥=4±√16−322=42±√−162=2±12√−16.

En utilisant la propriété des nombres complexes pour un nombre positif 𝑎, √−𝑎=𝑖√𝑎, on peut le réécrire comme 𝑥=2±12𝑖√16=2±12×4𝑖=2±2𝑖.

Il y a donc deux solutions à l’équation du second degré : 𝑥=2+2𝑖,𝑥=2−2𝑖.

Dans cet exemple, nous avons observé que l’équation du second degré avait deux solutions complexes. En examinant les solutions de près, nous pouvons remarquer que les deux solutions complexes sont conjuguées l’une de l’autre. Le fait que les racines de cette équation soient conjuguées n’est pas une coïncidence. Cela est en fait vrai pour toute équation du second degré à coefficients réels dont les solutions sont complexes.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier cette propriété en détail.

Exemple 3: Condition sur les racines des équations du second degré

Si le discriminant d’une équation du second degré à coefficients réels est négatif, ses racines complexes sont-elles conjuguées l’une de l’autre ? 

Réponse

On rappelle que le discriminant d’une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 est 𝑏−4𝑎𝑐. On sait que si le discriminant est négatif, alors l’équation du second degré a des racines complexes. Cherchons alors si ces racines complexes doivent être conjuguées l’une de l’autre.

Nous allons démontrer ce théorème à l’aide des propriétés du conjugué d’un nombre complexe. Pour une fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, soit 𝑧 une racine complexe. On calcule maintenant 𝑓𝑧=𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐.

D’après les propriétés du conjugué d’un nombre complexe, on sait que pour deux nombres complexes (𝑧𝑧)=𝑧𝑧, donc 𝑧=(𝑧). Par conséquent, on a 𝑓𝑧=𝑎(𝑧)+𝑏𝑧+𝑐.

Sachant que tout nombre réel est égal à son conjugué complexe et que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels, on peut le réécrire comme 𝑓𝑧=(𝑎𝑧)+(𝑏𝑧)+𝑐.

On sait également, d’après les propriétés du conjugué d’un nombre complexe, que pour deux nombres complexes (𝑧±𝑧)=𝑧±𝑧, donc 𝑓𝑧=(𝑎𝑧+𝑏𝑧)+𝑐=(𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐).

Cependant, comme 𝑧 est une racine, on sait que 𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐=0. Par conséquent, 𝑓𝑧=0=0. Nous avons ainsi montré que 𝑧 est également une racine de 𝑓.

Nous pouvons résumer le résultat de l’exemple précédent comme suit.

Théorème : Racines conjuguées des équations du second degré

Les deux racines complexes d’une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 à coefficients réels sont conjuguées l’une de l’autre. Ainsi, si 𝑧=𝑚+𝑛𝑖 (où 𝑛≠0) est la racine d’une équation du second degré à coefficients réels, alors 𝑧=𝑚−𝑛𝑖 est également une racine.

Ce théorème et sa démonstration peuvent tous les deux être généralisés à tout polynôme à coefficients réels. Dans la suite de cette fiche explicative, nous allons appliquer ce théorème à quelques exemples.

Exemple 4: Racines complexes d’une équation du second degré

Les nombres complexes 𝑎+𝑏𝑖 et 𝑐+𝑑𝑖, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des nombres réels, sont les racines d’une équation du second degré à coefficients réels. Sachant que 𝑏≠0, quelles conditions, le cas échéant, doivent satisfaire 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 ? 

Réponse

Comme 𝑏≠0, on sait que 𝑎+𝑏𝑖 est une racine complexe d’une équation du second degré à coefficients réels. On rappelle le théorème des racines conjuguées, qui stipule que les racines complexes d’une équation du second degré à coefficients réels sont le conjugué l’une de l’autre. Puisqu’une équation du second degré n’a que deux racines, 𝑐+𝑑𝑖 doit être le conjugué de 𝑎+𝑏𝑖. Par conséquent, 𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑏𝑖)=𝑎−𝑏𝑖.

On rappelle que des nombres complexes sont égaux entre eux si leurs parties réelles sont égales et si leurs parties imaginaires sont égales.

Par conséquent, 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 doivent vérifier 𝑎=𝑐 et 𝑑=−𝑏.

Nous pouvons également utiliser nos connaissances sur les racines des équations du second degré à coefficients réels pour construire une équation à partir d’une de ses racines complexes, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 5: Construire une équation du second degré à partir d’une racine complexe

Déterminez l’équation du second degré 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 à coefficients réels 𝑏 et 𝑐 dont 5+𝑖 est une des racines.

Réponse

L’énoncé mentionne une équation du second degré à coefficients réels dont une des racines est un nombre complexe. On rappelle le théorème des racines conjuguées, qui stipule que les deux racines complexes d’une équation du second degré à coefficients réels sont le conjugué l’une de l’autre. Ses racines sont donc 5+𝑖 et 5−𝑖. Comme le coefficient de 𝑥 est égal à 1, on peut écrire l’équation comme (𝑥−(5+𝑖))(𝑥−(5−𝑖))=0.

En conservant (5+𝑖) et (5−𝑖) sous cette forme, on peut développer les parenthèses pour obtenir 𝑥−(5+𝑖)𝑥−(5−𝑖)𝑥+(5+𝑖)(5−𝑖)=0.

On peut alors développer (5+𝑖)(5−𝑖) et simplifier : 𝑥−10𝑥+25−5𝑖+5𝑖−𝑖=0.

Comme 𝑖=−1, on a 𝑥−10𝑥+26=0.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une équation du second degré à coefficients réels à partir d’une racine complexe. Plus généralement, si une équation du second degré a pour racines 𝛼 et 𝛽, on peut l’écrire comme (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)=0.

En développant les parenthèses, on obtient 𝑥−𝛼𝑥−𝛽𝑥+𝛼𝛽=0𝑥−(𝛼+𝛽)𝑥+𝛼𝛽=0.

Cela est vrai pour toute équation du second degré que ses racines soient réelles ou complexes. Cependant, si 𝛼 et 𝛽 sont des nombres complexes conjugués, on peut écrire 𝛽=𝛼, ce qui donne 𝑥−𝛼+𝛼𝑥+𝛼𝛼=0.

On rappelle les propriétés des conjugués de nombres complexes 𝛼+𝛼=2(𝛼)Re et 𝛼𝛼=|𝛼|, où |𝛼| est le module du nombre complexe 𝛼. Par conséquent, si on sait que 𝛼 est une racine complexe d’une équation du second degré à coefficients réels, alors son équation peut être 𝑥−2(𝛼)𝑥+|𝛼|=0.Re

En appliquant ces connaissances, il est possible de simplifier significativement le calcul présenté dans l’exemple précédent.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

• On peut résoudre des équations du second degré à racines complexes en utilisant les mêmes méthodes que celles développées pour résoudre des équations du second degré à racines réelles. Bien que les nombres réels soient techniquement des nombres complexes, lorsque l’on parle des racines complexes d’une équation du second degré, on se réfère au cas où les racines sont des nombres complexes non réels.
• Les deux racines complexes d’une équation du second degré à coefficients réels sont conjuguées l’une de l’autre. Ainsi, si 𝑧 est une racine complexe d’une équation du second degré à coefficients réels, alors 𝑧 est également une racine.
• À partir d’une seule racine complexe d’une équation du second degré à coefficients réels, on peut construire l’équation d’origine. En particulier, si une des racines est

  𝛼,

  l’équation du second degré est 𝑥−2(𝛼)𝑥+|𝛼|=0.Re