Exercice polynome du second degré

Sommaire

Résumé de cours
Calcul des racines
Forme canonique et factorisée
Résolution d’équations et d’inéquations
Équations du second degré avec astuces
Équation bicarrée
Factorisation de polynômes
Tableau de signe
Tableau de variation
Trouver les coefficients avec 3 points
Position relative de deux courbes

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Résumé de cours

Avant de commencer les exercices, nous te proposons un résumé du cours en vidéo :

Calcul des racines d’un polynôme

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Nous allons calculer les racines des polynômes suivants :

Forme canonique et factorisée

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Trouver la forme canonique puis la forme factorisée des polynômes suivants :
f(x) = x2 – 6x + 8
g(x) = 2×2 – 4x + 6
h(x) = x2 – 5x + 2
i(x) = x2 + 4x + 9

Même énoncé que la vidéo précédente mais nous allons utiliser une autre méthode avec les fonctions suivantes.
Donner ensuite le tableau de variations de ces fonctions :
f(x) = x2 – 5x + 6
g(x) = 2×2 – 5x + 3
h(x) = x2 + 2x + 5

Résolution d’équations et d’inéquations

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Trouver la forme canonique puis factorisée de la fonction suivante : f(x) = x2 – 5x + 6.
Résoudre alors les équations suivantes :
f(x) = -1/4
f(x) = 0
f(x) = 6
f(x) = -3

Résoudre à présent les mêmes équations que précédemment mais en remplaçant le signe = par <, ≤, > et ≥.
Il faudra ainsi par exemple résoudre :
f(x) < 6
f(x) ≤ 6
f(x) > 6
f(x) ≥ 6

Résoudre les inéquations suivantes :
x2 – x – 20 < 0
2×2 + 16x + 25 ≤ -5
25x – 3×2 > -42 + 10x

Équations du second degré avec astuces

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Résoudre les équations suivantes :
x2 + 3x – 10 = 0
x2 – 2x – 46 = 2
-20x + 2×2 = -42

Équation bicarrée

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Nous allons résoudre les équations suivantes, appelées équations bicarrées :

Factorisation de polynômes

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Nous allons factoriser les polynômes suivants :

Tableau de signe d’un polynôme du second degré

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Nous allons chercher les tableaux de signe des polynômes suivants :

Variations d’un polynôme du second degré

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Nous allons construire le tableau de variations des polynômes suivants :

Trouver les coefficients avec 3 points

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On a un polynôme du second degré : f(x) = ax2 + bx + c, avec a, b et c réels.
On sait que la courbe de f passe par trois points : E(-1 ; -2), F(1 ; 4) et G(-2 ; 1)
Le but de l’exercice est de calculer a, b et c.

Lad’une fonctiondu$f(x)=ax^2+bx+c$ est une

Lien avec la forme factorisée

Si on connait la forme factorisée, l’abscisse du sommet est lade(s)

Si $f(x)=-5(x-3)(x+1)$ alors les racines sont 3 et -1

Pour trouver l’abscisse du sommet, on calcule la moyenne des racines . Donc l’abscisse du sommet est $dfrac{3+(-1)}2=1$

Une racine est une valeur pour laquelle le polynôme s’annule .

Lien avec la forme canonique

Si la forme canonique est $f(x)=a(x-color{red}alpha)^2+color{green}beta$ alors lessont $(color{red}alpha; color{green}beta)$

Erreur à ne pas faire

Si $f(x)=3(x+1)^2-5$ alors $alpha$ ne vaut pas 1 !Pour lire $alpha$, il faut faire apparaitre uneOn écrit: $f(x)=3(xcolor{red}{boldsymbol{-}}(-1))^2+(-5)$ donc $alpha=-1$ et $beta=-5$.

Si les coordonnées du sommet sont $(color{red}alpha;color{green}beta)$ alors la forme canonique est $f(x)=a(x-color{red}alpha)^2+color{green}beta$.

L’du sommet est $alpha=-dfrac b{2a}$.L’du sommet est $f(alpha)$.

La parabole estvers leOn a donc lesuivant:Il y a un$beta$ atteint en $alpha$.

La parabole estvers leOn a donc lesuivant:Il y a un$beta$ atteint en $alpha$.

ayant un axe de symétrie d’équation $x=-dfrac b{2a}$ dans un repère orthogonal

• Courbe d’un polynôme du second de degré $f(x)=ax^2+bx+c$

Il y a 3 façons d’écrire un polynôme du second degré

Il suffit de développer la forme canonique $4(x-1)^2-16$ pour retomber sur la forme développée $4x^2-8x-12$.

Il suffit de développer la forme factorisée $4(x-3)(x+1)$ pour retomber sur la forme développée $4x^2-8x-12$.

On peut toujours la trouver.

La forme factorisée n’existe pas toujours !

On peut toujours la trouver.

Chaque forme a ses avantages spécifiques.

• 3 façons d’écrire un polynôme du second degré

La forme canonique est très pratique pour trouver les coordonnées du sommet de la parabole (voir paragraphe plus loin)

• A quoi sert la forme canonique

Tout trinôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-color{red}alpha)^2+color{green}beta$

$f(x)=underbrace{3}_{displaystyle a}x^2underbrace{-12}_{displaystyle b}x+underbrace{16}_{displaystyle c}$ Donc $a=3$, $b=-12$ et $c=16$. Donc $color{red}alpha=-dfrac{b}{2a}$$=-dfrac{-12}{2times 3}=2$ $color{green}beta=f(2)=3times 2^2-12times 2+16=4$ Donc la forme canonique est $f(x)=a(x-color{red}alpha)^2+color{green}beta=3(x-2)^2+4$

Cette forme s’appelle la forme canonique . $color{red}alpha=-dfrac{b}{2a}$ et $color{green}beta=f(alpha)$

Si la parabole a pour sommet le point de coordonnées $(color{red}alpha;color{green}beta)$ alors $f(x)=a(x-color{red}alpha)^2+color{green}beta$

Penser à cette méthode si on peut lire sur un graphique les coordonnées du sommet !

• Si on connait les coordonnées du sommet

comme expliqué dans la vidéo

Cette méthode s’appelle la complétion du carré , ce qui veut dire compléter le carré.

• Compléter le carré (Complétion du carré)

• Avec les formules $alpha$ et $beta$

Une fonctionest une fonction quis’écrire sous la forme $boldsymbol{ax^2+bx+c}$

Par abus, au lieu de dire fonction polynôme du second degré, on peut dire seulement polynôme du second degré.

Définition Au lieu de dire polynôme du second degré, on peut dire trinôme du second degré.

$2x-3$ n’est pas du second degré!

Exercice 1: Polynôme du second degré – savoir trouver les coefficients – Première Spécialité maths S ES STI

$color{red}{textbf{a. }} -2x^2+5$

$color{red}{textbf{b. }} (1-2x)^2$

$color{red}{textbf{c. }} dfrac{x^2+6x-1}3$

$color{red}{textbf{d. }} (3x-2)^2-9x^2$

Dans chaque cas, dire s’il s’agit d’une fonction polynôme du second degré. Dans l’affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.

Exercice 2: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole – Première spé maths S ES STI

On a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré:A l’aide du graphique, déterminer l’expression de $f(x)$.

Exercice 3: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole – Première spé maths S ES STI

$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:

On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.$f(x)=x^2-6x+8$$g(x)=-2x^2+2x+1$$h(x)=2x-1$$k(x)=(x-1)^2+3$$m(x)=x^2+4x+4$Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:

Exercice 4: Fonction polynôme du 2nd degré – tableau de variations à l’aide de la forme canonique – Première S ES STI spé maths

$color{red}{textbf{a. }} f: xmapsto 4(x-3)^2+5$

$color{red}{textbf{b. }} xmapsto 2-(x+1)^2$

$color{red}{textbf{b. }} h: xmapsto 1-4x^2$

Déterminer le tableau de variations des fonctions polynômes du second degré suivantes:

Exercice 5: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré – Première spé maths S ES STI

Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier.

$ xmapsto (x-3)^2+5$

$ xmapsto (x+3)^2+5$

$ xmapsto -(x-3)^2+5$

$ xmapsto -(x-5)^2+3$

On donne le tableau de variation d’une fonction $f$:Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier.

Exercice 6: Polynôme du second degré – forme canonique Première Spécialité maths S ES STI

Écrire la fonction polynôme du second degré $f$ sous forme canonique par $2$ méthodes : $f(x)=2x^2+16x+27$.

Exercice 7: Polynôme du second degré – forme canonique et tableau de variations – Première Spécialité maths S ES STI

1. Déterminer la forme canonique du trinôme: $f(x)=-2x^2+12x-17$.

2. En déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 8: Écrire un polynôme sous forme canonique – Première spé maths S ES STI

$color{red}{textbf{a. }} x^2+6x+1$

$color{red}{textbf{b. }} -2x^2+5$

$color{red}{textbf{c. }} 2x^2+x$

$color{red}{textbf{d. }} (1-2x)^2$

Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:

Exercice 9: Parabole – coordonnées du sommet – polynôme du second degré – Première spé maths S ES STI

$color{red}{textbf{a. }} f(x)=-x^2+4x+1$

$color{red}{textbf{b. }} f(x)=2(x+3)^2-7$

$color{red}{textbf{c. }} f(x)=(1-x)(x+3)$

On note $mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$. Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $mathscr{P}$:

Exercice 10: Abscisse du sommet d’une parabole – Première spé maths S ES STI

Soit $f$ un polynôme du $2^{text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$. Déterminer l’abscisse du sommet.

Exercice 11: Variations, maximum et minimum d’un polynôme du second degré – Première spé maths S ES STI

$color{red}{textbf{a. }} f(x)=x^2-2x+3$

$color{red}{textbf{b. }} f(x)=-2(x+1)^2-3$

$color{red}{textbf{c. }} f(x)=(4-2x)(x-3)$

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $mathbb{R}$:

Exercice 12: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet – Première spé maths S ES STI

Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3). Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.

Exercice 13: QCM – polynôme du second degré – forme canonique – sommet Première spé maths S ES STI

1. La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.

2. La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.

3. La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:

Exercice 14: QCM – variations et forme canonique – polynôme du 2nd degré Première spé maths S ES STI

1. 1. $f$ est croissante sur $[1;+infty[$.

   2. Pour $xleqslant 1$, $f(x)leqslant 0$.

   3. $f$ admet un maximum en $1$.

   Soit $f$ définie sur $mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$:

2. 1. Le maximum de $f$ est $4$.

   2. $f$ admet un maximum en $-4$.

   3. Pour tout $x$, $f(x)leqslant 0$.

   Soit $f$ définie sur $mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$:

3. 1. L’équation $f(x)=8$ admet des solutions.

   2. L’équation $f(x)=0$ admet 2 solutions.

   Soit $f:xrightarrow -3(x-4)^2+7$:

Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:

Exercice 15: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal – Première spé maths S ES STI

Un pompiste vend le litre d’essence au prix de $1,20$ € . Le prix d’achat est pour lui de $0,85$ €, le litre. Il sait qu’il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu’à chaque baisse de $1$ centime qu’il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour. À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d’essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?

Exercice 16: Polynôme du second degré et aire maximale – Première spé maths S ES STI

1. Montrer que l’aire grise (en $text{cm}^2$) s’écrit $-x^2 + 5x + 50$.

2. Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l’aire grise ?

$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un carré de côté $x$.

Exercice 17: Traduire un problème en équation du 2nd degré – Trouver le maximum – Algorithme – Première spé maths S ES STI

1. Montrer que le revenu mensuel de l’agence (en euros) s’écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.

2. En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l’agence.

3. Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce problème.

Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le loyer est de $700$ euros par mois. L’agence estime qu’à chaque fois qu’elle augmente le loyer de $5$ euros, un appartement n’est plus loué. On note $x$ le nombre d’augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.

Exercice 18: Polynôme du second degré et aire maximale – Enclos – Première spé maths S ES STI

On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l’aide d’une clôture en grillage de $80$ mètres de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :Quelles sont les dimensions de l’enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?

Exercice 19: Polynôme du second degré – Démonstrations – Variations – Première spé maths S ES STI

1. la fonction $f : x mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+infty[$.

2. la fonction $f : x mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+infty[$.

3. la fonction $f : x mapsto dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-infty~;~2]$.

En utilisant la définition d’une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d’une fonction strictement décroissante), démontrer que :