Exercice 1
$L, O, U$ sont trois points non alignés du plan. $S$ est le milieu du segment $[OU].$
1) Construis le point $I$ tel que : $overrightarrow{LI}=overrightarrow{LO}+overrightarrow{LU}$
2) Démontre que : $overrightarrow{LO}+overrightarrow{LU}=2overrightarrow{LS}$
Exercice 2
Un parallélogramme $ABCD$ a pour centre $O$. Soit $M$ un point quelconque du plan.
1) Construire un point $N$ tel que $overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=overrightarrow{MN}$
2) Montrer que $overrightarrow{MN}=2overrightarrow{MO}$
3) Montrer que $overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}=overrightarrow{MN}$
4) En déduire que $overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}+overrightarrow{MD}=4overrightarrow{MO}$
Exercice 3
Soit un parallélogramme $ABCD.$ Place un point $M$ quelconque sur la diagonale $[BD].$
1) Construis les points $E$ et $F$ vérifiant : $$overrightarrow{AM}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AE}quadtext{et}quadoverrightarrow{AM}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{AF}$$
2) Cite deux vecteurs égaux à $overrightarrow{AD}$. En déduire que $MBCE$ est un parallélogramme.
3) Cite deux vecteurs égaux à $overrightarrow{AB}$. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $MDCF; ?$
4) Démontre, en utilisant les questions précédentes, que les points $E, C$ et $F$ sont alignés.
Exercice 4
1) Construire le triangle $ABC$ tel que $AB=5;cm;; AC=4;cm$ et $BC=3;cm.$
2) On pose $vec{u}=overrightarrow{AB};; vec{v}=overrightarrow{AC}$. Construire $vec{u}+vec{v}$
3) Placer le point $E$ tel que $overrightarrow{AE}=vec{u}+vec{v}$ et diviser le segment $[AE]$ en trois parties égales.
4) On pose $vec{w}=overrightarrow{BC}$. Construire $vec{u}+vec{v}+vec{w}$
5) Soit $G$ un point du plan tel que $overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=vec{0}.$
Démontrer que $overrightarrow{AG}=dfrac{overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}}{3}$
Exercice 5
1) a) Tracer un rectangle $ABCD$ de centre $I.$
Construire le point $K$ tel que $overrightarrow{IK}=overrightarrow{IA}+overrightarrow{IB}$
b) Montrer que le quadrilatère $AKBI$ est un losange.
2) a) Construire le point $P$, symétrique de $I$ par rapport à $B$, et le point $R$, symétrique de $K$ par rapport à $B.$
b) Prouver que les points $I, K, P$ et $R$ sont sur un même cercle. Indiquer le centre et le rayon de ce cercle. Construire ce cercle sur la figure.
c) En déduire la nature du quadrilatère $IKPR$.
Exercice 6
1) Construire un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$ tel que : $AB=4.5;cm$ et $BC=5.4;cm$
Placer le point $H$, pied de la hauteur issue de $A$, et le point $M$, milieu de $[AB].$
2) Justifier que $H$ est le milieu de $[BC].$
3) Calculer la longueur du segment $[MH].$
4) Construire le point $D$, symétrique du point $M$ par rapport au point $H$. Quelle est la nature du quadrilatère $BMCD; ?$ Justifier la réponse.
5) Démontrer que : $overrightarrow{AM}+overrightarrow{BD}=overrightarrow{MD}$
Exercice 7
Soit $I$ le milieu d’un segment $[AB]$ et $M$ un point n’appartenant pas à $(AB).$
1)Construire les points $C$ et $D$ tels que $$overrightarrow{IC}=overrightarrow{IA}+overrightarrow{IM}quadtext{et}quadoverrightarrow{ID}=overrightarrow{IB}+overrightarrow{IM}$$
2) Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$
3) Démontrer que $overrightarrow{IC}=overrightarrow{BM}$
4) Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$. Démontrer que $overrightarrow{IC}+overrightarrow{ID}=overrightarrow{IE}$
Exercice 8
$A, B$ et $C$ sont trois points non alignés.
1) Construis le point $L$ tel que $overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{BL}$
2) La parallèle à $(AC)$ passant par $L$ coupe $(BA)$ en $M$ et $(BC)$ en $N$
Démontre que $overrightarrow{AC}=overrightarrow{ML}=overrightarrow{LN}$
Exercice 9
Soit $ABC$ un triangle ; $vec{u}$ et $vec{v}$ deux vecteurs tels que $vec{u}=overrightarrow{AB}$ et $vec{v}=overrightarrow{AC}$
Soit $I$ le milieu de $[BC]$
1) Démontrer que $vec{u}+vec{v}=2overrightarrow{AI}$
2) Soit $D$ le point tel que $vec{u}+vec{v}=overrightarrow{AD}$ ; la parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe $(AB)$ en $E$ et $(AC)$ en $F.$
Démontrer que $overrightarrow{AE}=2overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AF}=2overrightarrow{AC}$
3) Déterminer le réel $k$ tel que $overrightarrow{EF}=koverrightarrow{CB}$
4) Démontrer que $overrightarrow{AE}+overrightarrow{AF}=4overrightarrow{AI}$
Exercice 10
1) Tracer un triangle $BDS$ et marquer le milieu $I$ du segment $[SD]$
2) Construire le point $H$ symétrique du point $B$ par rapport à $I.$
3) Démontrer que $overrightarrow{HD}=overrightarrow{SB}$
4) Construire le point $R$, image du point $D$ par la translation de vecteur $overrightarrow{SB}$
5) Démontrer que le point $D$ est le milieu du segment $[HR].$
Exercice 11
$A, B$ et $C$ sont trois points du plan. $M’$ est l’image de $M$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ et $M »$ est l’image de $M’$ par la translation de vecteur $overrightarrow{BC}.$
1) Démontrer que $overrightarrow{MM’}=overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{M’M »}=overrightarrow{BC}$
2) Démontrer que $overrightarrow{AM}=overrightarrow{CM »}$
3) Démontrer que $overrightarrow{MM »}=overrightarrow{AC}$
Exercice 12
1) Construire un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$ tel que $AB=4.5;cm$ et $BC=5.4;cm.$
Placer le point $H$, pied de la hauteur issue de $A$, et le point $M$, milieu de $[AB].$
2) Justifier que $H$ est milieu de $[BC]$.
3) Calculer la longueur du segment $[HA]$.
4) Construire le point $D$, symétrique du point $M$ par rapport au point $H.$
Quelle est la nature du quadrilatère $BMCD$ ? Justifier la réponse.
5) Démontrer que : $overrightarrow{AM}+overrightarrow{BD}=overrightarrow{MD}$
Exercice 13
Dessiner un triangle quelconque $ABC$, placer un point $M$ sur $[AB]$, et un point $N$ sur $[AC]$ de façon à ce que les droites $(MN)$ et $(BC)$ soient parallèles.
1) Soit $K$ le point de $(BC)$ tel que $(NK)$ soit parallèle à $(AB)$. Recopier et compléter : $$overrightarrow{BK}+overrightarrow{BM}=ldotsqquadoverrightarrow{MN}+overrightarrow{KC}=ldots$$
2) Quelle est l’image de $B$ par la translation de vecteur $overrightarrow{MN}+overrightarrow{KM}; ?$ Justifier.
Exercice 14
Simplifier les expressions suivantes en précisant les propriétés de l’addition vectorielle utilisées.
$vec{E}_{1}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{EG}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{FG}-overrightarrow{FE}+vec{0}-overrightarrow{AC}$
$vec{E}_{2}=5sqrt{3}overrightarrow{AB}-2sqrt{2}overrightarrow{DC}-2sqrt{3}overrightarrow{BA}-5sqrt{2}overrightarrow{DC}$
Exercice 15
Répondre par vrai on faux en justifiant la réponse
1) Si $ABCD$ est un parallélogramme alors : $overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{DB}.$
2) Si $E;, D$ et $F$ sont trois points distincts du plan d’après la relation de Chasles on a : $$overrightarrow{DE}+overrightarrow{DF}=overrightarrow{EF}$$
3) Le vecteur $overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}-overrightarrow{CB}$ est un vecteur nul.
4) Si $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ alors : $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=2overrightarrow{OC}$
5) Si $overrightarrow{AE}=overrightarrow{RS}$ alors les segments $[AS]$ et $[RE]$ ont le même milieu.
Exercice 16
Démontrer chacune des égalités suivantes.
1) $overrightarrow{AC}+overrightarrow{BD}=overrightarrow{AD}+overrightarrow{BC}$
2) $overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-3overrightarrow{MC}=2overrightarrow{AB}-3overrightarrow{AC}$
Exercice 17
On donne les égalités vectorielles suivantes : $overrightarrow{AB}=2overrightarrow{CD}$ et $overrightarrow{CD}=4overrightarrow{EF}.$
1) Exprimer $overrightarrow{AB}$ en fonction de $overrightarrow{EF}.$
2) Exprimer $overrightarrow{EF}$ en fonction de $overrightarrow{AB}$
3) Conclure.
Exercice 18
Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB=2;cm;; AC=3;cm$ et $BC=4;cm.$
1) Construire le point $M$ tel que : $overrightarrow{AM}=3overrightarrow{AB}+2overrightarrow{CA}$
2) Construire le point $M$ tel que : $overrightarrow{AN}=overrightarrow{AB}+dfrac{2}{3}overrightarrow{CA}$
3) Montrer que : $overrightarrow{AM}=3overrightarrow{AN}$
En déduire que les points $A;, M$ et $N$ sont alignés.
Exercice 19
$ABC$ est un triangle et $G$ le point du plan tel que : $overrightarrow{AG}+overrightarrow{BG}+overrightarrow{CG}=vec{0}.$
1) Montrer que le point $G$ est unique.
2) Construire le point $G.$
3) Soit $I$ milieu de $[AB]$; montrer que : $overrightarrow{IG}=dfrac{1}{2}overrightarrow{GC}.$
Exercice 20
1) On considère un triangle $ABC$, tel que : $AB=5;cm;; BC=6;cm$ et $AC=7;cm.$ Soit $I$ milieu de $[AB].$
Construire le point $G$ centre gravité du triangle $ABC.$
2) Sachant que : $overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=vec{0}.$ Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $$overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=3overrightarrow{MG}$$
Exercice 21
$ABC$ est un triangle quelconque, les points $D$ et $F$ sont tels que :
$overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}-2overrightarrow{BA}$ et $overrightarrow{CF}=overrightarrow{AB}-2overrightarrow{AC}$
1) Démontrer que :
a) $overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+overrightarrow{AB}$
b) $overrightarrow{CF}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}$
2) Construire les points $D$ et $F.$
3) En déduire que le point $B$ est le milieu du segment $[DF].$
Exercice 22
1) On considère un segment $[AB]$ de milieu $I$, démontrer que pour tout point $M$,
$$overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=2overrightarrow{MI}$$
2) $ABC$ est un triangle, on suppose qu’il existe un point $H$ tel que
Exercice 23
Reproduis la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier puis construis les vecteurs
$overrightarrow{u}+overrightarrow{v}$ ;
$overrightarrow{x}+overrightarrow{y}$ ;
$overrightarrow{u}+overrightarrow{w}$ ;
$overrightarrow{s}+overrightarrow{t}$
Exercice 24
a) Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=4;cm$, $AC=3.5;cm$ et $BC=3;cm.$
b) Construis les vecteurs :
$overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}$ ;
$overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}$ et $overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB}.$
c) Marque le point $E$ milieu de $[AB]$ puis construis le vecteur $overrightarrow{AE}+overrightarrow{CB}$
Exercice 25
Soit $ABC$ un triangle.
1) a) Construis les points $E$ et $F$ tels que :
$overrightarrow{CE}=dfrac{-1}{3}overrightarrow{CA}$ et $overrightarrow{CF}=dfrac{-1}{3}overrightarrow{CB}.$
b) Démontre que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.
2) a) Construis les points $O$ et $N$ tels que :
$overrightarrow{EO}=dfrac{2}{5}overrightarrow{EF}$ et $overrightarrow{AN}=dfrac{2}{5}overrightarrow{AB}$
b) Démontre que les points $C$, $O$ et $N$ sont alignés.
Exercice 26
Reproduis la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier puis construis les vecteurs :
$2overrightarrow{u};; overrightarrow{-u}$ ;
$dfrac{3}{2}overrightarrow{u};; -dfrac{2}{3}overrightarrow{u}.$
Exercice de Synthèse
a) Tracer un parallélogramme $ABCD$ de centre $O.$
On note $I$ le milieu de $[AB].$
b) Simplifier les sommes vectorielles suivantes en un seul vecteur
$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}=ldots$
$overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=ldots$
$overrightarrow{CD}+overrightarrow{CB}=ldots$
$overrightarrow{OI}+overrightarrow{OI}+overrightarrow{AD}=ldots$
I. $ABCD$ est un parallélogramme alors :
a) $overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$
b) $overrightarrow{AD}=overrightarrow{AB}$
c) $overrightarrow{CB}=overrightarrow{DA}$
II. Pour trois points quelconques du plan $M$, $N$ et $P$ :
$overrightarrow{MN}+overrightarrow{NP}$ est égal à :
a) $overrightarrow{NP}$ b) $overrightarrow{PM}$ c) $overrightarrow{MP}$
$overrightarrow{HA}+overrightarrow{HB}+overrightarrow{HC}=vec{0}$, en utilisant $I$ milieu de $[AB]$, démontrer que $H$ est un point de $[IC].$
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Exercice 1 – démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
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Exercice 2 – démontrer que des droites sont parallèles.
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Exercice 3 – vecteurs égaux dans un parallélogramme.
id2401
Exercice 4 – les coordonnées du vecteur.
id2975
Exercice 5 – calculer les coordonnées du vecteur.
id2976
Exercice 6 – les vecteurs colinéaires.
id2977
Exercice 7 – conditions pour des vecteurs colinéaires.
id2978
Exercice 8 – simplifier des écritures vectorielles.
id2990
Exercice 9 – vecteur et coordonnées.
id2979
Exercice 10 – parallélogramme et égalités.
id2980
Exercice 11 – calculer les coordonnées d’un point.
id2981
Exercice 12 – hexagone régulier et vecteurs.
id2982
Exercice 13 – calculer les coordonnées de ce vecteur.
id2983
Exercice 14 – coordonnées de vecteurs dans un repère.
id2984
Exercice 15 – les coordonnées des points et des vecteurs.
id2985
Exercice 16 – calculer les coordonnées des vecteurs.
id2986
Exercice 17 – opposé des vecteurs et égalités.
id2987
Exercice 18 – un deltaplane se déplace suivant la translation.
id2988
Exercice 19 – compléter les égalités vectorielles.
id2989
Exercice 20 – construire des vecteurs dans un repère.
id2991
Exercice 21 – construire un représentant avec son extrémité.
id2992
Exercice 22 – calculer des coordonnées et tracer un représentant.
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Exercice 23 – somme de vecteurs.
id2995
Exercice 24 – lire les coordonnées d’une somme de vecteurs.
id2996
Exercice 25 – déterminer si des vecteurs sont colinéaires.
id2997
Exercice 26 – carré et triangles équilatéraux.
id2998
Exercice 27 – algorithme et vecteurs colinéaires.
id2999
Exercice 28 – déterminer une relation entre a et b.
id3000
Exercice 29 – vecteurs égaux ou pas ?.
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Exercice 30 – calculer les coordonnées.
id4836
Exercice 31 – coordonnées et norme.
id4837
Exercice 32 – un parallélogramme.
id4838
Exercice 33 – image et translation.
id4839
Exercice 34 – des triangles équilatéraux.
id4840
Exercice 35 – translation et parallélogramme.
id4841
Exercice 36 – somme de vecteurs.
id4842
Exercice 37 – tracer la somme de vecteurs.
id4843
Exercice 38 – représenter des vecteurs.
id4844
Exercice 39 – calculer la valeur de x et de y.
id4845
Exercice 40 – coordonnées d’un vecteur somme.
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Exercice 41 – quelle est la nature du quadrilatère ?.
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Exercice 42 – vecteurs colinéaires.
id4848
Exercice 43 – coordonnées et vecteurs colinéaires.
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Exercice 44 – quels vecteurs sont colinéaires ?.
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Exercice 45 – déterminer le réel a pour que les vecteurs soient colinéaires.
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