Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°88209 : Dérivation
Dérivation
I) Dérivation
1) Taux de variation
Définition: On appelle taux de variation de f entre a et a+h le nombre [f(a+h)-f(a)] /h
2) Nombre dérivé en a
Définition:
On dit que f est dérivable en a si le taux de variations de f entre a et a+h admet une limite finie quand h tend vers 0
Le nombre dérivé d’une fonction f en a est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a+h
Ce nombre se note f ‘(a).
3) Tangente à une courbe représentative d’une fonction dérivable
a) Graphiquement
Définition: Soit f une fonction dérivable sur I et C sa courbe représentative.
La tangente à Cf au point d’abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f ‘(a)
b) Equation de la tangente
Propriété: L’équation de la tangente à la courbe au point A de coordonnées A(a;f(a)) peut-être donnée sous la forme : y=f ‘(a)(x-a)+f(a)
II) Fonction dérivée
1) Définition:
Soit une fonction définie sur une intervalle I et dérivable en toute valeur x de I
La fonction qui, à tout x, associe le nombre f ‘(x), est appelée fonction dérivée de f. On la note f’. Son ensemble de définition est noté Df’
2) Dérivation
f(x)
f ‘(x)
Df ‘
k (constante)
]-∞;+∞[
x
1
]-∞;+∞[ax+b
a
]-∞;+∞[x²
2x
]-∞;+∞[x³
3x²
]-∞;+∞[1/x
-1/x²
]-∞;0[U]0;+∞[√x
1/(2√x)
]0;+∞[cos x
-sin x
]-∞;+∞[sin x
cos x
]-∞;+∞[
III) Opérations sur les dérivées
1) Somme et produit
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de |R et k un réel, alors:
– La fonction u+v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (u+v)'(x)= u'(x)+v'(x)
– La fonction uv est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (uv)'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
– La fonction ku est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (ku)'(x)= ku'(x)
Remarques : Toute fonction polynôme est dérivable sur |R .
2) Inverse et quotient
– Si v est une fonction dérivable sur I telle que v ne s’annule pas sur I, alors la fonction 1/v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (1/v)'(x)= -[v'(x)] / [(v(x))²]
– Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I telle que v ne s’annule pas sur I, alors la fonction u/v est dérivable sur I et pour tout x de I: (u/v)'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)] / [(v(x))²]
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Soit la tangente T au point A d’abscisse a de la courbe C d’une fonction f. Sachant que le coefficient directeur de T est 42, le nombre dérivé de f en a est égal à
Soit T la tangente en A(5; 40) de la courbe C d’équation y=8x. Quelle est l’équation de la tangente à C en ce point?
Si f(x)= x², f'(x)= 2x . Donc f ‘(7)=
Quel est l’ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=2x²+3
Dérivez la fonction f définie par f(x)= x²+sin(x) . La dérivée est définie par f ‘(x)=
L’ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=(x+5)sin(x) est
Dérivez la fonction f définie par f(x)= (x+5)sin(x) . La dérivée est définie par f ‘(x)=
Dérivez la fonction f définie par f(x)= 2/x . La dérivée est définie par f ‘(x)=
L’ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=(3x+2)/(x+1) est
Dérivez la fonction f définie par f(x)=(3x+2)/(x+1) . La dérivée est définie par f ‘(x)=
Fin de l’exercice de maths (mathématiques) « Dérivation »
Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques).
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Bonjour,
On cherche l’équation de la droite en un point a de la fonction y=f(x)
Elle est de la forme y=mx+p
Son coefficient directeur est la valeur de la dérivée de la fonction donc c’est f'(a)
(ça vient de la définition de la dérivée par la limite de (f(a+h)-f(a)) /h, ce rapport est la pente du segment reliant les points d’abscisse a à a+h, ce segment devient la tangente quand h -> 0 donc la pente du segment devient la pente de la tangente, et comme c’est la définition de la dérivée, on en déduit que la pente de la tagente c’est f'(a).
Donc la droite s’écrit y=f'(a) x + p
mais elle passe par le point (a, f(a)) donc on peut dire que f(a)= f'(a).a + p et donc
p=f(a)-af'(a)
l’équation de la droite est donc y=f'(a) x + f(a) – af'(a) et ça peut s’écrire aussi
y=f'(a) (x-a) + f(a)
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