Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°125057 : Noms des polygones (3 à 12 côtés)
Noms des polygones (3 à 12 côtés)
Rappel :
Un polygone qui a 3 côtés est un triangle.
Un polygone qui a 4 côtés est un quadrilatère.
Un polygone qui a 5 côtés est un pentagone.
Un polygone qui a 6 côtés est un hexagone.
Un polygone qui a 7 côtés est un heptagone.
Un polygone qui a 8 côtés est un octogone.
Un polygone qui a 9 côtés est un ennéagone ou nonagone.
Un polygone qui a 10 côtés est un décagone.
Un polygone qui a 11 côtés est un hendécagone ou undécagone.
Un polygone qui a 12 côtés est un dodécagone.
Maintenant, à vous de trouver quel est le nom des polygones ci-dessous. ↓
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Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.
La somme des angles internes d’un octogone non croisé est égale à 6π rad, soit 1 080°.
Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont la même valeur.
Il existe un octogone régulier étoilé (l’octagramme régulier, noté {8/3}) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l’octogone régulier convexe, noté {8}.
Pour un octogone régulier de côté a :
- l’angle interne vaut
3π/4
rad, soit 135° ;
- le rayon du cercle circonscrit est
R = a 2 sin ( π 8 (rad) ) = a 2 − 2 ≃ 1,306 6 a ; {displaystyle R={tfrac {a}{2sin left({tfrac {pi }{8}}{text{ (rad)}}right)}}={tfrac {a}{sqrt {2-{sqrt {2}}}}}simeq 1{,}3066~a~;}
- le rayon du cercle inscrit et donc la longueur de l’apothème est
r = a 2 cot π 8 = a 2 ( 1 + 2 ) ≃ 1,207 1 a {displaystyle r={tfrac {a}{2}}cot {tfrac {pi }{8}}={tfrac {a}{2}}(1+{sqrt {2}})simeq 1{,}2071~a}
cot
est ici la fonction cotangente) ;
- le périmètre est égal à
8a
;
- l’aire est égale à
2 a 2 cot π 8 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 ≃ 4,828 43 a 2 . {displaystyle 2a^{2}cot {tfrac {pi }{8}}=2(1+{sqrt {2}})~a^{2}simeq 4{,}82843~a^{2}.}
2 R 2 2 = 8 r 2 ( 2 − 1 ) . {displaystyle 2R^{2}{sqrt {2}}=8r^{2}{({sqrt {2}}-1)}.}
Construction d’un octogone régulier à la règle et au compas.
D’après le théorème de Gauss-Wantzel et puisque 8 est une puissance de 2, l’octogone régulier est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :
- 1 : tracer une droite.
- 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
- 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l’intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon que celui-ci.
- 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
- 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l’intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
- 6 : tracer une droite passant par l’intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
- 7 : l’intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l’octogone
- 8 à 10 : reporter les côtés.
- 11 à 18 : tracer l’octogone.
Ou plus simplement :
- Tracer un carré, tracer les diagonales.
- Reporter la demi-diagonale sur les côtés du carré à partir de chaque angle.
- Tracer l’octogone en coupant les coins du carré.
Les fonts baptismaux de la cathédrale de Magdebourg sont faits de porphyre rouge antique d’ Égypte , exploité par les Romains dans l’Antiquité mais inconnu et inexploité durant le Moyen Âge, il s’agit donc de réemploi d’un bassin de fontaine en porphyre d’époque romaine, le trou central ayant été bouché.
L’octogone apparait dans le plan de certains édifices dans l’architecture de la Grèce antique puis se répand fortement dans l’architecture romaine. Il s’est ensuite largement transmis aux époques suivantes.
Dans l’Antiquité, on peut citer la présence de l’octogone pour le plan de la tour des Vents à Athènes (Ier ou IIe siècle av. J.-C.), pour la salle à coupole de la Domus aurea de Néron à Rome et d’autres salles à coupoles de la Rome antique, pour des mausolées comme celui du palais de Dioclétien à Split. On retrouve ensuite l’octogone dans le plan de nombreuses églises à plan centré et de baptistères relevant des architectures paléochrétienne et byzantine. Cette forme est ensuite abondement reprise au Moyen Âge dans les architectures arménienne, carolingienne, islamique, romane, gothique, et finit par connaitre encore un certain succès dans l’architecture de la Renaissance et de la période baroque. Parmi les multiples exemples, on peut citer la basilique Saint-Vital de Ravenne (VIe siècle), le dôme du Rocher à Jérusalem (VIIe siècle), la chapelle palatine de Charlemagne à Aix-la-Chapelle (VIIIe siècle), le baptistère Saint-Jean de Florence (XIIe siècle), Castel del Monte de Frédéric II du Saint-Empire (XIIIe siècle) en Apulie (Italie) qui a un plan octogonal flanqué de huit tours elle-mêmes octogonales, ou encore les sales capitulaires des cathédrales de Salisbury et de Wells en Angleterre (XIIIe siècle) et le dôme de Santa Maria del Fiore de Florence (XIIIe – XVe siècle).
Les bassins octogonaux existent également dès l’Antiquité et se transmettent ensuite. On en trouve dans les palais et thermes de la Rome antique, puis dans les églises, les monastères, les baptistères, ou encore dans les palais et les hammams islamiques.
En Asie les pagodes ont des plans divers : ronds, carrés ou polygonaux, parmi lesquels l’octogone est assez fréquent. On peut citer la pagode Sakyamuni du temple Fogong en Chine.
Pour les alchimistes, l’octogone est le parfait mélange entre le carré (l’Humain) et le cercle (le Divin).
Notes et références
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Définition d’ un Polygone Régulier
Un polygone régulier est un Polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure).
Origine du mot Polygone : le mot Polygone vient du grec polus qui veut dire « nombreux » et gonia qui signifie « angle ». Pour nommer les Polygones, on utilise un préfixe grec pour la partie numérique du nom suivi de la terminaison gone.
Par exemple, un polygone à six côtés est appelé un Hexagone et celui à neuf côtés est appelé un Enneagone.
Dans ce cours, nous allons voir la nomenclature des différents type de Polygones réguliers en fonction du nombre de côtés qui les constituent.
Polygone Régulier : Les figures les plus utilisées
Ci-dessous, tu as les Polygones Réguliers les plus utilisés en géométrie et leurs noms dépendent du nombre total des côtés :
Polygone Régulier : Mesure des Angles au Centre
La somme des angles au centre d’ un Polygone quelconque est 360°.
-
Triangle équilatéral : figure à
3 côtés
donc il a 3
angles au centre
. La mesure de chaque angle est 360° / 3 = 120°
-
Carrée : figure à
4 côtés
donc il a 4
angles au centre.
La mesure de chaque angle est 360° / 4 = 90°
-
Pentagone : figure à
5 côtés
donc il a 5
angles au centre
. La mesure de chaque angle est 360° / 5 = 72°
-
Hexagone : figure à
6 côtés
donc il a 6
angles au centre
. La mesure de chaque angle est 360° / 6 = 60°
-
Octogone : figure à
8 côtés
donc il a 8
angles au centre
. La mesure de chaque angle est 360° / 8 = 45°
-
Dodécagone : figure à
12 côtés
donc il a 12
angles au centre
. La mesure de chaque angle est 360° / 12 = 30°
Et c’est pareil pour les autres Polygones Réguliers qui sont pas cités…
Autres liens utiles :
Si ce n’est pas encore clair sur les Polygones Réguliers , n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible :).
Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête
Polygone Régulier ( Noms des polygones, Nombre de côtés et les angles au centre )
Polygone irrégulier
En géométrie, un polygone est une figure fermée qui comporte plusieurs côtés rectilignes (tracés à la règle). Le polygone est composé de plusieurs sommets reliés entre-eux par des segments. On dit qu’un polygone est régulier quand tous ses côtés ont la même longueur, et que tous ses angles sont égaux. Quand on parle d’angle, on se réfère à l’angle entre deux segments qui se suivent sur le contour du polygone. Pour un carré, il y a quatre angles à 90°. C’est un polygone s’il est fermé.
Plusieurs polygones
Certains polygones particuliers portent un nom spécifique, selon le nombre de leurs côtés ou leurs propriétés :
- le triangle (polygone à 3 côtés)
- triangle isocèle (2 côtés de la même longueur)
- triangle équilatéral (3 côtés de la même longueur)
- triangle rectangle (1 angle droit)
- triangle isocèle rectangle (qui a un angle droit et deux côtés égaux)
- le quadrilatère (polygone à 4 côtés)
- le carré (4 côtés de même longueur)
- le rectangle (4 côtés et quatre angles droits)
- le trapèze (4 côtés et au moins deux côtés opposés parallèles)
- le parallélogramme (4 côtés opposés parallèles et égaux)
- le losange (diagonales perpendiculaires qui se coupent en leurs milieux)
- le pentagone (5 côtés)
- l’hexagone (6 côtés)
- l’heptagone (7 côtés)
- l’octogone (8 côtés)
- l’ennéagone (9 côtés)
- le décagone (10 côtés)
- l’hendécagone (11 côtés)
- le dodécagone (12 côtés)
Il existe beaucoup d’autres variantes, comme par exemple le « myriagone » qui est un polygone avec 10 000 côtés. Mais pour des raisons pratiques, on parle souvent de « polygone à N côtés » (par exemple, un « polygone à 36 côtés » au lieu du « triacontakaihexagone »).
Note: Un carré est un losange et un rectangle particulier, qui sont eux-mêmes des cas particuliers de parallèlogramme, cas particulier de trapèze !
Dans un polygone, une diagonale est une droite qui relie deux sommets (qui ne sont pas déjà reliés par un côté). Le carré a par exemple 2 diagonales. Dans certains polygones, en particulier les polygones réguliers, les diagonales sont des axes de symétrie. Les diagonales sont utiles pour trouver le centre de gravité d’un polygone.
Un polygone peut être concave ou convexe. Pour savoir si un polygone est concave, il suffit de tracer un segment entre deux sommets et de regarder si le segment obtenu est entièrement contenu dans la figure. Il faut répéter cela pour toutes les paires de sommets possibles. Si lors d’un essai un segment se trouve partiellement ou complètement à l’extérieur, alors le polygone n’est pas convexe. On dit alors qu’il est concave.
Les carrés, les rectangles, les triangles sont des figures convexes. Par contre, si on dessine une étoile alors on obtient une figure concave. En effet, en traçant un trait entre les sommets de deux branches de l’étoile, on voit qu’il se trouve à l’extérieur de la figure.
Assemblage de polygones
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Les pentagones sont en noir et les hexagones en blanc.
Quand on assemble plusieurs polygones pour former un objet en 3D, on parle alors de polyèdre. Un ballon de football est un bon exemple de polyèdre, son enveloppe est composée de pentagones et d’hexagones. Un cube est aussi un polyèdre, il est formé de plusieurs faces carrées.
Quand on arrive à assembler les polygones sans laisser de trous, alors on peut parler de « pavage ». Un sol avec du carrelage est un exemple de pavage avec des carrés ou des rectangles. Les alvéoles fabriquées par les abeilles forment un pavage d’hexagones (que l’on appelle aussi « nid d’abeilles »).
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