Hexagone combien de coté

Un hexagone, du grec ἕξ (« six ») et γωνία (« angle »), est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier.

Table des matières

Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d’un hexagone régulier sont tous de 120°.

Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers permettent un pavage régulier du plan. Les pavages carrés et hexagonaux sont notamment utilisés pour réaliser des dallages.

Parmi tous les pavages du plan, le pavage hexagonal (régulier) est celui dont la longueur totale des côtés est le plus petit. Cette propriété est à l’origine, dans la nature, de nombreuses dispositions (planes ou en section plane) comme les alvéoles d’abeilles ou la prismation (en) des orgues basaltiques et des sols polygonaux.

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Relations métriques dans l’hexagone régulier

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Maille hexagonale que l’on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d’ordre 6 autour d’un point. L’hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux

L’hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.

Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l’hexagone régulier :

longueur d’un côté $a$
;
apothème : ligne droite perpendiculaire à l’un des côtés qui rejoint le centre de l’hexagone ; sa longueur est notée $h$
;
rayon du cercle circonscrit $r c$
;
rayon du cercle inscrit $r i$
.

Nous avons ainsi les relations suivantes :

${displaystyle a=r_{mathrm {c} }}$

${displaystyle h=r_{mathrm {i} }}$

$h={frac {{sqrt {3}}}{2}}a$

L’aire d’un hexagone régulier de côté a est

$A=frac{3sqrt3}{2}a^2.$

L’aire d’un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon ri est

$A=2sqrt{3}r_mathrm{i}^2.$

Démonstration : calcul de l’aire par décomposition en triangles

L’hexagone construit a pour tracé la base de six triangles équilatéraux accolés

Soient :

a

, la longueur d’un des 6 côtés de l’hexagone ;

h

, la longueur de l’apothème ;

r c

: longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l’hexagone à l’un des 6 sommets) ;

n

, le nombre de côtés du polygone régulier (pour la formule générale).

L’aire d’un hexagone régulier peut se calculer avec la formule A = 3ah puisque l’aire d’un polygone régulier à n côtés vaut nah/2.

Cette formule permet de calculer l’aire en divisant l’hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme rc = a, l’apothème h se déduit à l’aide de la formule de Pythagore h = r c 2 − ( a 2 ) 2 = 3 2 r {displaystyle textstyle h={sqrt {r_{mathrm {c} }^{2}-left({frac {a}{2}}right)^{2}}}={frac {sqrt {3}}{2}}r} ${displaystyle textstyle h={sqrt {r_{mathrm {c} }^{2}-left({frac {a}{2}}right)^{2}}}={frac {sqrt {3}}{2}}r}$ , d’où A = 3 a h = 3 3 2 r c 2 . {displaystyle textstyle A=3ah={frac {3{sqrt {3}}}{2}}r_{mathrm {c} }^{2}.} ${displaystyle textstyle A=3ah={frac {3{sqrt {3}}}{2}}r_{mathrm {c} }^{2}.}$

Construction d’un hexagone régulier

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Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel[1] : 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d’Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :

Image animée de gauche : un hexagone régulier inscrit dans un cercle. Ce polygone régulier est dessiné au moyen d’un compas, une règle et d’un crayon de papier.

On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD];
Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l’arc de cercle coupe le cercle C en B et en F; (3)
Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E; (4 – 5)
En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F, on obtient un hexagone régulier. (6 – 11)

Pavage hexagonal.

Un hexagone possède six axes de symétrie : trois axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, trois axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.

L’hexagone régulier permet de créer un pavage périodique.

Dans la nature

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Caractères Unicode hexagonauxCodeCaractèreU+2B21⬡U+2B22⬢U+2B23⬣

Tout hexagone qui n’est pas un hexagone régulier est dit irrégulier. Ce type d’hexagone peut prendre les formes suivantes :

Hexagone croiséHexagone convexeHexagone concaveSommetsCôtésDiagonales669

Hexagramme de Pascal

Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal, est très utile pour l’étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.

De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine est souvent appelée « l’Hexagone ».
Au cours du
XVII

e siècle, suivant un idéal architectural issu de la Renaissance

[

2

]

, des villes de Sicile comme Avola ou Grammichele détruites par un tremblement de terre en 1693, furent reconstruites en suivant un plan hexagonal.
Du fait de ses possibilités de pavage et des mouvements simples qu’il permet, l’hexagone est une figure très répandue dans les jeux de guerre.

↑
Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers tous différents.
↑
Liliane Dufour, Henri Raymond, Dalla città ideale alla città reale: la ricostruzione di Avola, 1693-1695, Lombardi, 1993.

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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°125057 : Noms des polygones (3 à 12 côtés)

Noms des polygones (3 à 12 côtés)

Rappel :

Un polygone qui a 3 côtés est un triangle.

Un polygone qui a 4 côtés est un quadrilatère.

Un polygone qui a 5 côtés est un pentagone.

Un polygone qui a 6 côtés est un hexagone.

Un polygone qui a 7 côtés est un heptagone.

Un polygone qui a 8 côtés est un octogone.

Un polygone qui a 9 côtés est un ennéagone ou nonagone.

Un polygone qui a 10 côtés est un décagone.

Un polygone qui a 11 côtés est un hendécagone ou undécagone.

Un polygone qui a 12 côtés est un dodécagone.

Maintenant, à vous de trouver quel est le nom des polygones ci-dessous. ↓

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Introduction

Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d’un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de même mesure. Les hexagones réguliers peuvent se juxtaposer les uns les autres sans laisser aucune lacune, comme les carrés et les triangles équilatéraux, et sont ainsi utiles pour construire des pavages. Les cellules des rayons dans une ruche d’abeilles à miel sont hexagonales pour cette raison et parce que cette forme permet une utilisation efficace de l’espace et des matériaux (Un matériau est une matière d’origine naturelle ou artificielle que l’homme façonne pour en…) de construction.

Calcul de la surface

La surface d’un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six…) régulier de côté $a,!$ est

$A = frac{3 sqrt{3}}{2}a^2.$

La surface d’un hexagone régulier dont le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale…) inscrit est $r_i,!$ , alors l’aire $A,!$ est

$A =2sqrt{3}r_i^2$

Propriétés générales

Hexagone croisé Hexagone convexe

(En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le…)

Hexagone concave Sommets Côtés Diagonales 6 6 9

Calcul de la surface par décomposition en triangles

La surface d’un hexagone régulier isométrique peut aussi se calculer avec la formule suivante :

$A = 6 cdot frac{( a cdot h )}{2}$

Déduit de la formule générale du calcul de l’aire d’un polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses…) possédant $n,!$ côtés ( $ngeq3$ ) :

$A = n cdot frac{( a cdot h )}{2}$

Cette formule permet de calculer l’aire en divisant l’hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme r = a, l’apothème (Un apothème est un terme désignant la ligne de construction définissant la médiatrice du côté…) $h,!$ se déduit à l’aide de la formule de Pythagore $h = sqrt{r^2 - (frac{a}{2})^2}$ .

$a,!$ : Longueur d’un des 6 côtés de l’hexagone. $h,!$ : Longueur de l’apothème (apothème : ligne droite perpendiculaire à l’un des côtés qui rejoint le centre de l’hexagone) $r,!$ : Longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l’hexagone à l’un des 6 sommets) $n,!$ : Nombre de côté du polygone

(En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est…)

Autres

De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine (La France métropolitaine, parfois raccourcie en Métropole, est dans le langage courant la…) est souvent appelée « Hexagone ».

Hexagone régulier

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Symétrie

(De manière générale le terme symétrie renvoie à l’existence, dans une…)

triangle

(En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points…)

Hexagone etéquilatéral

Construction d’un hexagone régulier

Un hexagone régulier est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une…) car il vérifie le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c’est-à-dire une…) de Gauss-Wantzel: 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des éléments d’Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης…), qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux:

Pavages

L’hexagone permet de créer un pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d’un espace (généralement un espace euclidien comme le…) périodique.

Dans la nature

Les alvéoles d’abeille (Abeille est un nom vernaculaire ambigu désignant en français certains insectes…), construits afin de stocker le miel et le pollen (Le pollen (du grec palè : farine ou poussière) constitue, chez les…) ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire (Chimiquement, la cire est un ester de l’éthylène glycol et de deux acides gras ou un…). Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L’hexagone est une figure optimale, pour l’abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c’est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l’espace, l’hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre (Le périmètre d’une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du…) donné. Aucune autre figure, permettant de paver l’espace n’utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l’œuvre de Pappus (Pappus d’Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important…), un géomètre grec de l’antiquité.

Usages

Ballon de football aux couleurs du Brésil. Normalisée, la forme d’un ballon de football est composée de 20 faces hexagonales et 12 pentagonales.

Vue (La vue est le sens qui permet d’observer et d’analyser l’environnement par la réception et…) intérieure verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le…) de la structure hexagonale, laissant transparaître l’étoile de David, du Mémorial de la synagogue, brûlée en 1938 durant la Nuit de cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que…), sur la Platz der Synagoge (place de la Synagogue) à Göttingen (Allemagne).

Hexagramme

L’hexagramme de Pascal