Introduction :
Dans le cours précédent, la lentille convergente et ses propriétés optiques ont été introduites. Cependant, utiliser une lentille convergente dans un circuit n’est intéressant que si la forme et la taille de l’image peuvent être calculée ou déduites. Ce cours permet dans une première partie d’introduire la notion de grandissement avant de détailler la méthode mathématique pour la calculer dans le cas d’une lentille convergente. Finalement, la troisième partie de ce cours porte sur l’application la plus ancienne et la plus intéressante des lentilles convergentes : l’œil.
La notion de grandissement
Tout objet projette une image à travers une lentille. Cependant, il est intéressant de connaître la dimension de l’image par rapport à l’objet.
Définition
Le grandissement :
Le grandissement, noté γgammaγ, est le rapport de la taille de l’image sur la taille de l’objet.
γ=taille de l’imagetaille de l’objetgamma= dfrac{text{taille de l’image}}{text{taille de l’objet}}γ=taille de l’objettaille de l’image
À retenir
La taille de l’objet et de l’image ont la même unité et par conséquence, le grandissement est une grandeur physique sans dimension.
L’axe optique, dit normé, dirige une source lumineuse jusqu’à après la lentille et les distances sont notées avec une barre horizontale placée au-dessus des lettres, AB‾overline{AB}AB par exemple.
-
Cette mesure algébrique est une longueur dont on affecte un signe.
Donc toute distance mesurée dans le sens de propagation de la lumière est comptée comme positive et toute distance mesurée dans le sens inverse de la propagation de la lumière est comptée comme négative.
La taille de l’image par rapport à l’objet dépend de la valeur absolue du grandissement :
- Si
∣γ∣>1vertgammavert > 1
∣
γ
∣
>
1
l’image est donc plus grande que l’objet ;
- Si
∣γ∣<1vertgammavert < 1
∣
γ
∣
<
1
l’image est donc plus petite que l’objet.
Le sens de l’image par rapport à l’objet dépend aussi de la valeur du grandissement :
- Si
γ>0gamma>0
γ
>
l’image est donc dans le même sens que l’objet ;
- Si
γ<0gamma<0
γ
<
l’image est donc dans le sens inverse de l’objet.
Le grandissement
Calcul du grandissement
Dans le cas d’une lentille convergente, un objet placé avant le point focal objet a une image réelle renversée de l’autre côté de la lentille.
Rappel
Une image est dite réelle si elle est projetable sur un écran. C’est le cas lorsque les rayons convergent vers un point d’intersection situé après la lentille. L’image est alors obtenue après la lentille.
L’image donnée par une lentille convergente est réelle si l’objet est situé avant le foyer objet.
Propriété
Le grandissement est : γ=A′B′‾AB‾gamma=dfrac{overline{A^prime B^prime}}{overline{AB}}γ=ABA′B′
Or (AB)//(A′B′)(AB) // ( A^prime B^prime)(AB)//(A′B′).
Donc d’après le théorème de Thalès :
A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾=OB′‾OB‾begin{aligned}dfrac{overline{A^prime B^prime}}{overline{AB}} =dfrac{overline{OA^prime}}{overline{OA}} =dfrac{overline{OB^prime}}{overline{OB}}end{aligned}ABA′B′=OAOA′=OBOB′
Donc : γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾=OB′‾OB‾begin{aligned}gamma=dfrac{overline{A^prime B^prime}}{overline{AB}}=dfrac{overline{OA^prime}}{overline{OA}} =dfrac{overline{OB^prime}}{overline{OB}}end{aligned}γ=ABA′B′=OAOA′=OBOB′
Une particularité est quand l’objet se trouve à une distance de deux fois la distance focale, l’image se trouvera de l’autre côté de la lentille inversée et à la même distance et ainsi ∣OA∣=∣OA′∣=2fvert OAvert =vert OA^{prime} vert = 2f∣OA∣=∣OA′∣=2f et donc γ=−1γ=-1γ=−1.
Exemple
Soit l’objet ABABAB mesurant 2 cm2,text{cm}2cm placé à une distance de 4 cm4,text{cm}4cm d’une lentille convergente. L’image A′B′A^prime B^primeA′B′ se forme à 1,3 cm1,3,text{cm}1,3cm après la lentille convergente. Calculer le grandissement et déduire la forme et la taille de son image ?
Tout abord comme l’objet est placé à une distance supérieure à la distance focale, l’image sera alors renversée donc γ<0γ<0γ<0.
D’après le théorème de Thalès : γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾=1,3-4=−0,32begin{aligned}gamma=dfrac{overline{A^prime B^prime}}{overline{AB}}=dfrac{overline{OA^prime}}{overline{OA}} =dfrac{1,3}{-4}=-0,32end{aligned}γ=ABA′B′=OAOA′=-41,3=−0,32
Donc,A′B′‾=OA′‾×AB‾OA‾=1,3×2-4=−0,65 cmbegin{aligned}overline{A^prime B^prime}&=overline{OA^prime}timesdfrac{overline{AB}}{overline{OA}}=1,3timesdfrac{2}{-4}=-0,65,text{cm}end{aligned}A′B′=OA′×OAAB=1,3×-42=−0,65cm
Ainsi, γ=−0,32γ= – 0,32γ=−0,32 et l’image A′B′A^prime B^primeA′B′ sera renversée par rapport à ABABAB et mesurera 0,65 cm0,65,text{cm}0,65cm.
À retenir
Plus un objet s’éloigne de la lentille plus son image est petite et inversement plus un objet se rapproche de la lentille (en restant à une distance supérieure à la distance focale) plus l’image s’agrandit.
En effet, le grandissement dépend de la taille de l’objet mais aussi de la position : γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾gamma=dfrac{overline{A^prime B^prime}}{overline{AB}}=dfrac{overline{OA^prime}}{overline{OA}}γ=ABA′B′=OAOA′
Donc quand la distance entre la lentille et l’objet (valeur absolue de OAOAOA) augmente le grandissement diminue et ainsi la taille de l’image diminue pour la même taille d’objet.
Le modèle de l’œil
Afin de nous permettre de voir les objets, l’œil est doté d’un mécanisme optique basé sur une lentille convergente.
Tout abord, la lumière naturelle ou artificielle illumine un objet qui la réfléchit jusqu’à nos yeux. Une fois que les faisceaux lumineux ont atteint nos yeux, l’iris ajuste l’ouverture pour réguler l’intensité lumineuse atteignant le cristallin. Ce dernier se comporte comme une lentille convergente ajustable.
En effet, le cristallin est capable d’ajuster sa convergence en se bombant pour faire varier sa distance focale et ainsi permettre la formation d’une image nette sur la rétine, on dit que l’œil accommode. Cela est nécessaire puisque dans l’œil, la distance cristallin-rétine est fixe (en moyenne 17 mm17,text{mm}17mm séparent le cristallin de la rétine). L’image formée sur la rétine est ensuite transmise au cerveau.
-
L’image ci-dessous montre l’œil et sa modélisation optique.
À retenir
Le fonctionnement de l’œil est assimilé à une lentille convergente ajustable (le cristallin) et à un écran (la rétine) sur lequel se forme l’image.
Dans le cas de la myopie, l’image se forme avant la rétine, c’est-à-dire que l’œil myope est trop convergent et l’image est donc floue. Pour corriger cela, il faut donc placer une lentille divergente devant l’œil et l’image sera plus nette.
Et dans le cas de l’hypermétropie, l’image se forme après la rétine, c’est-à-dire que l’œil hypermétrope n’est pas assez convergent et l’image est donc aussi floue. Pour corriger cela, il faut donc placer une lentille convergente devant l’œil et l’image sera plus nette.
Conclusion :
Le grandissement (γ)(gamma)(γ) est le rapport de la taille de l’image sur la taille de l’objet. Il dépend expérimentalement du type de lentille, de la distance focale de la lentille et de la distance de l’objet par rapport à la lentille. En connaissant le grandissement, l’application du théorème de Thalès permet de déduire la taille de l’image.
Le fonctionnement de l’œil est basé sur une lentille convergente. Le cristallin de l’œil est une lentille convergente qui ajuste sa convergence afin de permettre le traçage d’une image nette sur la rétine.
Une lentille est constituée d’un milieu transparent limité par deux dioptres sphériques de rayons r1 et r2. Un dioptre est une surface qui sépare deux milieux transparents homogènes, isotropes et d’indices de réfraction différents. La droite qui relie les centres C1 et C2 de ces dioptres constitue l’axe optique de la lentille. Si les rayons des deux dioptres sont égaux, le centre de la lentille est alors son centre optique O. Si la lentille est plus mince à ses bords qu’en son milieu, il s’agit d’une lentille convergente, sinon c’est une lentille divergente.
Lentille convergente mince ou épaisse
Si on considère une lentille convergente épaisse, alors il faut prendre en considération son épaisseur. Le milieu dont est constitué une lentille étant davantage réfringent que son milieu environnant, tout rayon qui traverse la lentille subit deux réfractions :
-
à son entrée : il passe d’un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent
-
à sa sortie : il passe d’un milieu plus réfringent dans un milieu moins réfringent.
Si le rayon a un angle d’incidence nul, alors il traverse la lentille en suivant l’axe optique sans être dévié. Si le rayon est oblique par rapport à l’axe optique mais qu’il passe par son centre optique, alors il est légèrement décalé latéralement mais sans que sa direction ne soit modifiée. En revanche, si on considère une lentille convergente mince, on ne tient pas compte de son épaisseur. On néglige alors le déplacement latéral des rayons obliques par rapport à l’axe optique et passant par le centre optique observé avec la lentille convergente épaisse.
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Les rayons lumineux particuliers
Pour pouvoir tracer l’image d’un objet par une lentille mince convergente, on considère trois rayons particuliers, dont le trajet à travers la lentille peut être facilement déterminé.
- Les rayons passant par le centre optique
Les rayons qui passent par le centre optique O de la lentille ne subissent aucune déviation. Pour tracer le rayon, il suffit de prolonger le rayon incident.
- Les rayons incidents parallèles à l’axe optique
Les rayons incidents parallèles à l’axe optique de la lentille forment des rayons émergents dirigés vers le foyer image F’.
- Les rayons émergents parallèles à l’axe optique
Les rayons émergents parallèles à l’axe optique de la lentille sont issus des rayons incidents qui passent par le foyer objet F.
Le point image d’un point objet
Soit A un point objet lumineux placé sur l’axe optique d’une lentille à une certaine distance p = AO. Tous les rayons de lumière émis par A et qui passent par la lentille convergent de l’autre côté en un seul point A’ : c’est le point image du point objet. Le point image A’ se trouve à une distance q = OA’ de la lentille. Si le point objet A est à une distance p de la lentille plus petite, son point image A’ se trouve alors à une distance q plus grande. Caractéristiques de l’image d’un objet en fonction de leur distance :
Distance objet / lentille
Distance lentille / image
Caractéristiques de l’image
Applications
OA > 2f
f < OA’ < 2f
réelle, renversée
image < objet
cristallin de l’oeil, objectif photo
f < OA < 2f
OA’ > 2f
réelle, renversée
image > objet
projecteurs (films, transparents)
OA = f
image à l’infini
virtuelle
phares maritimes (faisceaux parallèles)
OA < f
OA’ > OA
virtuelle
image > objet
loupe, verres correcteurs (presbytie, hypermétropie)
Foyer objet, foyer image et distance focale d’une lentille convergente
Si la distance p est suffisamment petite, le faisceau sortant devient parallèle à l’axe optique de la lentille : la distance q est alors infiniment grande. Cette valeur de p est appelée la distance focale f de la lentille. Le point objet A se trouve maintenant au foyer objet F de la lentille. Si on réduit p davantage, alors le faisceau sortant devient un faisceau divergent. Si le point objet A est à une distance p de plus en plus grande, le foyer image A’ se trouve alors à une distance q de plus en plus petite. Si la distance p est très grande (ou infinie), alors q est minimal : cette valeur de q est aussi égale à la distance focale f de la lentille. Le point image A’ se trouve maintenant au foyer image F’ de la lentille.
Vergence d’une lentille convergente
On appelle vergence d’une lentille convergente de distance focale f la grandeur C tel que : [C = frac{1}{f}]C= 1/f.
-
L’unité de la vergence est la dioptrie, notée delta (δ).
-
La distance f s’exprimant en mètres (m), on a :
[δ = frac{1}{m}] La vergence d’une lentille convergente est toujours positive (à l’inverse, la vergence d’une lentille divergente est toujours négative). Dans la vie courante, on utilise fréquemment l’unité de dioptrie lors des passages chez l’opticien.
Construction de l’image d’un objet par une lentille mince convergente
Tracer l’image réelle d’un objet
Cas où la distance Objet / Lentille est supérieure à la distance Lentille / Foyer Image F’
L’image d’un objet est dite réelle si elle se situe après la lentille et qu’elle peut être observée sur un écran. On obtient une image réelle lorsque l’objet est situé avant le foyer objet de la lentille. Méthode pour tracer l’image réelle A’B’ d’un objet correspondant à un segment AB perpendiculaire à l’axe optique de la lentille et dont le point A appartient à cet axe :
-
L’image A’B’ comporte les mêmes angles que l’objet AB, donc l’image A’B’ sera aussi perpendiculaire à l’axe optique.
-
Le point B’, image de B à travers la lentille mince convergente, s’obtient en traçant deux rayons particuliers :
-
celui qui passe par le centre optique O de la lentille n’est pas dévié.
-
le rayon incident qui est parallèle à l’axe optique émerge en passant par le foyer image F’.
-
L’intersection des deux rayons émergents permet de déterminer le point image B’.
- Le point A’, image de A à travers la lentille mince convergente est tout comme le point A, également sur l’axe optique.
-
Une fois le point image B’ déterminé, il suffit de tracer la droite perpendiculaire à l’axe optique de la lentille passant par B’ pour pouvoir déterminer le point image A’ (qui se situe à l’intersection de cette perpendiculaire et de l’axe optique).
On constate que l’image A’B’ est inversée par rapport à l’objet AB.
Plus l’objet AB sera éloigné du centre optique de la lentille O et plus l’image A’B’ sera petite et proche du foyer image F’. Dans le cas particulier d’un objet situé à l’infini ou qu’il est positionné de manière extrêmement lointaine par rapport au centre optique de la lentille O, alors l’image se forme dans le plan du foyer image F’. Les A’, B’ et F’ sont alors confondus.
Cas où la distance Objet / Lentille est inférieure à la distance Lentille / Foyer Image F’
Plus l’objet AB sera éloigné du centre optique de la lentille O et plus l’image A’B’ sera petite et proche du foyer image F’. Dans le cas particulier d’un objet situé à l’infini ou qu’il est positionné de manière extrêmement lointaine par rapport au centre optique de la lentille O, alors l’image se forme dans le plan du foyer image F’. Les A’, B’ et F’ sont alors confondus.
L’objet de situe alors entre le foyer F et le centre optique de la lentille. On cherche d’abord B’, l’image de B à travers la lentille mince convergente. Pour construire cette image, nous allons utiliser seulement deux rayons lumineux par les trois rayons particuliers :
- Le rayon passant par le centre optique O n’est pas dévié.
- Le rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par le foyer image F’.
On constate alors que les rayons divergent après avoir traversé la lentille. On ne peut donc pas obtenir une image nette après la lentille. En revanche, ces rayons lumineux se croisent avant la lentille. Le point B’ est donc à l’intersection de ces deux rayons lumineux. On cherche ensuite l’image de A à travers la lentille mince convergente. Comme A est sur l’axe, son image A’ à travers la lentille convergente sera également sur l’axe. L’objet AB est de plus perpendiculaire à l’axe optique. Donc son image A’B’ sera également perpendiculaire à l’axe optique. On constate alors que l’image A’B’ est virtuelle car elle est située avant la lentille. Elle est de plus dans le même sens et plus grande que l’objet AB. Dans la vie courante, nous utilisons cette propriété optique lorsque nous utilisons une loupe.
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