L inverse de 2

Quel est l’inverse de 1 ?

Table des matières

Quel est l’inverse de 2 ?

Quel est l’inverse de 100 ?

Quel est l’inverse de 0 ?

Quel est l’inverse de – 2 ?

Quel est l’inverse de – 0,1 ?

Quel est l’inverse de 4 ?

Quel est l’inverse de – 1 ?

Quel est l’inverse de – 5 ?

Quel est l’inverse de 1000 ?

En mathématiques, l’inverse d’un élément x (s’il existe) est le nom donné à l’élément symétrique, lorsque la loi est notée multiplicativement. Dans le cas réel, il s’agit du nombre qui, multiplié par x, donne 1. On le note x−1 ou 1/x.

Par exemple, dans R {displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ , l’inverse de 3 est 1 3 = 0,333 … {displaystyle {frac {1}{3}}=0{,}333dots } ${displaystyle {frac {1}{3}}=0{,}333dots }$ , puisque 1 3 × 3 = 1 {displaystyle {frac {1}{3}}times 3=1} ${displaystyle {frac {1}{3}}times 3=1}$ .

Soit S {displaystyle S} $S$ un monoïde, c.-à-d. un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, qu’on note × {displaystyle times } $times$ , et d’un élément neutre pour × {displaystyle times } $times$ noté 1.

Un élément x ∈ S {displaystyle xin S} $xin S$ est dit inversible à gauche (respectivement inversible à droite) s’il existe un élément y ∈ S {displaystyle yin S} ${displaystyle yin S}$ tel que y × x = 1 {displaystyle ytimes x=1} ${displaystyle ytimes x=1}$ (respectivement x × y = 1 {displaystyle xtimes y=1} ${displaystyle xtimes y=1}$ )[1].

Il est dit inversible s’il est à la fois inversible à gauche et inversible à droite. L’élément y, qui est alors unique, est appelé l’inverse de x, et est noté x−1[2].

Le plus souvent, quand on parle d’éléments inversibles, on se place dans un groupe ou dans un anneau.

Dans un groupe ( G , × ) {displaystyle (G,times )} $(G,times)$ , la loi de composition interne considérée est × {displaystyle times } $times$ et par définition tous les éléments de G {displaystyle G} $G$ sont inversibles.

Dans un anneau ( A , + , × ) {displaystyle (A,+,times )} $(A,+,times )$ , la loi de composition interne considérée est × {displaystyle times } $times$ et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles.

READ Spaces and exchanges introduction

Les éléments inversibles de l’anneau forment un groupe pour la multiplication de l’anneau, appelé groupe des inversibles de cet anneau, et souvent noté U(A) ou A×.

Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi + {displaystyle +} $+$ (souvent noté 0 {displaystyle 0} ${displaystyle 0}$ ), est par définition un corps.

Anneaux et corps

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Plus généralement, pour une matrice A ∈ GL n ⁡ ( R ) {displaystyle Ain operatorname {GL} _{n}(mathbb {R} )} ${displaystyle Ain operatorname {GL} _{n}(mathbb {R} )}$ , son inverse A-1 s’exprime à partir de son déterminant et de sa comatrice : A − 1 = 1 d e t ( A ) c o m ( A ) T {displaystyle A^{-1}={frac {1}{mathrm {det} (A)}}mathrm {com} (A)^{T}} ${displaystyle A^{-1}={frac {1}{mathrm {det} (A)}}mathrm {com} (A)^{T}}$ .

Dans le monoïde (pour la composition) des applications d’un ensemble fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les injections et celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections. Il en est de même dans l’anneau des endomorphismes d’un espace vectoriel.

Attention, lorsque f est à la fois une fonction numérique et une bijection, il ne faut pas confondre l’inverse avec sa bijection réciproque, dont la notation courante est f −1 :

${displaystyle (f(x))^{-1}neq f^{-1}(x)}$

Exemple pour la fonction cosinus cos : [ 0 , π ] → [ − 1 , 1 ] {displaystyle cos :[0,pi ]to [-1,1]} ${displaystyle cos :[0,pi ]to [-1,1]}$ : ( cos ⁡ x ) − 1 = 1 cos ⁡ x , cos − 1 ⁡ ( x ) = arccos ⁡ x {displaystyle (cos x)^{-1}={frac {1}{cos x}},quad cos ^{-1}(x)=arccos x} ${displaystyle (cos x)^{-1}={frac {1}{cos x}},quad cos ^{-1}(x)=arccos x}$ .

Somme infinies d’inverses et propriétés intéressantes

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Les séries numériques impliquant les inverses des nombres sont des cas d’école

${displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}longrightarrow +infty }$ série harmonique).

${displaystyle sum _{k=1}^{+infty }{frac {(-1)^{k}}{k}}=1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+dots =ln(2)}$ série harmonique alternée).

${displaystyle sum _{k=1}^{+infty }left({frac {1}{k}}right)^{2}=1+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+dots ={frac {pi ^{2}}{6}}}$ la fonction zêta de Riemann

${displaystyle zeta (2m)=sum _{k=1}^{+infty }{frac {1}{k^{2m}}}=1+{frac {1}{2^{2k}}}+{frac {1}{3^{2k}}}+cdots ={frac {|B_{2m}|(2pi )^{2m}}{2(2m)!}},min mathbb {Z} }$

READ Scratch programme de calcul

${displaystyle |B_{2m}|}$ nombre de Bernoulli.

Seuls deux nombres complexes sont opposés à leur inverse (soit 1 x = − x {displaystyle {frac {1}{x}}=-x} ${displaystyle {frac {1}{x}}=-x}$ ) : i et –i (car ce sont les solutions de x 2 = − 1 {displaystyle x^{2}=-1} $x^{2}=-1$ ).

Diviser par un nombre b revient à multiplier par l’inverse de b, a b = a 1 b ( b ≠ 0 ) {displaystyle {frac {a}{b}}=a{frac {1}{b}}(bneq 0)} ${displaystyle {frac {a}{b}}=a{frac {1}{b}}(bneq 0)}$ .

Notes et références

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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°73888 : Inverse et opposé

Inverse et opposé

Dans ce cours, nous allons revoir les notions d’inverse et d’opposé.

I. Opposé

L’opposé d’un nombre a est l’unique nombre b tel que a+b=0; il se note – a

Application :

L’opposé de 3 est -3

L’opposé de -5 est 5

L’opposé de x est -x

II. Inverse

L’inverse d’un nombre a non nul est l’unique nombre b tel que a × b = 1; il se note 1⁄a

Application :

L’inverse de 1 est 1/1, soit 1 car 1×1=1

L’inverse de 5 est 1/5, soit 0.2 car 5×0.2=1

III. Différencier l’opposé de l’inverse

1 et -1 sont des opposés , 3 et -3 sont des opposés: des nombres opposés ont des signes opposés et la même ‘distance à zéro’ (c’est-à-dire la même valeur absolue)

1 et 1 sont des inverses, 5 et 0.2 sont des inverses, 0.1 et 10 sont des inverses: des nombres inverses ont le même signe et des distances à zéro généralement différentes

Fin de l’exercice de maths (mathématiques) « Inverse et opposé »
Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques).
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L’inverse d’un nombre

On trouve l’inverse d’un nombre en remplaçant x par le nombre en question dans la fraction suivante:

$frac{1}{x}$

Exemple :

– L’inverse de 5 est 1/5 soit 1 : 5 = 0.2

– L’inverse de 45 est 1/45 soit 1 : 45 = 0.02222…

– L’inverse de 89 est 1/89 soit 1 : 89 = 0.0112…

– L’inverse de -9 est 1/-9 soit 1 : (-9) = -0.111…

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C’est parti

L’inverse d’une fraction

On trouve l’inverse d’une fraction en échangeant le dénominateur par le numérateur.

Exemple :

– L’inverse de 78/96 est 96/78

– L’inverse de 15/25 est 25/15

– L’inverse de 69/41 est 41/69

Exercice

Exercice 1 (4 points) :

L’inverse de 7 est …../….. soit ……………….=……………. /1

L’inverse de 45 est ……/…… soit ………………..=…………… /1

L’inverse de 1542 est ………../………… soit ……………………………………=………………. /1

L’inverse de 145 est ………./…………. soit …………………………………….=……………….. /1

Exercice 2 (4 points) :

L’inverse de -78 est ………../……………. soit ………………………………………=……………….. /1

L’inverse de -56 est ………../……………. soit ………………………………………=……………….. /1

L’inverse de -6 est …………/……………. soit ……………………………………….=……………….. /1

L’inverse de -3 est …………../…………..soit ……………………………………….=……………….. /1

Exercice 3 (4 points) :

L’inverse de 56/86 est ………………… /1

L’inverse de 44/65 est ………………… /1

L’inverse de 12/56 est ………………… /1

L’inverse de 36/95 est ………………… /1

Exercice 4 (4 points) :

12/45 est l’inverse de ……………….. /1

46/82 est l’inverse de ……………….. /1

21/56 est l’inverse de ……………….. /1

452/96 est l’inverse de ………………… /1

Exercice 5 (4 points) :

On calcule l’inverse d’un nombre en ………………………………………………………………………./2

On trouve l’inverse d’une fraction en ………………………………………………………………………/2

Anneaux et corps

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Somme infinies d’inverses et propriétés intéressantes

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L’inverse d’un nombre

L’inverse d’une fraction

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