La loi de beer lambert

Illustration de la loi de Beer–Lambert avec de la lumière laser verte dans une solution de Rhodamine B . La puissance rayonnante du faisceau s’affaiblit lorsqu’il passe à travers la solution

La loi de Beer-Lambert, aussi connue comme la loi de Beer-Lambert-Bouguer chez les Français et loi de Beer dans la littérature anglo-saxonne[1], est une relation empirique reliant l’atténuation d’un faisceau de lumière aux propriétés du milieu qu’il traverse et à l’épaisseur traversée.

La loi de Beer-Lambert établit que l’absorbance A {displaystyle A} d’une solution est proportionnelle, d’une part, à sa concentration c {displaystyle c} et, d’autre part, à la longueur ℓ {displaystyle ell } du trajet parcouru par la lumière dans la solution :

A = ε ℓ c {displaystyle A=varepsilon ell c}

avec :

• ε {displaystyle varepsilon }

  absorptivité molaire ;

• ℓ {displaystyle ell }

  

• c {displaystyle c}

  

La loi de Beer-Lambert est aussi valable pour décrire l’absorption de tout rayonnement (photons, neutrons, particules α, etc.) par la matière condensée et constitue une solution élémentaire de l’équation de transfert radiatif.

Elle ne décrit pas le phénomène d’extinction par diffusion.

Une partie de la loi est découverte par le physicien français Pierre Bouguer en 1729 alors qu’il regardait du vin rouge, lors de brèves vacances dans l’Alentejo, au Portugal[2], puis reprise par le mathématicien alsacien Jean-Henri Lambert en 1760[3]. La loi de Lambert stipule alors que l’absorbance est directement proportionnelle à l’épaisseur du milieu traversé. En 1852, le physicien allemand August Beer adjoint à la loi de Lambert la relation de proportionnalité entre l’absorbance et les concentrations des constituants physico-chimiques responsables de l’atténuation[4], lui donnant la forme sous laquelle elle est le plus souvent utilisée.

La loi de Beer-Lambert a été formulée empiriquement, mais elle peut être dérivée comme à la section qui suit[5].

Établissement de la loi et propriétés

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On suppose que la fraction de photons absorbés dans le milieu considéré est indépendante du nombre de photons incidents et proportionnelle à la longueur du trajet (donc au nombre de particules absorbantes rencontrées) :

d n n = − κ d x {displaystyle {frac {mathrm {d} n}{n}}=-kappa ,mathrm {d} x}

où n {displaystyle n} est le nombre de photons par unité de volume dans l’intervalle spectral d ν {displaystyle mathrm {d} nu } . Le coefficient de proportionnalité κ {displaystyle kappa } est le coefficient d’absorption (en m−1). Plutôt que n {displaystyle n} , on utilise le flux d’énergie transportée par l’intermédiaire de la luminance :

L = h ν c n {displaystyle L=hnu cn}

où h {displaystyle h} est la constante de Planck, ν {displaystyle nu } la fréquence du rayonnement et c {displaystyle c} la vitesse de la lumière. L’équation sur celle-ci s’écrit par un changement de variable simple :

d L L = − κ d x {displaystyle {frac {mathrm {d} L}{L}}=-kappa mathrm {d} x}

Cette équation s’intègre immédiatement pour donner la loi de Beer-Lambert.

L = L 0 e − κ x {displaystyle L=L_{0}e^{-kappa x}}

De l’hypothèse initiale on déduit quelques propriétés :

• si deux espèces (ou plus) sont présentes dans le milieu, les fractions absorbées s’additionnent, donc les coefficients d’absorption font de même ;
• l’absorption est proportionnelle au nombre de particules absorbantes, donc le coefficient d’absorption également.

Par suite on peut exprimer le coefficient d’absorption en faisant apparaître la quantité de particules absorbantes N par unité de volume :

• directement en écrivant

  κ = N σ {displaystyle kappa =Nsigma }

  

  σ {displaystyle sigma }

  section efficace (en m2) ;

• indirectement en faisant apparaître une quantité proportionnelle à N, par exemple la masse volumique

  ρ {displaystyle rho }

  masse volumique partielle dans le cas d’un mélange)

  κ = ρ χ {displaystyle kappa =rho chi }

  

  χ {displaystyle chi }

  opacité (en m2 kg−1).

L’absorption résulte de l’interaction du photon avec un atome ou une molécule, laquelle subit un phénomène d’absorption dans lequel le photon disparaît en cédant toute son énergie. Ces phénomènes sont caractérisés fréquence par fréquence dans des bases de données pléthoriques : une espèce chimique donnée peut présenter des centaines de milliers de raies. On peut citer parmi les plus connues et accessibles librement les bases HITRAN (High-resolution transmission molecular absorption database)[6] et GEISA (Gestion et Etude des Informations Spectroscopiques Atmosphériques)[7].

On prendra garde au fait que les coefficients d’absorption de ces bases peuvent être relatifs à une molécule ou à une mole.

La loi de Beer-Lambert et son domaine de validité

Définition de la loi de Beer-lambert

Soit une radiation monochromatique de longueur d’onde fixe traversant un échantillon d’épaisseur l, l’absorbance vérifie la loi de beer-lambert soit :

A = εlc

Avec :

• A : absorbance
• ε: le coefficient d’absorption molaire en L.mol-1.cm-1
• l : la largeur de cuve en cm
• c : la concentration de la solution en mol/L



Applications de la loi de beer-lambert

Cette loi est utilisée pour de nombreux dosages d’espèces chimiques colorées. Pour des composés incolores, il est parfois possible de fabriquer des complexes colorés. Cette loi n’est valable que pour les faibles concentrations et en général pour des absorbances inférieures à 1. Toutefois, ceci va dépendre du soluté étudié et de la qualité du spectrophotomètre. Les appareils les plus récents acceptent des absorbances beaucoup plus élevées.
Dans tous les cas pour s’assurer que la loi est vérifiée dans le domaine d’étude choisi, il suffit de tracer l’absorbance en fonction de la concentration. La loi de Beer-Lambert est applicable dans la partie rectiligne du tracé. Au-delà d’une certaine concentration, la linéarité n’est plus obtenue comme le montre l’analyse spectrophotométrique ci-dessous.

Il est donc parfois nécessaire de réaliser des dilutions pour rester dans le domaine linéaire. La loi de beer lambert est également utilisée dans certains détecteurs comme ceux installés en HPLC.

Loi de Beer-Lambert – Définition

La loi de Beer-Lambert, aussi connue comme la loi de Beer-Lambert-Bouguer et chez les francophones parfois même simplement comme la loi de Bouguer, est une relation empirique reliant l’absorption de la lumière aux propriétés des milieux dans lesquels elle passe.
La loi de Beer-Lambert établit une proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en…) entre la concentration d’une entité chimique en solution, l’absorbance (L’absorbance mesure la capacité d’un milieu à absorber la lumière qui le traverse. On l’appelle…) de celle-ci et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus…) du trajet parcouru par la lumière (La lumière est l’ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l’œil…) dans la solution.

Enoncé

Soit un rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique…) (ÉM) de longueur d’onde (Une onde est la propagation d’une perturbation produisant sur son passage une variation réversible…) λ (p. ex. lumière), traversant un milieu transparent. L’intensité de ce rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d’émission ou de…) subit une diminution exponentielle (La fonction exponentielle est l’une des applications les plus importantes en analyse, ou plus…) en fonction de la distance parcourue et de la densité (La densité ou densité relative d’un corps est le rapport de sa masse volumique à la…) des espèces absorbantes dans ce milieu.

• I0 est l’intensité de la lumière incidente.
• I est l’intensité de la lumière sortante.
• α est le coefficient

  (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d’un certain…)

  absorption

  ( En optique, l’absorption se réfère au processus par lequel l’énergie d’un photon est prise…)

  −1 ou en cm−1).

• X est la longueur du trajet optique

  (L’optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement…)

• r est la densité de l’entité absorbante, atomes

  (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l’on ne peut…)

  −3).

La valeur du coefficient d’absorption α varie entre différents matériaux (Un matériau est une matière d’origine naturelle ou artificielle que l’homme façonne pour en…) et aussi avec la longueur d’onde (Une onde est la propagation d’une perturbation produisant sur son passage une variation…) pour un matériau (Un matériau est une matière d’origine naturelle ou artificielle que l’homme façonne…) particulier. Elle est définie par l’équation :

• ω est la pulsation angulaire du rayonnement ÉM.
• k est le coefficient d’extinction

  (D’une manière générale, le mot extinction désigne une action consistant à éteindre quelque…)

  atténuation

  (Perte d’intensité et amplitude d’un signal…)

  énergie

  (Dans le sens commun l’énergie désigne tout ce qui permet d’effectuer un travail, fabriquer de la…)

• c est la célérité

  (La célérité (traditionnellement notée c) est la vitesse de propagation d’un…)

  vide

  (Le vide est ordinairement défini comme l’absence de matière dans une zone spatiale.)

Dérivation

L’absorption d’un faisceau lumineux monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la…) dans un milieu homogène et isotrope est proportionnelle à la longueur du trajet optique suivi par cette radiation (Le rayonnement est un transfert d’énergie sous forme d’ondes ou de particules, qui peut se…) et la concentration, en solution, ou la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée…) partielle, en phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et…) gazeuse, des espèces absorbantes[1].

La loi de Beer-Lambert peut s’exprimer ainsi :

Ou encore :

• I / I

  est la transmittance de la solution (sans unité).

• A est l’absorbance ou densité optique

  (La densité optique ou absorbance désigne le logarithme décimal de l’opacité, c’est-à-dire…)

  λ (sans unité).

• ε est le coefficient d’extinction molaire (en L·mol−1·cm−1). Il dépend de la longueur d’onde, la nature chimique de l’entité et la température

  (La température est une grandeur physique mesurée à l’aide d’un thermomètre et…)

• ? est la longueur du trajet optique dans la solution traversée, elle correspond à l’épaisseur de la cuve utilisée (en cm).
• C est la concentration molaire de la solution (en mol.L−1). Dans le cas d’un gaz

  (Un gaz est un ensemble d’atomes ou de molécules très faiblement liés et…)

  C peut être exprimée comme une densité (unités de longueur réciproque

  (La réciproque est une relation d’implication.)

  cube

  (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées….)

  −3).

Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement…) est très utile pour la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à…) analytique. En effet, si ? et ε sont connus, la concentration d’une substance peut être déduite de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,…) de lumière transmise par elle.

Additivité

À une longueur d’onde donnée (Dans les technologies de l’information, une donnée est une description élémentaire,…) λ, l’absorbance A d’un mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses…) de n espèces absorbantes est la somme des absorbances individuelles :

Exemple d’application

Soit une solution contenant un mélange de Ni(II) et de Co(II), on cherche à déterminer leurs concentrations respectives CNi et CCo en appliquant la loi de Beer-Lambert.

Pour ceci, on mesure l’absorbance de la solution à deux longeurs d’ondes différentes λa = 393 nm et λb = 510 nm qui correspondent repectivement aux absorbances maximales des deux entités en solution prises chacune à part. On établit alors les équations suivantes :

Connaissant A et ε dans chaque cas, on peut déterminer les concentrations relatives de chaque espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type »…) par simple résolution de ce système d’équations.

N.B. : contrairement aux absorbances, les transmittances de plusieurs entités ne sont pas des grandeurs additives.

atmosphère

(Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :)

Loi de Beer-Lambert dans l’

La loi de Beer-Lambert peut être appliquée pour décrire l’atténuation du rayonnement solaire (En plus des rayons cosmiques (particules animées d’une vitesse et d’une énergie extrêmement…) à travers l’atmosphère. Dans ce cas, une partie de cette lumière est diffusée alors qu’une autre est absorbée par les différents constituants. La loi est exprimée comme suit:

Dans cette équation, τx est le coefficient de transparence (Un matériau ou un objet est qualifié de transparent lorsqu’il se laisse traverser par la…) d’un composant x de l’atmosphère, qui peut être:

• a fait références aux aérosols qui absorbent et diffusent la lumière,
• g est un mélange uniforme de gaz (principalement, le dioxyde de carbone

  (Le dioxyde de carbone, communément appelé gaz carbonique ou anhydride carbonique, est un…)

  2) et le dioxygène

  (Le dioxygène est une molécule composée de deux atomes d’oxygène, notée O2,…)

  2). Ils sont seulement absorbants, respectivement, des ultraviolets et des infrarouges),

• NO2 est le dioxyde d’azote

  (L’azote est un élément chimique de la famille des pnictogènes, de symbole N et de…)

  pollution

  (La pollution est définie comme ce qui rend un milieu malsain. La définition varie selon le…)

• w est l’absorption due à la vapeur

  ()

  eau

  (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les…)

• O3 est l’ozone

  (L’ozone (ou trioxygène) est un composé chimique comportant 3 atomes…)

• r est la diffusion Rayleigh

  (La diffusion Rayleigh est un mode de diffusion des ondes (par exemple électromagnétiques ou…)

  oxygène

  (L’oxygène est un élément chimique de la famille des chalcogènes, de…)

  2) et l’azote (N2) (ce dernier est à l’origine de la couleur

  (La couleur est la perception subjective qu’a l’œil d’une ou plusieurs fréquences d’ondes…)

• m est le facteur optique de la masse

  (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un…)

  air

  (L’air est le mélange de gaz constituant l’atmosphère de la Terre. Il est inodore et…)

  θ où θ est l’angle

  (En géométrie, la notion générale d’angle se décline en plusieurs concepts…)

Cette équation est utilisée pour déterminer la profondeur optique des aérosols, afin d’étudier leur effets sur le climat (Le climat correspond à la distribution statistique des conditions atmosphériques dans une…), ou pour corriger les abbérations dans les images obtenues par les satellites (Satellite peut faire référence à :).

Vérification amusante

Si vous faites infuser un sachet de thé dans une casserole contenant un fond d’eau bouillante et le retirez ensuite, vous aurez la surprise de voir que l’ajout d’une quantité quelconque d’eau pure ensuite n’altère en rien la coloration du liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est…), aussi contre-intuitif que cela paraisse. La raison en est que le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d’information à prendre en compte…) de concentration diminue exactement de la même valeur qu’augmente celui d’épaisseur à traverser.
Une seconde réflexion rend la chose évidente, du fait que la quantité de pigment traversée par la lumière reste nécessairement la même du fait du parallélisme des parois de la casserole.

Histoire

Cette loi fut découverte par Pierre Bouguer en 1729 et publiée dans son ouvrage “Essai d’Optique sur la Gradation de la Lumière” (Claude Jombert, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région…), 1729), puis reprise par Johann Heinrich Lambert (Johann Heinrich Lambert (26 août 1728 à Mulhouse – 25 septembre 1777 à Berlin) est un…) en 1760 et finalement August Beer en 1852 y introduisit la concentration, lui donnant la forme sous laquelle elle est le plus souvent utilisée.

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