Notion abordée dans cette leçon – Les différentes écritures d’un nombre rationnel – 4ème
Différentes écritures d’un nombre rationnel
1- Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction, c’est-à-dire sous la forme du quotient de deux nombres entiers.
Exemples
• 17/6 est un nombre rationnel
• 4,5 est un nombre rationnel car il peut s’écrire 9/2
• 8 est un nombre rationnel car il peut s’écrire 8/1
Remarques
• Un nombre entier est un nombre rationnel.
Il peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est égal à 1.
• Un nombre décimal est un nombre rationnel.
Il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
• Il existe des nombres rationnels qui ne sont ni entiers, ni décimaux.
2- Écritures d ’ un nombre rationnel
Propriété
Un nombre rationnel peut s ’écrire de plusieurs de manières différentes .
Un nombre rationnel peut s ’ écrire comme le quotient de deux nombres entiers.
Méthode
Pour savoir si une division s ’arrête :
• On utilise la calculatrice pour effectuer la division .
• Si la calculatrice affiche des chiffres j’usqu’au bout de l ’écran , on peut en déduire qu ’i l y a de fortes chances que la division ne s ’ arrête pas .
Astuce
Parfois, dans la suite des décimales, on peut repérer un groupe de chiffre qui se répète.
On peut alors en déduire qu ’i l y a de fortes chances que la division ne s’arrête pas.
I. Définitions :
Activité 1 :
Trace une droite graduée d’origine $O$ puis place les $A;, B;, C$ d’abscisses respectives $dfrac{3}{5};, dfrac{3}{2}$ et $dfrac{7}{2}.$
a) Donne l’écriture décimale de l’abscisse de chacun des points $A;, B$ et $C$.
b) Place les points $A’;, B’$ et $C’$ symétriques respectifs de $A;, B$ et $C$ par rapport au point $O.$
Quelle est l’abscisse de chacun de ces points ?
c) Que représente pour l’abscisse de $A$,l’abscisse de $A’$ ?
Activité 2 :
Le nombre $x$ tel que $2x=-14$ est le quotient de $-14$ par $2$.On écrit $x=dfrac{-14}{2}$ c’est-a-dire.
a) Cherche le nombre entier relatif $a$ tel que : $-3a=51$.
Pour cela indique le signe de $a$.Justifie ta réponse.
Écris le quotient de $51$ par $-3$ de trois manières différentes
b) Cherche le nombre décimal relatif $x$ tel que $2x=-14$.
Pour cela indique le signe de $x$ en justifiant. Écris de deux façons différentes le quotient de $-14$ par $-2$.
Explique pourquoi ?
Activité 3 :
Peux-tu trouver la valeur décimal de :$dfrac{-8}{3};; dfrac{9}{-5}$ et $dfrac{-1}{-7}.$
Activité 4 :
Soit $(D)$ une droite graduée d’origine $O$.
Placer au mieux possible les points $A;, B;, C;, D;, E$ et $F$ par rapport au point $O.$
Quelle est l’abscisse des points respectifs $A’;, B’;, C’;, D’;, E’$ et $F’.$
Activité 5 :
Écris les nombres suivants sous forme d’un décimal relatif comportant une virgule :
$dfrac{3}{4};, -dfrac{1}{2};, -dfrac{1}{4};, dfrac{4}{5};, -dfrac{1}{9};, dfrac{7}{3};, dfrac{13}{7};, dfrac{19}{3};, dfrac{27}{4}$
Un nombre rationnel (fraction) est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $dfrac{a}{b};text{ avec };ainmathbb{Z};text{ et };binmathbb{Z}^{*}.$
$a$ et $b$ sont les termes.
L’ensemble des nombres rationnels est noté $mathbb{Q}.$
Remarque :
Tout entier naturel est un rationnel : $mathbb{N}subsetmathbb{Q}$
Tout entier relatif est un rationnel : $mathbb{Z}subsetmathbb{Q}$
Tout décimal relatif est un rationnel : $mathbb{D}subsetmathbb{Q}$
D’où $mathbb{N}subsetmathbb{Z}subsetmathbb{D}subsetmathbb{Q}$
Tout développement décimal illimité périodique est un rationnel car tout ddip peut s’écrire sous la forme d’un quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul.
Tout quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul est un rationnel.
Exemples :
$-dfrac{3}{4};;quad -dfrac{13}{4};;quad dfrac{5}{7};;quad dfrac{-32}{7};;quad dfrac{45}{-8}$
La période d’un ddip est le nombre de chiffre de sa plus petite partie périodique.
Exemples :
$1.444$ a pour partie périodique $4$.
$3.217217217$ a pour période $217$
Exercice d’application :
1) Les nombres suivants sont des rationnels : $0.75;; 1.8;; 12;; 0.1;; -0.8;; -3;; 5.25$
Justifie cela.
2) Montrer que les ddip suivants peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient :
$y=5.1212;;quad x=1.333;;quad z=0.1428571428571$
Solution
1) $0.75=dfrac{3}{4};;quad 1.8=dfrac{18}{10};;quad 12=dfrac{24}{2};;quad 0.1=dfrac{1}{10}$
$-0.8=dfrac{-8}{10};;quad -3=dfrac{-9}{3};;quad 5.25=dfrac{525}{100}$
2)
$begin{array}{rcl} y=5.1212&Rightarrow&leftlbracebegin{array}{rcl} 100times y&=&100times 5.1212 \ -y&=&-5.1212end{array}right.\ \ &Rightarrow&99y=506.9998\ \ &Rightarrow&y=dfrac{506.9998}{99}\ \ &Rightarrow&y=dfrac{507}{99}end{array}$
$begin{array}{rcl} x=1.333&Rightarrow&leftlbracebegin{array}{rcl} 10times x&=&10times 1.333 \ -x&=&-1.333end{array}right.\ \ &Rightarrow&leftlbracebegin{array}{rcl} 10x&=&13.33 \ -x&=&-1.333end{array}right.\ \ &Rightarrow&9x=11.997\ \ &Rightarrow&x=dfrac{11.997}{9}\ \ &Rightarrow&x=dfrac{12}{9} = dfrac{4}{3}end{array}$
$begin{array}{rcl} z=0.1428571&Rightarrow&leftlbracebegin{array}{rcl} 1000000times z&=&1000000times 0.1428571 \ -z&=&-0.1428571end{array}right.\ \ &Rightarrow&leftlbracebegin{array}{rcl} 1000000z&=&142857.1 \ -z&=&-0.1428571end{array}right.\ \ &Rightarrow&999999z=142856.9571429\ \ &Rightarrow&z=dfrac{142856.9571429}{9999999}\ \ &Rightarrow&z=dfrac{142857}{999999}\ \ &Rightarrow&z=dfrac{1}{7}end{array}$
II. Propriétés
1) Si $bneq 0$ et $dneq 0$ ; l’égalité $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$ traduit une proportion.
$a;, b;, c$ et $d$ sont les termes de la proportion.
$a$ et $d$ sont les extrêmes ;
$b$ et $c$ sont les moyens
$begin{array}{rcl}text{2) Si } bneq 0 text{ et } dneq 0; (bdneq 0);, text{ alors } dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}&Leftrightarrow&bdtimesdfrac{a}{b}=bdtimesdfrac{c}{d}\ \ &Leftrightarrow&dfrac{bda}{b}=dfrac{bdc}{d}\ \ &Leftrightarrow&da=bcend{array}$
D’où on a :
$$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d};Leftrightarrow;ad=bc$$
(produit des extrêmes est égal au produit des moyens)
3) Si on permute les extrêmes ou les moyens d’une proportion ; elle reste inchangée :
si $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$ alors $dfrac{d}{b}=dfrac{c}{a}$
d’où $$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d};Leftrightarrow;dfrac{d}{b}=dfrac{c}{a}$$
si $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$ alors $dfrac{a}{c}=dfrac{b}{d}$
d’où $$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d};Leftrightarrow;dfrac{a}{c}=dfrac{b}{d}$$
4) Si $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=q$ alors on a : $leftlbracebegin{array}{lcl}dfrac{a}{b} &=& q ;Leftrightarrow; atimes 1 = bq ;Leftrightarrow; a = bq \ \ dfrac{c}{d} &=& q ;Leftrightarrow; ctimes 1 = dq ;Leftrightarrow; c = dqend{array}right.$
$begin{array}{rcl}text{Donc, } a+c=bq+dq=q(b+d)&Rightarrow&q=dfrac{a+c}{b+d}\ \ &Rightarrow&dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d} = dfrac{a+c}{b+d}end{array}$
D’où $$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{a+c}{b+d}$$
5) Par analogie on a :
$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=q$ alors on a :
$leftlbracebegin{array}{lcl}dfrac{a}{b} &=& q ;Leftrightarrow; atimes 1=bq ;Leftrightarrow a=bq \ \ dfrac{c}{d} &=& q ;Leftrightarrow; ctimes 1=dq ;Leftrightarrow; c=dq end{array}right.$
$begin{array}{rcl}text{Donc, } a-c=bq-dq=q(b-d)&Rightarrow&q=dfrac{a-c}{b-d}\ \ &Rightarrow&dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d} = dfrac{a-c}{b-d}end{array}$
D’où $$dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}=dfrac{a-c}{b-d}$$
Exercice d’application :
1) Déterminer le rationnel $x$ tel que : $dfrac{x-2}{3}=dfrac{5}{2}$
2) Déterminer les rationnels $x$ et $y$ tels que : $leftlbracebegin{array}{lcl}dfrac{x}{y} &=& dfrac{7}{3} \ \ x+y &=& 40 end{array}right.$
III. Différentes écritures d’un nombre rationnel
III.1 Définition
Un nombre rationnel peut s’écrire sous plusieurs formes:écriture décimale,écriture fractionnaire ou écriture scientifique.
Pour écrire un nombre rationnel sous la forme scientifique ;on l’écrit sous la forme $a.10^{n}$ avec $ainmathbb{D}$ avec une partie entière non nul et $a$ un chiffre et $ninmathbb{Z}.$
Exemples :
$45.17.10^{-3};; 1.67.10^{4};; -78.265^{-3};; 142.10^{4};; 0.64.10^{-2}$ ne sont pas des écritures scientifiques.
$0.75=dfrac{3}{4}=75.10^{-2};; dfrac{8}{5}=1.6=16.10^{-1};; -2.6=dfrac{13}{5}=-26.10^{-1}$
Exercice d’application :
Écris sous forme scientifique les nombres suivants : $0.7.10^{2};; 0.025.10^{1}$
Solution :
$begin{array}{rcl} 0.7;10^{3}&=&dfrac{0.7;10^{3}times 10}{10}\ \ &=&dfrac{7.10^{3}}{10}\ \ &=&7.10^{3}times 10^{-1}\ \ &=&7.10^{3-1}\ \ &=&7.10^{2}end{array}$
$begin{array}{rcl} 0.025;10^{1}&=&dfrac{0.025times 1000.10^{1}}{1000}\ \ &=&dfrac{25.10^{1}}{10^{3}}\ \ &=&25.10^{1}times 10^{-3}\ \ &=&25.10^{1-3}\\ &=&25.10^{-2}end{array}$
III.2 Multiplication des termes d’un rationnel par un entier non nul
Exemples :
$dfrac{7}{3}=dfrac{7times 2}{3times 2}=dfrac{14}{6};; dfrac{61.7}{9}=dfrac{61.7times 10}{9times 10}=dfrac{617}{90};; dfrac{-15}{11};; dfrac{198.62}{-27.3}$
III.3 Simplification
Exemples :
Simplifier les nombres rationnels suivants :
$dfrac{42}{3920};; dfrac{66}{17640};; dfrac{30}{62};; dfrac{12}{45};; dfrac{600}{945};; dfrac{720}{648};; dfrac{1880}{5292};; dfrac{2275}{2695}$
N.B :
$a$ et $b$ étant deux nombres entiers naturels et $b$ non nul ; on a :
$dfrac{-a}{b}=dfrac{a}{-b}=-dfrac{a}{b};;quad dfrac{-a}{-b}=dfrac{+a}{+b}=+dfrac{a}{b}=dfrac{a}{b}$
IV. Opérations dans $mathbb{Q}$
IV.1 Addition – soustraction
IV.1.1 Réduction au même dénominateur
Exemples :
Réduire au même dénominateur les fractions suivants :
$dfrac{3}{4}$ et $dfrac{7}{3};; dfrac{1}{2}$ et $dfrac{5}{7}$
$dfrac{3}{6}$ et $dfrac{7}{12};; dfrac{17}{8}$ et $dfrac{11}{4}$
IV.1.2 Opposé
L’opposé d’un nombre rationnel est un nombre rationnel de signe opposé.
IV.1.3 Somme et différence
Soient $a;, b;, c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $bneq 0$ et $dneq 0.$
De façon général on a : la somme deux nombres rationnels est un nombre rationnel
$$dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{ad+bc}{bd}quadtext{et}quaddfrac{a}{b}-dfrac{c}{d}=dfrac{ad-bc}{bd}$$
La somme deux nombres rationnels est un nombre rationnel :
$1^{er}$ cas : $b=d;Rightarrow;dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{a+c}{b}=dfrac{a+c}{d}$
Exemple :
$dfrac{-35}{9}+dfrac{23}{9};; dfrac{4}{5}+dfrac{-9}{5}$
$2^{ième}$ cas : $b$ et $d$ sont premier entre eux $Rightarrow;dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{ad+bc}{bd}$
Exemples :
$dfrac{-3}{5}+dfrac{4}{7};; dfrac{-6}{13}-frac{27}{17}$
$3^{ième}$ cas : $b$ est multiple $d$
$Rightarrow;b=dq$ d’où $dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{a+cq}{dq}$
Exemples :
$dfrac{7}{4}+dfrac{11}{12};; dfrac{89}{54}-dfrac{-67}{9}$
$4^{ième}$ cas : $b$ et $d$ ne sont ni premiers ni multiples entre eux
$Rightarrow;b=b’q$ et $d=d’q$ d’où $dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{ad’+cb’}{qb’d’}$
Exemples :
$dfrac{-7}{12}+dfrac{11}{20};; dfrac{101}{45}-dfrac{105}{21}$
Exercice d’application :
Résoudre les opérations suivantes :
$dfrac{13}{32}-dfrac{11}{12};; dfrac{-17}{15}+dfrac{19}{55};; dfrac{5}{16}+dfrac{45}{12}$
$dfrac{14}{1.3}+dfrac{-6}{1.3};; dfrac{-40}{50}+left(-dfrac{10}{70}right);; dfrac{2}{236}+dfrac{3}{118};; dfrac{5}{12}+dfrac{3}{16}-dfrac{1}{15}$
IV.2 Multiplication – division
IV.2.1 Produit de deux nombres rationnels
Soient $a;, b;, c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $bneq 0$ et $dneq 0$ ; de façon général on a :
$$dfrac{a}{b}timesdfrac{c}{d}=dfrac{ac}{bd}$$
Exemples :
$dfrac{m}{s}timesdfrac{t}{o};; dfrac{7}{4}timesdfrac{3}{6};; dfrac{3}{7}timesdfrac{4}{11};; -5timesdfrac{6}{21};; dfrac{14}{15}times(-5)$
IV.2.2 Quotient d’un nombre rationnel par un nombre rationnel non nul
Soient $a;, b;, c$ et $d$ des nombres relatifs tels que $bneq 0$ et $dneq 0$
Exemples :
$dfrac{frac{3}{4}}{dfrac{7}{5}};; dfrac{dfrac{-3}{2}}{dfrac{-7}{11}};; dfrac{dfrac{13}{14}}{dfrac{-5}{3}};; dfrac{dfrac{5}{3}}{dfrac{3}{4}};; dfrac{dfrac{7}{9}}{dfrac{12}{-5}};; dfrac{dfrac{-11}{4}}{dfrac{-2}{15}};; dfrac{dfrac{3}{4}}{5};; dfrac{3}{dfrac{4}{5}}$
IV.2.3 Inverse d’un nombre rationnel non nul
$a$ et $b$ étant deux nombres entiers relatifs non nuls on a :
$$dfrac{a}{b}timesdfrac{b}{a}=1$$
On dit $dfrac{a}{b}$ et $dfrac{b}{a}$ sont inverses l’un de l’autre.
Exemples :
Donner l’inverse des nombres suivants :
$3;; 0.75;; -12;; dfrac{2}{5};; a;; dfrac{1}{a};; dfrac{3}{11};; dfrac{-2}{7}$
Remarque :
L’inverse de $1$ c’est $1$ et $0$ n’a pas d’inverse.
IV.3 Puissances d’un nombre rationnel
IV.3.1 Définition
Soient $ainmathbb{Q}$ et $ninmathbb{N}$ ;
$a^{n}$ est une puissance de $a$.
Exemples :
$-6^{3};; left(dfrac{4}{7}right)^{2};; dfrac{4^{2}}{7};; dfrac{4}{7^{2}};; 3.45^{-3}$
IV.3.2 Propriétés
Soient $a$ et $b$ des entiers relatifs non nuls, $n$ et $p$ des entiers relatifs ; on a :
$centerdot a^{n}times a^{p}=a^{n+p}$
$centerdot left(a^{n}right)^{p}=a^{np}$
$centerdot (ab)^{n}=a^{n}times b^{n}$
$centerdot left(dfrac{a}{b}right)^{n}=dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
$centerdot dfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}$
$centerdot dfrac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p}$
$centerdot (-a)^{n}=a^{n}$ si $n$ est pair
$centerdot (-a)^{n}=-a^{n}$ si $n$ est impair
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