Ln(exp(x))

Dérivons la fonction

f

(x) = qui est définie et dérivable sur l’intervalle ]- ; +[.

Pour effectuer ce travail, il y a deux méthodes : la directe qui est la plus calculatoire ou bien l’intelligente qui consiste à simplifier au préalable l’écriture de f(x), puis à la dérivée.
Voyons ces deux manières en action.

Précisons avant cela une chose :

si

u

est une fonction dérivable   alors  la dérivée de la composée  e

u

  est  

u’

. e

u

. C’est là, la stricte application de la formule de dérivation d’une fonction composée. La méthode directe   La méthode « intelligente » Nous allons dériver le quotient avec la formule prévue à cet effet.
Pour tout réel x, on peut écrire que :

On imagine la suite de ces très barbares calculs !
Si on ne se trompe pas (ce qui est assez dur!), on arrive à la fin à :

 f'(x) = ex+2

Précédemment, nous avons vu une formule permettant de simplifier un quotient d’exponentielles : c’était la propriété iii.
Modifions l’écriture de en utilisant celle-ci.

Il ne reste plus à présent qu’à dériver cette nouvelle écriture…

Peu de calculs et nous avons trouvé la bonne formule !

Conclusion : la morale de tout cela est qu’il vaut mieux prendre son temps et voir si on ne peut pas simplifier l’écriture d’une fonction avec exponentielle avant de dériver. 
Car

exp

a des propriétés comme

ln

.
L’alternative à cette idée, est bien souvent un résultat inévitablement faux !

Le logarithme provient de la construction de tables de nombres au début du XVIIe siècle par John Napier (ou « Neper » selon la prononciation en anglais) permettant un calcul plus rapide des produits et quotients. Ses propriétés sont remarquées dans le problème de la quadrature de l’hyperbole, qui mène à la définition du logarithme naturel. Le lien avec la notation exponentielle conduit à la définition du nombre e et à la fonction exponentielle, dont l’étude doit beaucoup aux travaux de Leonhard Euler.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est une fonction dérivable de R dans R satisfaisant les relations exp′ = exp et exp(0) = 1.

PropriétéLa fonction exponentielle est strictement positive.

DémonstrationOn pose

pour tout

x ∈ R

,

c(x) = exp(x) exp(−x)

.

On pose

La fonction c est dérivable sur R avec pour tout x ∈ R,c′(x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0.
Donc la fonction c est constante de valeur c(0) = exp(0) exp(0) = 1.

On en déduit que la fonction c ne s’annule pas donc la fonction exp non plus, donc elle est de signe constant d’après la contraposée du théorème des valeurs intermédiaires.

PropriétéLa fonction exponentielle est caractérisée par les relations

exp′ = exp

et

exp(0) = 1

.

DémonstrationSoit g une fonction dérivable sur 

R

à valeurs réelles vérifiant les relations

g′ = g

et 

g(0) = 1

.

Soitune fonction dérivable surà valeurs réelles vérifiant les relationset

La fonction g/exp est donc dérivable sur R avec(g/exp)′ = (g′ × exp − g × exp′)/exp2 = 0.
Donc le quotient est constant de valeur g(0)/exp(0) = 1, donc g = exp.

Propriétés algébriques

Pour tout

(x, y) ∈ R2

et

pour tout

n ∈ N

on a 

• exp(x+y) = exp(x) exp(y),
• exp(−x) =

  1

  /

  exp(x)

• exp(x − y) =

  exp(x)

  /

  exp(y)

• exp(nx) = exp(x)n.

DémonstrationOn démontre les quatre relations successivement.

• Soit 

  y ∈ R

  . On pose

  pour tout

  x ∈ R

  ,

  g(x) =

  exp(x + y)

  /

  exp(y)

  . La fonction g est dérivable sur 

  R

  avec

  pour tout

  x ∈ R

  ,

  g′(x) =

  exp(x + y)

  /

  exp(y)

  = g(x)

  et

  g(0) =

  exp(y)

  /

  exp(y)

  = 1

  donc on trouve

  g = exp

  .

• Pour tout

  x ∈ R

  , en appliquant la propriété précédente, on trouve

  exp(x) exp(−x) = exp(0) = 1

  .

• On en déduit

  pour tout

  (x, y) ∈ R2

  ,

  exp(x − y) = exp(x + (− y)) = exp(x) exp(−y) =

  exp(x)

  /

  exp(y)

  .

• La quatrième relation se démontre par récurrence sur 

  n ∈ N

  .

On démontre les quatre relations successivement.

On pose e = exp(1), qui vérifie pour tout n ∈ N, en = exp(n).

On note alors pour tout x ∈ R, ex = exp(x).

La fonction exponentielle est de dérivée strictement positive donc elle est strictement croissante sur R.

Propriété

Pour tout

x ∈ R

on a

exp(x) ≥ x + 1

.

DémonstrationOn pose

pour tout

x ∈ R

,

f(x) = exp(x) − (x + 1)

.

On pose

La fonction f est dérivable sur R de dérivée f′ = exp − 1, négative sur R− et positive sur R+, donc la fonction f est décroissante sur R− et croissante sur R+, or f(0) = 0, donc f est positive sur R.

PropriétéOn a

lim

x→+∞

ex = +∞

et

lim

x→−∞

ex = 0

.

DémonstrationOn déduit la deuxième limite de la première.

On déduit la deuxième limite de la première.

Par théorème de comparaison, on a limx→+∞ x + 1 = +∞ donc limx→+∞ ex = +∞.

On a pour tout x ∈ R, ex = 1/e−x or limx→−∞ −x = +∞ et limX→+∞ eX = +∞ d’où on déduit la limite de la composée limx→−∞ e−x = +∞ d’où par passage à l’inverse limx→−∞ ex = 0.

Logarithme naturel

La fonction ln est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques

Pour tout

(x, y) ∈ (R∗+)2

et

pour tout

n ∈ N

on a 

• ln(xy) = ln(x) + ln(y),
• ln

  (

  1

  /

  x

  )

  = −ln(x)

• ln

  (

  x

  /

  y

  )

  = ln(x) − ln(y)

• ln(xn) = n ln(x).

Propriétés analytiquesLe logarithme naturel est de classe 

C

∞

sur 

R∗+

. Sa dérivée est la fonction inverse. Il est strictement croissant et vérifie

lim

x→+∞

ln(x) = +∞

et

lim

x→0

ln(x) = −∞

.

On démontre les propriétés algébriques en montrant que pour chaque égalité les deux membres ont même image par la fonction exponentielle.

La classe de continuité provient du fait que le logarithme naturel est la réciproque d’une fonction exponentielle elle-même de classe C∞ avec une dérivée ne s’annulant pas.

La formule de la dérivée de la réciproque donne pour tout x ∈ R∗+, ln′(x) = 1/exp′(ln(x))= 1/x,donc la dérivée est strictement positive et le logarithme naturel est strictement croissant.

On démontre les limites à l’aide des équivalences pour tout M ∈ R, ln(x) < M ⇔ x < eM.

Autres fonctions

Définition

Pour tout

(a, x) ∈ R∗+ × R

on note

ax = exp(x ln(a))

.

Cette notation est cohérente avec la notation usuelle des puissances d’exposant entier, mais les conditions d’application des règles d’opération sur les puissances précisent des restrictions nécessaires.

Règles opératoires sur les puissances

Pour tout

(a, b) ∈ (R∗+)2

et

pour tout

(x, y) ∈ R2

on a 

• bx+y = bx × by

  et 

  (

  bx

  )y

  = bxy

• b−x =

  1

  /

  bx

  et 

  bx−y =

  bx

  /

  by

• (ab)x = axbx

• (

  a

  /

  b

  )

  )

  x

  =

  ax

  /

  bx

RemarqueCes règles ne sont pas respectées dans la suite d’égalités (fausse) ci-dessous :

−1 = (−1)1 = (−1)2×0,5 = ((−1)2)0,5= 10,5= 1.

Définition

Pour tout

a ∈ R∗+{1}

, on définit la fonction exponentielle de base a sur 

R

par

expa : x ↦ ax

et le logarithme de base a sur 

R∗+

par

loga : x ↦

ln(x)

/

ln(a)

.

PropriétéLes fonctions exponentielle et logarithme d’une même base sont réciproques l’une de l’autre. Elles sont strictement croissantes si

a > 1

et strictement décroissantes sinon.

Définition

Pour tout

α ∈ R*

, on définit la fonction puissance d’exposant α sur 

R∗+

par

x ↦ xα

.

PropriétéLes fonctions puissances étendent la notion de puissance d’exposant entier. Elles sont de classe 

C

∞

et

pour tout

α ∈ R*

la fonction puissance d’exposant α a pour dérivée la fonction

x ↦ α xα−1

et pour réciproque la fonction puissance d’exposant 

1/α

.

En particulier, pour tout n ∈ N*, la fonction puissance d’exposant 1/n s’identifie à la restriction à R∗+ de la racine n-ième : ∀x ∈ R∗+, x1/n = n√x.

PropriétéPour tout

p ∈ R+∗

on a

• lim

  x→+∞

  xp = +∞

• lim

  x→0

  xp = 0

Pour touton a

Comparaison de croissance

PropriétéPour tout

(p, k) ∈ (R+∗)2

on a

• lim

  x→0

  xp ln(x) = 0

• lim

  x→+∞

  ln(x)

  /

  xp

  )

  = 0

• lim

  x→−∞

  xp exp(kx) = 0

• lim

  x→+∞

  xp

  /

  exp(kx)

  )

  = 0

• lim

  x→+∞

  ln(x)

  /

  exp(kx)

  )

  = 0

Pour touton a